第1章 第3节 不等式性质与一元二次不等式（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第三节　不等式性质与一元二次不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 > ＝ < 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 > > < > 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 > < 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 {x|x<x1或x>x2} {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 f(x)g(x)>0(<0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0 (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－a，a) 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 × × √ × 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（北） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 谢谢观看！ 课标解读 1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 2．结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 3．了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 4．了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 1．实数a，b大小的比较，有以下基本事实： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(a__b⇔a－b>0，,a__b⇔a－b＝0，,a__b⇔a－b<0.)))) 2．不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 2 可加性 a>b⇒a＋c b＋c 可逆 3 可乘性 a>b，c>0⇒ac bc c的符号 a>b，c<0⇒ac bc 4 同向 可加性 a>b，c>d⇒a＋c b＋d 不可逆 性质 别名 性质内容 注意 5 同向 同正 可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac bd；a>b>0，c<d<0⇒ac bd 不可逆 6 可开 方性 a>b>0⇒ eq \r(n,a) > eq \r(n,b) n∈N＋， n≥2 特殊地，当a>b>0时，an>bn，其中n∈N＋，n≥2. 两个同向不等式可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3，但2×(－1)>(－1)×(－3)不成立. 3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ eq \f(b,2a) 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ____________ {x|x≠ － eq \f(b,2a) } R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ____________ 4.分式不等式与整式不等式 (1) eq \f(f（x）,g（x）) >0(<0)⇔ ； (2) eq \f(f（x）,g（x）) ≥0(≤0)⇔ ． 5．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为 ， |x|<a(a>0)的解集为 ． 解不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)时不要忘记a＝0时的情形． 1．判断正误 (1)一个不等式的两边同时加上或乘以同一个数，不等号方向不变．(　　　) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　　) (3)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　　) 2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　) A．M ＞N B．M ≥N C．M＜N D．M≤N 答案：A 3．(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　) ABC　解析：因为y＝在(0，＋∞)上单调递增， 所以，A正确； 因为y＝ eq \f(1,x) 在(0，＋∞)上单调递减，所以 eq \f(1,a) > eq \f(1,b) ，B正确； 因为 eq \f(a＋2,b＋2) － eq \f(a,b) ＝ eq \f(2（b－a）,（b＋2）b) >0，所以 eq \f(a＋2,b＋2) > eq \f(a,b) ，C正确； 当c＝0时，ac3＝bc3，所以D不正确． 4．(2023·湖南师大附中模拟)若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<)))) eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3))) ，则a＋b＝ ． 答案：－14　解析：依题意知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)＋\f(1,3)，,\f(2,a)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×\f(1,3)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2，)))) ∴a＋b＝－14. 5．(2023·江苏扬州中学月考)若关于x的一元二次不等式ax2＋ax－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 ． 答案：(－4，0)　解析：依题意知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0，)))) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,a2＋4a<0，)))) ∴－4<a<0. 1．若b＜a＜0，则下列不等式：①|a|＞|b|；②a＋b＜ab；③ eq \f(a2,b) ＜2a－b中，正确的不等式有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 C　解析：由b＜a＜0知|b|>|a|，a＋b＜0＜ab，而(a－b)2＞0，则有a2＋b2＞2ab，即 eq \f(a2,b) ＜2a－b，即②③都正确． 2．(多选)下列四个条件，能推出 eq \f(1,a) ＜ eq \f(1,b) 成立的有(　　) A．b＞0＞a B．0＞a＞b C．a＞0＞b D．a＞b＞0 ABD　解析：因为 eq \f(1,a) ＜ eq \f(1,b) 等价于 eq \f(1,a) － eq \f(1,b) ＝ eq \f(b－a,ab) ＜0，当a＞b，ab＞0时， eq \f(1,a) ＜ eq \f(1,b) 成立，故B，D正确．又正数大于负数，A正确，C错误． 3．(2023·四川绵阳调研)若0<a<b，则下列结论正确的是(　　) A．ln a>ln b B．b2<a2 C． eq \f(1,a) < eq \f(1,b) D．( eq \f(1,2) )a>( eq \f(1,2) )b D　解析：由于函数y＝ln x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞)) 上单调递增，又0<a<b，所以ln a<ln b，故A错误； 因为0<a<b，由不等式的性质可知，a2<b2，故B错误； 因为函数y＝ eq \f(1,x) 在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞)) 上单调递减，又0<a<b，所以 eq \f(1,a) > eq \f(1,b) ，故C错误； 因为函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞)) 上单调递减，又0<a<b，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(a) > eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(b) ，故D正确． 4．若a＝ eq \f(ln 2,2) ，b＝ eq \f(ln 3,3) ，则a b(填“＞”或“＜”) 答案：＜　解析：易知a，b都是正数， eq \f(b,a) ＝ eq \f(2ln 3,3ln 2) ＝log89＞1，所以b＞a. 考向1　不含参数的一元二次不等式的解法 【例1】 (1)(2023·湖南衡阳月考)不等式2x＋3－x2>0的解集是(　　) A．{x|－1＜x＜3} B．{x|x>3或x<－1} C．{x|－3＜x＜1} D．{x|x>1或x<－3} (2)求不等式0<x2－x－2≤4的解集． (1)A　解析：(1)原不等式变形为x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜3. (2)解：原不等式等价于 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x－2>0，,x2－x－2≤4，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x－2>0，,x2－x－6≤0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－2）（x＋1）>0，,（x－3）（x＋2）≤0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>2或x<－1，,－2≤x≤3.)) 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}． 【练1】 (多选)(2023·甘肃名校期中联考)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，则下列说法正确的是(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4} C.不等式cx2－bx＋a<0的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,4)或x>\f(1,3))))))) D．a＋b＋c>0 AC　解析：关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口方向向上，即a>0，故A正确； 对于B，方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3，4， 由根与系数的关系得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－3＋4，,\f(c,a)＝－3×4，)))) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－a，,c＝－12a.)))) bx＋c>0⇔－ax－12a>0，因为a>0，所以x<－12， 所以不等式bx＋c>0的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－12)) ， 故B错误； 对于C，由选项B可知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－a，,c＝－12a，)))) 所以cx2－bx＋a<0⇔－12ax2＋ax＋a<0⇔12x2－x－1>0⇔x<－ eq \f(1,4) 或x> eq \f(1,3) ， 所以不等式cx2－bx＋a<0的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,4)或x>\f(1,3))))))) ，故C正确； 对于D，a＋b＋c＝a－a－12a＝－12a<0，故D错误． 考向2　含参数的一元二次不等式的解法 【例2】 解不等式x2－(a＋1)x＋a<0. 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等学科素养 思路 点拨 将二次三项式因式分解，通过比较根的大小解不等式 解：原不等式可化为(x－a)(x－1)<0. 当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a}； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1}． 【变式】 将本例中的不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求此不等式的解集． 解：不等式可化为(ax－1)(x－1)<0， 因为a>0，所以a(x－ eq \f(1,a) )(x－1)<0. 当a>1时，解得 eq \f(1,a) <x<1；当a＝1时，解集为∅； 当0<a<1时，解得1<x< eq \f(1,a) . 综上，当0<a<1时，此不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a))))) ；当a＝1时，此不等式的解集为∅；当a>1时，此不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1)))) . 【练2】 (2023·湖南长沙一中月考)解关于x的不等式(x－1)(ax－a＋1)>0. 解：①当a＝0时，原不等式可化为x－1>0， 即x>1； 当a≠0时，(x－1)(ax－a＋1)＝0的两根分别为1，1－ eq \f(1,a) . ②当a>0时，1－ eq \f(1,a) <1， ∴原不等式的解为x>1或x<1－ eq \f(1,a) . ③当a<0时，1－ eq \f(1,a) >1， ∴原不等式的解为1<x<1－ eq \f(1,a) . 综上，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}； 当a>0时，原不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(x>1或x<1－\f(1,a))))))) ； 当a<0时，原不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(1<x<1－\f(1,a))))))) . 考向1　在实数集R上的恒成立问题 【例3】 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[－2，2] C．(－2，2] D．(－∞，－2) C　解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立． 当a≠2时，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,Δ＝4（a－2）2＋16（a－2）<0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,a2<4，)) 解得－2<a<2. 综上，实数a的取值范围是(－2，2]. 【练3】 若不等式2kx2＋kx－ eq \f(3,8) <0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A．(－3，0) B．[－3，0) C．[－3，0] D．(－3，0] D　解析：当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－ eq \f(3,8) <0对一切实数x都成立， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝k2－4×2k×（－\f(3,8)）<0，)) 解得－3<k<0.综上，所求k的取值范围是(－3，0]. 考向2　在给定区间上的恒成立问题 【例4】 若对任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．(－∞，0] C．[1，＋∞) D．(－∞，1] A　解析：(方法一)　令f(x)＝x2－2x＋a， 则由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）＝（－1）2－2×（－1）＋a≤0，,f（2）＝22－2×2＋a≤0，)) 解得a≤－3. (方法二)　当x∈[－1，2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1，2]).而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3. 【练4】 (2023·江苏宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A．[－1，3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D　解析：不等式x2＋px>4x＋p－3 可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0， 由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)， 令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)， 可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）＝x2－4x＋3>0，,f（4）＝4（x－1）＋x2－4x＋3>0，)) ∴解得x<－1或x>3. $$