第7章 第1节 基本立体图形及其表面积、体积（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第七章　立体几何 第一节　基本立体图形及其表面积、体积 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 平行 全等 平行 相似 平行四边形 三角形 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 垂直 一点 一点 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 矩形 等腰 三角形 矩形 扇形 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 斜二测画法 45°(或135°) 垂直 平行于 不变 一半 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 2πrl πrl 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 π(r1＋r2)l 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 S底h 4πR2 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 × × √ × 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 返回导航 第1轮 数学（北） 第七章　立体几何 谢谢观看！ 课标解读 1．利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 3．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图． 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 名称 棱柱 棱锥 棱台 底面 互相____ 且____ 多边形 互相____ 且____ 侧棱 平行且相等 相交于一点， 但不一定相等 延长线 交于一点 侧面 形状 __________ ______ 梯形 (1)要掌握棱柱、棱锥各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决． (2)台体可以看成是由锥体截得的，但一定要知道截面与底面平行． (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行 且相等， ____ 于底面 相交于 ____ 延长线交 于____ 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 轴截面 ____ ____ ______ 等腰梯形 圆面 侧面 展开图 ____ ____ 扇环 旋转体要抓住“旋转”这一特点，弄清底面、侧面及展开图的形状． 2．直观图 (1)画法：常用__________． (2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为____________________，z′轴与x′轴、y′轴所在平面____． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍______坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度____，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的____． 画直观图要注意平行、长度两个要素． 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 侧面展开图 侧面积公式 圆柱 S圆柱侧＝________ 圆锥 S圆锥侧＝______ 侧面展开图 侧面积公式 圆台 S圆台侧＝___________________ 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 几何体 名称 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝____________ 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝______________ 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝ eq \f(1,3) (S上＋S下＋ eq \r(S上S下) )h 球 S＝_________ V＝______________ eq \f(1,3) S底h eq \f(4,3) πR3 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和． 1．判断正误 (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　　) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　　) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．(　　　) (4)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　　) 2．已知圆锥的底面半径为 eq \r(2) ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　) A．2 B．2 eq \r(2) C．4 D．4 eq \r(2) B　解析：设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为 eq \r(2) ，侧面展开图为一个半圆，所以2π× eq \r(2) ＝πl，解得l＝2 eq \r(2) . 3．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．12π B． eq \f(32,3) π C．8π D．4π A　解析：由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2 eq \r(3) 即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π. 4．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内．如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是(　　) A．225 eq \r(3) cm2 B．1 000 eq \r(3) cm2 C．1 800 eq \r(3) cm2 D．(900＋2 000 eq \r(3) ) cm2 答案：C 5．对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义： 0～10 10～25 25～50 50～100 小雨 中雨 大雨 暴雨 小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级(　　) A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 B　解析：由相似关系可得，雨水形成的小圆锥的底面半径r＝ eq \f(\f(200,2),2) ＝50(mm)，故V小圆锥＝ eq \f(1,3) ×π×502×150＝503π(mm3)，从而可得积水厚度h＝ eq \f(V小圆锥,S大圆) ＝ eq \f(503·π,π·1002) ＝12.5(mm)，属于中雨． 6．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________________，面积为________________cm2. 答案：矩形　8　解析：由斜二测画法的规则可知，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2. 1．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 C．存在每个面都是直角三角形的四面体 D．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 BC　解析：A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；C正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形；D不正确，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等． 2．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是(　　) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形 C　解析：如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2 eq \r(2) ＝4 eq \r(2) (cm)，CD＝C′D′＝2 cm， 所以OC＝ eq \r(OD2＋CD2) ＝ eq \r(（4\r(2)）2＋22) ＝6(cm)， 所以OA＝OC，所以四边形OABC是菱形． 3．(2023·山东日照模拟)如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为 4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为4 eq \r(3) m，则圆锥底面圆的半径等于________m. 答案： eq \f(4,3) 　解析：圆锥顶点记为O，把圆锥侧面沿母线OP展开成如图所示的扇形， 由题意OP＝4，PP′＝4 eq \r(3) ， 则cos ∠POP′＝ eq \f(42＋42－（4\r(3)）2,2×4×4) ＝－ eq \f(1,2) ， 又∠POP′为△POP′一内角， 所以∠POP′＝ eq \f(2π,3) . 设底面圆的半径为r，则2πr＝ eq \f(2π,3) ×4， 所以r＝ eq \f(4,3) . 考向1　空间几何体的表面积 【例1】 (1)(2023·河南周口模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为(　　) A．4＋4 eq \r(2) B．4＋4 eq \r(3) C．12 D．8＋4 eq \r(2) (2)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　) A．12 eq \r(2) π B．12π C．8 eq \r(2) π D．10π (1)A　(2)B　解析：(1) 连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2 eq \r(2) ，BC＝ eq \r(2) .又AB⊥BC，则AB＝ eq \r(2) ，则该三棱柱的侧面积为2 eq \r(2) ×2＋2×2＝4＋4 eq \r(2) . (2)设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝2 eq \r(2) ，可知圆柱母线长为2 eq \r(2) ，底面半径为 eq \r(2) . ∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×( eq \r(2) )2＋2π× eq \r(2) ×2 eq \r(2) ＝12π. 【练1】 (2023·南京质检)如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2 eq \r(2) ，AD＝2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为________________． 答案：(60＋4 eq \r(2) )π　解析：由题意可得，四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体为圆台上面挖去一个圆锥的组合体．如图，过C作CE⊥AD交AD的延长线于E，过C作AB的垂线，垂足为F. 则∠EDC＝180°－∠ADC＝45°， EC＝CD·sin 45°＝2，ED＝CD·cos 45°＝2， CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，BC＝ eq \r(32＋42) ＝5. 故圆台的上底面半径r＝2， 下底面半径R＝5，高h2＝4，母线长l2＝5. 圆锥底面半径r＝2，高h1＝2，母线长l1＝2 eq \r(2) . 所以圆台侧面积 S1＝π(R＋r)l2＝π(5＋2)×5＝35π， 圆锥侧面积 S2＝ eq \f(1,2) ×2πr×l1＝ eq \f(1,2) ×2π×2×2 eq \r(2) ＝4 eq \r(2) π， 圆台下底面面积S3＝πR2＝25π. 故该几何体的表面积 S＝S1＋S2＋S3＝35π＋4 eq \r(2) π＋25π＝(60＋4 eq \r(2) )π. 考向2　空间几何体的体积 【例2】 (1)如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为(　　) A． eq \f(\r(3),12) B． eq \f(\r(3),4) C． eq \f(\r(6),12) D． eq \f(\r(6),4) (2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”(已知1丈为10尺)(　　) A．12 000立方尺 B．11 000立方尺 C．10 000立方尺 D．9 000立方尺 (3)(2022·八省联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为____________． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养 思路 点拨 (1)转化三棱锥B1­ABC1的顶点与底面，利用等积转化法求解； (2)由题意画出图形，将不规则几何体切割为规则几何体求体积； (3)画出图形分析，直接利用公式求体积 (1)A　(2)C　(3)61π　解析：(1)易知三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积，又三棱锥A­B1BC1的高为 eq \f(\r(3),2) ，底面积为 eq \f(1,2) ，故其体积为 eq \f(1,3) × eq \f(1,2) × eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(3),12) . (2)过上棱两端点向底面作垂面，则垂面与上棱垂直，两垂面将几何体分成两个四棱锥和一个直三棱柱，如图所示， 则三棱柱的体积V1＝ eq \f(1,2) ×3×2×2＝6，四棱锥的体积V2＝ eq \f(1,3) ×1×3×2＝2，易知两个四棱锥大小相等，∴V＝V1＋2V2＝10(立方丈)＝10 000(立方尺). (3)圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示， 设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O′，则圆台的高OO′＝ eq \r(OQ2－O′Q2) ＝ eq \r(52－42) ＝3.据此可得圆台的体积V＝ eq \f(π,3) ×3×(52＋5×4＋42)＝61π. 【练2】 一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1．8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1 000元，则气体的费用最少为(　　) A．4 500元 B．4 000元 C．2 880元 D．2 380元 B　解析：因为文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，所以由正方体与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.9＋2×0.3＝1．5(米).又文物高1．8米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，所以正四棱柱的高为1．8＋0.2＝2(米)，则正四棱柱的体积V＝1．52×2＝4.5(立方米).因为文物的体积为0.5立方米，所以罩内空气的体积为4.5－0.5＝4(立方米).因为气体每立方米1 000元，所以气体的费用最少为4×1 000＝4 000(元). 【练3】 (2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若 eq \f(S甲,S乙) ＝2，则 eq \f(V甲,V乙) ＝(　　) A． eq \r(5) B．2 eq \r(2) C． eq \r(10) D． eq \f(5\r(10),4) C　解析：设母线长为l，甲圆锥底面圆半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2， 则 eq \f(S甲,S乙) ＝ eq \f(πr1l,πr2l) ＝ eq \f(r1,r2) ＝2，所以r1＝2r2. 又 eq \f(2πr1,l) ＋ eq \f(2πr2,l) ＝2π， 则 eq \f(r1＋r2,l) ＝1， 所以r1＝ eq \f(2,3) l，r2＝ eq \f(1,3) l， 所以甲圆锥的高h1＝ eq \r(l2－\f(4,9)l2) ＝ eq \f(\r(5),3) l， 乙圆锥的高h2＝ eq \r(l2－\f(1,9)l2) ＝ eq \f(2\r(2),3) l， 所以 eq \f(V甲,V乙) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(\f(1,3)πrh1,\f(1,3)πr eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) h2) ＝ eq \f(\f(4,9)l2×\f(\r(5),3)l,\f(1,9)l2×\f(2\r(2),3)l) ＝ eq \r(10) . 【练4】 (2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝ eq \r(2) ，则该棱台的体积为________________． 答案： eq \f(7\r(6),6) 　解析：如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCD­A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即正四棱台ABCD­A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝ eq \r(2) ，O1B1＝ eq \f(\r(2),2) ，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝ eq \f(\r(2),2) .又AA1＝ eq \r(2) ，所以BB1＝ eq \r(2) ，B1E＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \r(BB－BE2) ＝ eq \r(2－\f(1,2)) ＝ eq \f(\r(6),2) ，所以O1O＝ eq \f(\r(6),2) ，所以V正四棱台ABCD­A1B1C1D1＝ eq \f(1,3) ×(22＋12＋ eq \r(22×12) )× eq \f(\r(6),2) ＝ eq \f(7\r(6),6) . 考向1　“相切”问题 【例3】 已知正四面体P­ABC的表面积为S1，此四面体的内切球的表面积为S2，则 eq \f(S1,S2) ＝________________． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等核心素养 思路 点拨 利用结论“正四面体的内切球的半径为正四面体高的 eq \f(1,4) ”这一结论可快速求内切球的半径 答案： eq \f(6\r(3),π) 　解析：设正四面体的棱长为a，则正四面体的高为 eq \f(\r(6),3) a，表面积为S1＝4× eq \f(\r(3),4) ×a2＝ eq \r(3) a2，其内切球半径r为正四面体高的 eq \f(1,4) ，即r＝ eq \f(1,4) × eq \f(\r(6),3) a＝ eq \f(\r(6),12) a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝ eq \f(πa2,6) ，则 eq \f(S1,S2) ＝ eq \f(\r(3)a2,\f(πa2,6)) ＝ eq \f(6\r(3),π) . 【变式】 若将本例中的条件“正四面体”改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球的体积为________________，内切球的体积为________________． 答案：32 eq \r(3) π　 eq \f(32π,3) 　解析：由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4 eq \r(3) ，从而V外接球＝ eq \f(4,3) πR3＝ eq \f(4,3) π×(2 eq \r(3) )3＝32 eq \r(3) π，V内切球＝ eq \f(4,3) πr3＝ eq \f(4,3) π×23＝ eq \f(32π,3) . 【练5】 (2023·衡阳联考)设圆锥的顶点为A，BC为圆锥底面圆O的直径，点P为圆O上的一点(异于B，C)，若BC＝4 eq \r(3) ，三棱锥A­PBC的外接球的表面积为64π，则该圆锥的体积为________________． 答案：24π或8π　解析：如图所示． ∵BP⊥PC，AO⊥平面PBC， ∴三棱锥A­PBC的外接球球心M在AO上，又球M的表面积为64π， ∴r外＝4，在Rt△MOB中， BM＝4，BO＝2 eq \r(3) ， ∴MO＝2，MA＝4，∴AO＝6或AO＝2， ∴V圆锥＝ eq \f(1,3) ×π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),2))) eq \s\up12(2) ×6＝24π或V圆锥＝ eq \f(1,3) ×π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),2))) eq \s\up12(2) ×2＝8π. 考向2　“相接”问题 【例4】 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9 eq \r(3) ，则三棱锥D­ABC体积的最大值为(　　) A．12 eq \r(3) B．18 eq \r(3) C．24 eq \r(3) D．54 eq \r(3) B　解析：由等边△ABC的面积为9 eq \r(3) 可得 eq \f(\r(3),4) AB2＝9 eq \r(3) ，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝ eq \f(\r(3),3) AB＝2 eq \r(3) .设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝ eq \r(R2－r2) ＝ eq \r(16－12) ＝2.所以三棱锥D­ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值为 eq \f(1,3) ×9 eq \r(3) ×6＝18 eq \r(3) . 【变式】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积． 解：将直三棱柱补形为长方体ABEC­A′B′E′C′，则球O是长方体ABEC­A′B′E′C′的外接球， ∴体对角线BC′的长为球O的直径．因此2R＝ eq \r(32＋42＋122) ＝13，故S球＝4πR2＝169π. 【练6】 (2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2) C． eq \f(\r(3),3) D． eq \f(\r(2),2) C　解析：设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为α， 则S四边形ABCD＝ eq \f(1,2) ·AC·BD·sin α≤ eq \f(1,2) ·AC·BD≤ eq \f(1,2) ·2r·2r＝2r2(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)， 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2.又r2＋h2＝1， 则V四棱锥O­ABCD＝ eq \f(1,3) ·2r2·h＝ eq \f(\r(2),3) eq \r(r2·r2·2h2) ≤ eq \f(\r(2),3) eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r2＋r2＋2h2,3)))\s\up12(3)) ＝ eq \f(4\r(3),27) ， 当且仅当r2＝2h2，即h＝ eq \f(\r(3),3) 时等号成立． $$