第1章 微专题系列之数学探究——基本不等式与其他知识的综合（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 微专题系列之数学探究——基本不等式与其他知识的综合 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课时作业(四) 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 谢谢观看！ 【例】 (1)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则 eq \f(4,b) ＋ eq \f(1,c) 的最小值是 ． (2)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则 eq \f(Sn＋8,an) 的最小值是 ． [思维过程] 明确目标→两题均为求代数式的最小值． 提取信息→(1)直线过圆心； (2)数列为等差数列且已知首项和公差均为1． 建立联系→(1)由直线过圆心，得到定值1＝b＋c； (2)结合等差数列的首项和公差求得其前n项和及通项公式，进而得到关于n的代数式． 思路导引→(1)圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0，1).因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1， 所以 eq \f(4,b) ＋ eq \f(1,c) ＝(b＋c)( eq \f(4,b) ＋ eq \f(1,c) )＝ eq \f(4c,b) ＋ eq \f(b,c) ＋5.因为b，c>0，所以 eq \f(4c,b) ＋ eq \f(b,c) ≥2 eq \r(\f(4c,b)·\f(b,c)) ＝4， 当且仅当b＝2c，即b＝ eq \f(2,3) ，c＝ eq \f(1,3) 时，取等号， 所以 eq \f(4,b) ＋ eq \f(1,c) ≥4＋5＝9，即 eq \f(4,b) ＋ eq \f(1,c) 的最小值为9. (2)由题意得an＝a1＋(n－1)d＝n， 所以Sn＝ eq \f(n（1＋n）,2) ， 所以 eq \f(Sn＋8,an) ＝ eq \f(\f(n（1＋n）,2)＋8,n) ＝ eq \f(1,2) (n＋ eq \f(16,n) ＋1)≥ eq \f(1,2) (2 eq \r(n·\f(16,n)) ＋1)＝ eq \f(9,2) ， 当且仅当n＝4时取等号． 所以 eq \f(Sn＋8,an) 的最小值是 eq \f(9,2) . 答案：(1)9　(2) eq \f(9,2) 【练】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为 ． 答案：9　解析：(方法一)　依题意画出图形，如图所示． ∵BD是∠ABC的平分线， ∠ABC＝120°，∴∠ABD＝∠DBC＝60°. 易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，即 eq \f(1,2) c sin 60°＋ eq \f(1,2) a sin 60°＝ eq \f(1,2) ac sin 120°，∴a＋c＝ac，∴ eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,c) ＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c)( eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,c) )＝5＋ eq \f(c,a) ＋ eq \f(4a,c) ≥5＋2 eq \r(\f(c,a)·\f(4a,c)) ＝9，当且仅当 eq \f(c,a) ＝ eq \f(4a,c) ，即a＝ eq \f(3,2) ，c＝3时等号成立． (方法二)　以B为原点，BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则D(1，0).由题意知，AB＝c，BC＝a，∠ABD＝∠CBD＝60°， ∴A( eq \f(c,2) ， eq \f(\r(3),2) c)，C( eq \f(a,2) ，－ eq \f(\r(3),2) a). ∵A，D，C三点共线，∴ eq \o(AD,\s\up13(→)) ∥ eq \o(DC,\s\up13(→)) ， ∴(1－ eq \f(c,2) )(－ eq \f(\r(3),2) a)＋ eq \f(\r(3),2) c( eq \f(a,2) －1)＝0， ∴ac＝a＋c，∴ eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,c) ＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c)( eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,c) )＝5＋ eq \f(c,a) ＋ eq \f(4a,c) ≥5＋2 eq \r(\f(c,a)·\f(4a,c)) ＝9，当且仅当 eq \f(c,a) ＝ eq \f(4a,c) ，即a＝ eq \f(3,2) ，c＝3时等号成立． $$