第8章 专题4 第1课时 最值和范围问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

专题四　高考中的解析几何综合问题 第一课时　最值和范围问题 [对应学生用书P204] 圆锥曲线中的最值、范围问题是高考的热点和难点，主要涉及两个类型：一是以圆锥曲线定义与几何性质为背景的求最值、范围问题；二是以直线和圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求最值、范围问题． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】 已知双曲线Γ1：－＝1与圆Γ2：x2＋y2＝4＋b2(b>0)交于点A(xA，yA)(第一象限)，曲线Γ为Γ1，Γ2上取满足x>|xA|的部分． (1)若xA＝，求b的值； (2)当b＝，Γ2与x轴交点记作点F1，F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2； (3)过点D(0，＋2)且斜率为－的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M，N，用b表示·，并求·的取值范围． 解：(1)由xA＝，点A(xA，yA)为曲线Γ1与曲线Γ2的交点， 联立 解得 (2)由题意可得F1，F2为曲线Γ1的两个焦点， 由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a. 又|PF1|＝8，2a＝4， 所以|PF2|＝8－4＝4，因为b＝，则c＝＝3，所以|F1F2|＝6， 在△PF1F2中，由余弦定理可得 cos ∠F1PF2＝＝＝， 由0<∠F1PF2<π，可得∠F1PF2＝arccos . (3)设直线l：y＝－x＋，可得原点O到直线l的距离d＝＝， 所以直线l是圆的切线，设切点为M， 所以kOM＝，并设OM：y＝x与圆x2＋y2＝4＋b2联立， 可得x2＋x2＝4＋b2，可得x＝b，y＝2，即M(b，2)， 注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行， 所以只有当yA>2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点， 由可得y＝， 所以有4<，解得b2>2＋2或b2<2－2(舍去)， 因为为在上的投影可得，·＝4＋b2， 所以·＝4＋b2>6＋2，则·∈(6＋2，＋∞). 【练1】 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1，0)，点P是其渐近线上的一点，且以PF为直径的圆过点A，|PO|＝2，点O为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)当点P在x轴上方时，过点P作y轴的垂线与y轴相交于点B，设直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围． 解：(1)设双曲线C的半焦距为c，∵F (－c，0)，A(a，0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±x， 以PF为直径的圆过点A，∴PA⊥AF， 不妨取点P在y＝x上，设点P，＝，＝(a＋c，0)， ∵PA⊥AF，∴·＝(t－a)(a＋c)＝0，可得t＝a，则点P(a，b)， ∵|PO|＝2，则a2＋b2＝4，∵a＝1，∴b2＝3， ∴双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)由题意可知B(0，)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 线段MN中点Q(x0，y0)，联立得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0， 依题意 即① 由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1·x2＝－， 则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝， ∵|BM|＝|BN|，∴BQ⊥MN， ∴kBQ＝＝＝－， ∴3－k2＝m，② 又k2＝3－m>0，③ 由①②③得m<－或0<m<. 故实数m的取值范围是(－∞，)∪(0，). 角度1　几何法求最值 【例2】 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M(点P位于x轴上方)两点，且△OPM(O为坐标原点)的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l交椭圆C于A，B(A，B异于点P)两点，且直线PA与PB的斜率之积为－，求点P到直线l距离的最大值． 解：(1)由题意可得P，∴由题意可得 且c2＝a2－b2，解得 ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由(1)可得P， 当直线l斜率不存在时，设方程为x＝m(m≠1)，则A(m，y0)，B(m，－y0)，此时kPA·kPB＝·＝－，化简得y＝＋(1－m)2. 又＋＝1，解得m＝或m＝1(舍去)，此时点P到直线l的距离为， 当直线l斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设其方程为y＝kx＋m，联立可得且整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， Δ＝64m2k2－4(4k2＋3)(4m2－12)>0，且x1＋x2＝，x1x2＝， kPA·kPB＝·＝－，整理可得＝－(x1－1)(x2－1)， 整理可得x1x2＋(x1＋x2)＋＋＝0，整理可得2k2＋4m2－3m＋6km－＝0，即(2k＋4m＋3)＝0，可得k＋m－＝0或2k＋4m＋3＝0， 若k＋m－＝0，则直线方程为y－＝k(x－1)，直线恒过N，与P点重合， 若2k＋4m＋3＝0，则直线方程为y＋＝k，∴直线恒过定点Q，∴P到直线l的距离的最大值为|PQ|的值为＝， 由于>，∴点P到直线l距离的最大值为. 角度2　代数法求最值 【例3】 (2022·浙江卷)如图，已知椭圆＋y2＝1.设A，B是椭圆上异于P(0，1)的两点，且点Q(0，)在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝－x＋3于C，D两点． (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD|的最小值． 解：(1)设E(2cos θ，sin θ)是椭圆上任意一点，P(0，1)，则|PE|2＝12cos2θ＋(1－sinθ)2＝13－11sin2θ－2sinθ＝－11＋≤，当且仅当sin θ＝－时取等号，故|PE|的最大值是.即点P到椭圆上点的距离的最大值为. (2)由题易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋，直线AB方程与椭圆＋y2＝1联立，可得x2＋kx－＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 因为直线PA：y＝x＋1与直线y＝－x＋3交于C， 则xC＝＝，同理可得， xD＝＝，则 |CD|＝|xC－xD| ＝|－| ＝2 ＝2 ＝·＝·≥×＝， 当且仅当k＝时取等号，故|CD|的最小值为. 【练2】 (2023·江苏南通模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A(－1，0)，B(1，0)，两条准线之间的距离为1. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若点P为右准线上一点，直线PA与双曲线C交于A，M，直线PB与双曲线C交于B，N，求点B到直线MN的距离的最大值． 解：(1)由题意得a＝1.设双曲线C的焦距为2c，则2×＝1，所以c＝2. 所以b＝＝， 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)设P，则直线PA的方程为y＝(x＋1). 由得(4t2－27)x2＋8t2x＋4t2＋27＝0. 因为直线PA与双曲线C交于A，M，所以4t2－27≠0，所以t≠±. 因为xAxM＝－xM＝，所以xM＝－， yM＝(xM＋1)＝＝－， 所以M. 因为直线PB的方程为y＝－2t(x－1)， 由 得(4t2－3)x2－8t2x＋4t2＋3＝0. 因为直线PB与双曲线C交于B，N，所以4t2－3≠0， 所以t≠±. 因为xBxN＝xN＝， 所以yN＝－2t(xN－1)＝ －2t＝， 所以N. 所以当t≠±时，直线MN的方程为 y＋＝. 令y＝0，得x＝×＋＝＝2. 所以直线MN过定点D(2，0). 当t＝±时，－＝＝2，所以直线MN过定点D(2，0). 所以当BD⊥MN时，点B到直线MN的距离取得最大值为1. 【练3】 (2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3. (1)求C的方程； (2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程． 解：(1)抛物线的准线为x＝－，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时|MF|＝p＋＝3，所以解得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)设M，N，A，B，由题易知直线MN不可能与x轴重合，即设直线MN：x＝my＋1， 由可得y2－4my－4＝0，Δ>0，y1y2＝－4， 由斜率公式可得kMN＝＝，kAB＝＝，直线MD：x＝·y＋2，代入抛物线方程可得y2－·y－8＝0， Δ>0，y1y3＝－8，所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1， 所以kAB＝＝＝. 又因为直线MN，AB的倾斜角分别为α，β， 所以kAB＝tan β＝＝， 若要使α－β最大，则β∈， 设kMN＝2kAB＝2k>0，则tan (α－β)＝＝＝≤＝， 当且仅当＝2k，即k＝时，等号成立， 所以当α－β最大时，kAB＝，设直线AB：x＝y＋n， 代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0， Δ>0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4， 所以直线AB：x＝y＋4. 学科网（北京）股份有限公司 $$