第7章 微专题系列之数学探究——立体几何中的动态问题(2)（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第七章　立体几何 微专题系列之数学探究——立体几何中的动态问题(二) 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 课时作业(四十一) 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 谢谢观看！ 1．立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断、求轨迹的长度及动角的范围等． 2．一般是根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹(还可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程). 【例】 (2023·山西晋中模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P为线段A1C上的动点(P不与A1，C重合)，点M，N分别为线段A1C1，CC1的中点，则下列说法中正确的是________________.(填序号) ①A1P⊥BC1； ②三棱锥M­B1NP的体积随P点位置的变化而变化； ③PD1＋PC1的最小值为 eq \r(3) ； ④∠APD1的取值范围是( eq \f(π,3) ， eq \f(2π,3) ]. [思维过程] 明确目标→由动点问题，考查立体几何中的综合问题． 提取信息→在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别为线段A1C1，CC1的中点． 建立联系→①可以根据线面垂直的性质可得证，②可以先证明A1P∥平面B1MN，得到三棱锥M­B1NP的体积为定值来判断正误，③可通过Rt△A1AC≌Rt△A1D1C，得到PA＝PD1进而可以判断正误，④可用余弦定理来求得其范围． 思路导引→由题易知，BC1⊥平面A1B1CD，而A1P⊂平面A1B1CD，所以A1P⊥BC1，①正确；在△A1C1C中，点M，N分别为线段A1C1，CC1的中点，所以MN∥A1P，因为A1P⊄平面B1MN，而MN⊂平面B1MN，所以A1P∥平面B1MN，所以点P到平面B1MN的距离为定值，且△B1MN的面积为定值，所以三棱锥M­B1NP的体积为定值，②错误；易知Rt△A1AC≌Rt△A1D1C，所以PA＝PD1，所以PD1＋PC1＝PA＋PC1≥AC1＝ eq \r(3) ，③正确；设AP＝D1P＝x，易知x的取值范围为[ eq \f(\r(6),3) ， eq \r(2) )，则cos ∠APD1＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(AP2＋PD－AD eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ,2AP·PD1) ＝ eq \f(2x2－2,2x2) ＝1－ eq \f(1,x2) ∈[－ eq \f(1,2) ， eq \f(1,2) )，所以∠APD1的取值范围是( eq \f(π,3) ， eq \f(2π,3) ]，④正确． 答案：①③④ 【练】 在平面四边形ABCD中，AD＝AB＝ eq \r(2) ，CD＝CB＝ eq \r(5) ，且AD⊥AB，现将△ABD沿对角线BD翻折成△A′BD，则在△A′BD折起至转到平面BCD的过程中，直线A′C与平面BCD所成最大角的正切值为(　　) A．2 B． eq \f(1,2) C． eq \r(3) D． eq \f(\r(3),3) D　解析：取BD的中点O，则A′B＝A′D，BC＝CD， 所以A′O⊥BD，CO⊥BD. 又A′O，CO⊂平面A′OC，所以BD⊥平面A′OC.又BD⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面A′OC，因此A′在平面BCD的射影在直线OC上，即∠A′CO为直线A′C与平面BCD所成角．因为AD＝AB＝ eq \r(2) ，CD＝CB＝ eq \r(5) ，且AD⊥AB，所以A′O＝1，OC＝2， 所以sin ∠A′CO＝ eq \f(A′O,OC) sin ∠OA′C＝ eq \f(1,2) sin ∠OA′C≤ eq \f(1,2) ，即∠A′CO的最大值为 eq \f(π,6) ，因此直线A′C与平面BCD所成最大角的正切值为tan eq \f(π,6) ＝ eq \f(\r(3),3) ，故选D. $$