第7章 第2节 空间点、直线、平面的位置关系（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第七章　立体几何 第二节　空间点、直线、平面的位置关系 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 不在一条直线上 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 两个点 过该点的公共直线 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 一点 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 互相平行 相等或互补 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 × √ × × 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 谢谢观看！ 课标解读 1．借助长方体，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的基本事实和定理． 3．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 1．与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的三个基本事实 基本 事实 内容 图形 符号 基本 事实 1 过______________的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 基本 事实 内容 图形 符号 基本 事实 2 如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本 事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条________________ P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 三点不一定能确定一个平面．当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面． (2)基本事实1的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论 1 一条直线和该直线外____确定一个平面 确定平面的依据 推论 2 两条相交直线确定一个平面 推论 3 两条平行直线确定一个平面 2.空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 a∥b (a∩b＝∅) a∥α (a∩α)＝∅ α∥β (α∩β＝∅) 直线与直线 直线与平面 平面与平面 相交关系 图形 语言 符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形 语言 — 符号语言 a，b是 异面直线 a⊂α — (1)两条异面直线不能确定一个平面；(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线. 3．基本事实4和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线________． 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__________． 4．异面直线所成的角 已知两条异面直线a，b，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，这时a′，b′共面，我们把a′与b′所成的不大于90°的角称为异面直线a，b所成的角(或夹角). 其范围是________． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 1．判断正误 (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　　) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　　) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　　) (4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．(　　　) 2．下列命题错误的是(　　) A．三角形确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．平行四边形可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 答案：B 3．(多选)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是(　　) A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行 ABC　解析：依题意，m∩α＝A，n⊂α， ∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行． 4．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° C　解析：连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°. 5.如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件________________时，四边形EFGH为菱形； (2)当AC，BD满足条件________________时，四边形EFGH为正方形． 答案：(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD 解析：(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH. ∵EF綊 eq \f(1,2) AC，EH綊 eq \f(1,2) BD， ∴AC＝BD. (2)∵四边形EFGH为正方形， ∴EF＝EH且EF⊥EH. ∵EF綊 eq \f(1,2) AC，EH綊 eq \f(1,2) BD， ∴AC＝BD且AC⊥BD. 6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________________． 答案：3　解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有且只有3对． 1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　) D 　解析：A，B，C中四点一定共面，D中四点不共面． 2．在三棱锥A­BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点．如果EF∩HG＝P，则点P(　　) A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．在直线AC或BD上 D．不在直线AC上，也不在直线BD上 B　解析：如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC. 3．(2024·山东日照实验中学月考)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点． 证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B， ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥A1B，且EF＝ eq \f(1,2) A1B. 又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F， 即E，C，D1，F四点共面． (2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝ eq \f(1,2) CD1， ∴四边形CD1FE是梯形， ∴CE与D1F必相交，设交点为P， 则P∈CE，且P∈D1F. ∵CE⊂平面ABCD，D1F⊂平面A1ADD1， ∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1． 又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD， ∴P∈AD， ∴CE，D1F，DA三线共点． 【例1】 (1)(2023·江苏常熟调研)已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是(　　) A．直线MN与直线A1B是异面直线 B．直线MN与直线DD1相交 C．直线MN与直线AC1是异面直线 D．直线MN与直线A1C平行 (2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(　　) A．相交但不垂直 B．相交且垂直 C．异面 D．平行 (1)C　(2)D　解析：(1)如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误； 因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上， 所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误； 因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上， 所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确； 因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误． (2)如图，连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点． 连接BF并延长，交AD于点N.因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且 eq \f(ME,ED1) ＝ eq \f(1,2) ， eq \f(MF,BF) ＝ eq \f(1,2) ，所以 eq \f(ME,ED1) ＝ eq \f(MF,BF) ，所以EF∥BD1． 【练1】 已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(　　) A．m与n异面 B．m与n相交 C．m与n平行 D．m与n异面、相交、平行均有可能 D　解析：在如图所示的长方体中，m，n1都与l异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2都与l异面，且m，n2也异面，所以C错误． 【练2】 (多选)(2024·福州质检)四棱锥P­ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是(　　) A．MN与PD是异面直线 B．MN∥平面PBC C．MN∥AC D．MN⊥PB ABD　解析：如图所示，取PB的中点H，连接MH，HC， 由题意知，四边形MHCN为平行四边形，且MN∥HC，所以MN∥平面PBC，设四边形MHCN确定平面α，又D∈α，故M，N，D共面，但P∉平面α，D∉MN，因此MN与PD是异面直线，故A，B说法均正确． 若MN∥AC，由于CH∥MN，则CH∥AC， 事实上AC∩CH＝C，C说法错误； 因为PC＝BC，H为PB的中点，所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，D说法正确． 【例2】 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) A． eq \f(π,2) B． eq \f(π,3) C． eq \f(π,4) D． eq \f(π,6) D　解析：(方法一)　如图，连接BC1，A1C1，易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角即为直线PB与BC1所成的角，即∠PBC1．不妨设该正方体的棱长为2a，则BC1＝2 eq \r(2) a，PC1＝PB1＝ eq \r(2) a，PB＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \r(PB＋BB eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ) ＝ eq \r(6) a，所以BC eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＝PC eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋PB2，所以∠C1PB＝90°， 则sin ∠PBC1＝ eq \f(PC1,BC1) ＝ eq \f(\r(2)a,2\r(2)a) ＝ eq \f(1,2) ，所以∠PBC1＝ eq \f(π,6) . (方法二)　如图，连接A1B，BC1，A1C1，易证四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，因此∠PBC1为异面直线PB与AD1所成的角．易知△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝ eq \f(π,3) .在正方形A1B1C1D1中，因为P是B1D1的中点，所以P是A1C1的中点，所以∠PBC1＝ eq \f(1,2) ∠A1BC1＝ eq \f(π,6) . 【练3】 在四面体ABCD中，BC＝BD＝CD＝2，AB＝2 eq \r(3) ，N是棱AD的中点，CN＝ eq \r(3) ，则异面直线AB与CN所成的角为(　　) A． eq \f(π,3) B． eq \f(π,6) C． eq \f(π,4) D． eq \f(π,2) A　解析：取BD的中点为M，连接MN，CM，又N是AD的中点，则MN∥AB，所以∠MNC(或其补角)就是异面直线AB与CN所成的角．在△MNC中，MN＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \r(3) ，CN＝ eq \r(3) ，CM＝ eq \r(22－12) ＝ eq \r(3) ，所以△MNC为等边三角形，故∠MNC＝ eq \f(π,3) ，即异面直线AB与CN所成的角为 eq \f(π,3) . 【练4】 (2023·衡水检测)如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝ eq \f(1,4) SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为(　　) A． eq \f(\r(22),2) B． eq \f(\r(5),3) C． eq \f(13,16) D． eq \f(\r(11),3) D　解析：如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角． ∵SE＝ eq \f(1,4) SB，∴SE＝ eq \f(1,3) BE. 又OB＝3，∴OF＝ eq \f(1,3) OB＝1． ∵SO⊥OC，SO＝OC＝3， ∴SC＝3 eq \r(2) . ∵SO⊥OF，∴SF＝ eq \r(SO2＋OF2) ＝ eq \r(10) . ∵OC⊥OF，∴CF＝ eq \r(10) . ∴在等腰△SCF中， tan ∠CSF＝ eq \f(\r(（\r(10)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))\s\up12(2)),\f(3\r(2),2)) ＝ eq \f(\r(11),3) . $$