第2章 微专题系列之数学探究——指数式与对数式大小的比较（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第二章　函　数 微专题系列之数学探究——指数式与对数式大小的比较 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 课时作业(十) 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 谢谢观看！ 【例】 (多选)已知实数x，y满足log3x－log3y＜( eq \f(1,3) )x－( eq \f(1,3) )y，则下列结论正确的是(　　) A． eq \f(1,x) ＞ eq \f(1,y) B．x3＜y3 C．2x－y＜1 D．ln (y－x)>0 [思维过程] 明确目标→根据已知不等式判断选项正确与否． 提取信息→所给不等式左边含对数式，右边含指数式． 建立联系→构造函数f(x)＝log3x－( eq \f(1,3) )x，判断其在(0，＋∞)上单调递增， 可得0<x<y，再利用单调性逐一分析选项中的不等式是否成立即可． 思路导引→因为log3x－log3y＜( eq \f(1,3) )x－( eq \f(1,3) )y成立，所以x，y∈R＋， 由log3x－log3y＜( eq \f(1,3) )x－( eq \f(1,3) )y变形得log3x－( eq \f(1,3) )x＜log3y－( eq \f(1,3) )y， 令函数f(x)＝log3x－( eq \f(1,3) )x， 因为y＝log3x，y＝－( eq \f(1,3) )x都在(0，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)＝log3x－( eq \f(1,3) )x在(0，＋∞)上单调递增，log3x－( eq \f(1,3) )x＜log3y－( eq \f(1,3) )y即f(x)＜f(y)，所以0<x<y，因为函数y＝ eq \f(1,x) 在(0，＋∞)上单调递减，所以 eq \f(1,x) ＞ eq \f(1,y) ，A正确；因为函数y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，所以x3＜y3，B正确； 因为x－y＜0，函数y＝2x在(－∞，＋∞)上单调递增，所以2x－y＜20＝1，C正确；y－x＞0，ln (y－x)的符号可正可负，D错． 答案：ABC 【练1】 若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是(　　) A．0＜a＜1 B． eq \f(1,2) ＜a＜1 C．0＜a＜ eq \f(1,2) D．a＞1 B　解析：由题意得a>0且a≠1， 所以a2＋1－2a＝(a－1)2＞0即a2＋1＞2a， 因为loga(a2＋1)＜loga2a＜0＝loga1， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,2a＞1，)) 解得 eq \f(1,2) ＜a＜1． 【练2】 给出下列命题：①ln 2＞ eq \f(2,3) ，②ln 2＞ eq \f(2,e) ，③log23＞log58.其中真命题为(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ C　解析：∵ eq \f(3,2) ln 2＝＝ln eq \r(8) ＞ln e＝1， ∴ln 2＞ eq \f(2,3) ，故①正确； 对于函数y＝ eq \f(ln x,x) (x＞0)，y′＝ eq \f(1－ln x,x2) ， 当0＜x＜e时，y′＞0， 此时函数y＝ eq \f(ln x,x) 单调递增， 因为0＜2＜e，所以 eq \f(ln 2,2) ＜ eq \f(ln e,e) ＝ eq \f(1,e) ，则ln 2＜ eq \f(2,e) ，故②错误； $$