第2章 第6节 对数与对数函数（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第二章　函　数 第六节　对数与对数函数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 logaN＝b 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 N 没有 0 1 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 logaM＋logaN logaM－logaN blogaM 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 (0，＋∞) (1，0) 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 增函数 减函数 x轴 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 y＝logax y＝x 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 × × × × √ 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（北） 第二章　函　数 谢谢观看！ 课标解读 1．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．了解对数函数的概念及其单调性与特殊点． 3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1). 1．对数的概念 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作_______________，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2．对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①＝__； ②logaab＝b(a>0，且a≠1). ③负数和零____对数． ④loga1＝__(a>0，且a≠1). ⑤logaa＝__(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，b∈R，那么 ①loga(MN)＝______________________； ②loga eq \f(M,N) ＝_______________________； ③logaMb＝_____________． (3)换底公式：logab＝________(a>0，b>0，c>0，且a≠1，c≠1). eq \f(logcb,logca) 3．对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)称为对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 a>1 0<a<1 性质 定义域：_______________ 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点___________ 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 a>1 0<a<1 性质 在定义域(0，＋∞)上是______， 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 在定义域(0，＋∞)上是______， 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 对称性：函数y＝logax与的图象关于____对称 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数______________(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称． 1．判断正误 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　　) (2)logax·logay＝loga(x＋y).(　　　) (3)函数y＝log2x及y＝都是对数函数.(　　　) (4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　　) (5)函数y＝ln eq \f(1＋x,1－x) 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　　) 2．使式子log(2x－1)(2－x)有意义的x的取值范围是(　　) A．x>2 B．x<2 C． eq \f(1,2) <x<2 D． eq \f(1,2) <x<2，且x≠1 答案：D 3．已知a＝log52，b＝log83，c＝ eq \f(1,2) ，则下列判断正确的是(　　) A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c C　解析：a＝log52<log5 eq \r(5) ＝ eq \f(1,2) ＝log82 eq \r(2) <log83＝b，即a<c<b. 4．(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A．a>1 B．0<c<1 C．0<a<1 D．c>1 答案：BC 5．计算：(log29)·(log34)＝____________________． 答案：4　解析：(log29)·(log34)＝ eq \f(lg 9,lg 2) × eq \f(lg 4,lg 3) ＝ eq \f(2lg 3,lg 2) × eq \f(2lg 2,lg 3) ＝4. 6．若loga eq \f(3,4) <1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________________． 答案：(0， eq \f(3,4) )∪(1，＋∞) 1．(log29)(log32)＋loga eq \f(5,4) ＋loga( eq \f(4,5) a)(a>0，且a≠1)的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　解析：原式＝(2log23)(log32)＋loga( eq \f(5,4) × eq \f(4,5) a)＝2×1＋logaa＝3. 2．(2024·甘肃兰州质检)设2a＝5b＝m，且 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＝1，则m＝(　　) A． eq \r(10) B．10 C．20 D．100 B　解析：因为2a＝5b＝m， 所以a＝log2m，b＝log5m， 所以 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＝logm2＋logm5＝logm10＝1， 又∵m＞0，∴m＝10. 3．(2023·江苏镇江第一中学月考)航天之父、俄国科学家齐奥科夫斯基(K.E.Tsiolkovsky)于1903年给出火箭最大速度的计算公式v＝V0ln (1＋ eq \f(M,m0) ).其中V0是燃料相对于火箭的喷射速度，M是燃料的质量，m0是火箭(除去燃料)的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度．已知V0＝2 km/s，则当火箭的最大速度v可达到10 km/s时，火箭的总质量(含燃料)与火箭(除去燃料)的质量的比值为(　　) A．e5 B．e5－1 C．e6 D．e6－1 A　解析：由题意可知，2ln (1＋ eq \f(M,m0) )＝10，则1＋ eq \f(M,m0) ＝ eq \f(M＋m0,m0) ＝e5，即火箭的总质量(含燃料)至少是火箭(除去燃料)的质量的e5倍，故选A. 4．(2023·辽宁大连高一月考)已知a>b>1，若logab＋logba＝ eq \f(5,2) ，ab＝ba，则a＋b＝________________． 答案：6　解析：设logba＝t，则t>1，因为t＋ eq \f(1,t) ＝ eq \f(5,2) ， 所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba， 所以b2b＝bb2，即2b＝b2， 又a>b>1，解得b＝2，a＝4. 所以a＋b＝6. 【例1】 (1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a-1<b<1 B．0<b<a-1<1 C．0<b-1<a<1 D．0<a-1<b-1<1 (2)当0＜x≤ eq \f(1,2) 时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　) A．(0， eq \f(\r(2),2) ) B．( eq \f(\r(2),2) ，1) C．(1， eq \r(2) ) D．( eq \r(2) ，2) (1)A　(2)B　解析：(1)由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1．函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0， 解得 eq \f(1,a) <b<1．综上有0< eq \f(1,a) <b<1． (2)易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图． 由题意可知只需满足loga eq \f(1,2) ＞， 解得a＞ eq \f(\r(2),2) ，所以 eq \f(\r(2),2) ＜a＜1． 【变式】 若将本例(2)中的条件“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，则实数a的取值范围为____________________． 答案：( eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) 　解析：若方程4x＝logax在( eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在( eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 上有交点．由图象可知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,loga\f(1,2)≤2，)) 解得0＜a≤ eq \f(\r(2),2) ，即a的取值范围为( eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) . 【练1】 (2023·广东汕头检测)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，)))) 且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是____________． 答案：(1，＋∞)　解析：如图，在同一平面坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点． 考向1　比较大小问题 【例2】 (2023·山东滨州月考)已知a＝log315，b＝log420，2c＝1．9，则(　　) A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象等核心素养 思路 点拨 利用对数运算法则转化为比较log35与log45的大小，可用作商比较法求解 D　解析：a＝log315＝log3(3×5)＝1＋log35＞1， b＝log420＝log4(4×5)＝1＋log45＞1，c＝log21．9＜1，因为log35＝ eq \f(lg 5,lg 3) ＞ eq \f(lg 5,lg 4) ＝log45，所以a＞b＞c. 【练2】 若0＜x＜y＜1，则(　　) A．2x＜3y＜1 B．( eq \f(1,3) )x＜( eq \f(1,3) )y＜1 C．logx3＜logy4＜0 D．logy4＜logx3＜0 D　解析：因为0＜x＜y＜1， 所以2x＞20＝1，3y＞30＝1，故A不正确； 0＜ eq \f(1,3) ＜1，所以1＝( eq \f(1,3) )0＞( eq \f(1,3) )x＞( eq \f(1,3) )y，故B不正确； 0＝logx1＞logx3＞logx4＞logy4，故C不正确；logy4＜logx4＜logx3＜logx1＝0，故D正确． 答案：{－1，1}　解析：当a>0时，由f(a)＝log2a＝l＝f(－a)＝，得a＝1；当a<0时，由f(a)＝＝log2(－ eq \f(1,a) )＝f(－a)＝log2(－a)，得a＝－1，∴方程f(a)＝f(－a)的解集为{1，－1}． 考向2　解简单的对数方程或不等式 【例3】 设 则方程f(a)＝f(－a)的解集为______． 【变式】 若本例条件不变，则f(a)>f(－a)的解集为________________． 答案：(－1，0)∪(1，＋∞)　解析：由题意得， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,log2a＞－log2a)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,－log2（－a）＞log2（－a），)) 解得a＞1或－1＜a＜0. 【练3】 (2023·浙江湖州调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式 的解集为____________． 答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(41,16))) ∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)，＋∞)) 　解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减， 即0＜2x－5＜ eq \f(1,8) 或2x－5＞8，解得 eq \f(5,2) ＜x＜ eq \f(41,16) 或x＞ eq \f(13,2) . 考向3　对数函数性质的综合问题 【例4】 (多选)(2023·湖北武汉六中月考)已知函数f(x)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1) ，下列说法正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)在( eq \f(1,2) ，＋∞)上单调递减 D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) ACD　解析：f(x)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1) ，令 eq \f(2x＋1,2x－1) ＞0， 解得x＞ eq \f(1,2) 或x＜－ eq \f(1,2) ， ∴f(x)的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) ∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) ， 又f(－x)＝ln eq \f(－2x＋1,－2x－1) ＝ln eq \f(2x－1,2x＋1) ＝ ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1,2x－1))) eq \s\up12(－1) ＝－ln eq \f(2x＋1,2x－1) ＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误． 又f(x)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1) ＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,2x－1))) ， 令t＝1＋ eq \f(2,2x－1) ，t＞0且t≠1，∴y＝ln t， 又t＝1＋ eq \f(2,2x－1) 在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 上单调递减， 且y＝ln t为增函数， ∴f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 上单调递减，故C正确； ∴y＝ln t的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确． 【练4】 (2023·山东潍坊模拟)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝f2(x)＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min＝________________． 答案：5　解析：由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(1≤x≤9，,1≤x2≤9，)))) ∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1，3]， g(x)＝f2(x)＋f(x2)＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2＝(log3x)2＋4log3x＋2， 设t＝log3x，则0≤t≤1， 则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0，1]上单调递增， ∴当t＝0，即x＝1时，g(x)min＝2， 当t＝1，即x＝3时，g(x)max＝7， ∴g(x)max－g(x)min＝5. $$