第8章 第6节 双曲线（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第六节　双曲线 课标解读 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质． 3．通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想． [对应学生用书P196] 1．双曲线的定义 平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为正常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线，这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a， y∈R x∈R，y≤－a 或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0) A1(0，－a)， A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 1．判断正误 (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　×　　) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　×　　) (3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　√　　) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　√　　) 2．(多选)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.双曲线C上有一点P，若|PF1|＝7，则|PF2|＝(　　) A．1 B．6 C．7 D．13 AD　解析：因为双曲线C：－＝1，所以a＝3，所以||PF2|－|PF1||＝2a＝6， 又因为|PF1|＝7，所以|PF2|＝13或|PF2|＝1. 3．(2023·成都模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线的虚轴长为(　　) A．6 B．6 C．9 D．12 B　解析：根据题意可得 解得a＝b＝3， ∴该双曲线的虚轴长为2b＝6. 4．(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　) A．(1，1) B．(－1，2) C．(1，3) D．(－1，－4) D　解析：通解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得x－x＝，即(x1－x2)(x1＋x2)＝，化简得＝9，即·＝kAB·＝9，因此kAB＝9·. 由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图所示．对于A选项，因为kAB＝9×＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×＝－<－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×＝<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意． 光速解　选项中的点均位于双曲线两支之间，故A，B分别在双曲线的两支上且不关于原点对称，设线段AB的中点坐标为(x0，y0)，则|kAB|＝9<3，即|y0|>3|x0|，结合选项可知选D. 5．(2023·北京卷)已知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2，0)，离心率为，则C的方程为 ． 答案：－＝1　解析：根据题意可设所求方程为－＝1(a>0，b>0)， 又解得 ∴所求双曲线C的标准方程为－＝1. 6．(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值 ． 答案：2(满足1<e≤皆可)　解析：双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，所以C的渐近线方程为y＝±x， 结合渐近线的特点，只需0<≤2，即≤4， 可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”，所以e＝＝≤＝，又因为e>1，所以1<e≤. [对应学生用书P197] 1.(2023·福建模拟)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1) C　解析：设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切， 得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6， 所以点M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支， 且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8， 所以点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1). 2．(2023·湖北宜城第一中学模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，动点P在双曲线C的右支上，则(|PF1|－4)·(|PF2|－4)的最小值为(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 B　解析：因为动点P在双曲线C的右支上，由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝4， 所以|PF1|＝|PF2|＋4，因为a2＝4，b2＝21，所以a＝2， c＝＝5， 所以|PF2|≥c－a＝5－2＝3，将|PF1|＝|PF2|＋4代入(|PF1|－4)·(|PF2|－4)得 |PF2|·(|PF2|－4)＝|PF2|2－4|PF2|＝(|PF2|－2)2－4≥－3.即(|PF1|－4)·(|PF2|－4)的最小值为－3. 3．(2024·陕西西北工业大学附属中学模拟)已知双曲线C：－＝1的左焦点为F，点M在双曲线C的右支上，A(0，4)，当△MAF的周长取得最小时，△MAF的面积为(　　) A．2 B．4 C．8 D．12 D　解析：如图所示，设双曲线C的右焦点为F′，连接AF′，交双曲线于M′，则a＝2，F (－4，0)，F′(4，0)，又A(0，4)，所以|AF|＝＝4， 由双曲线的定义知，|MF|－|MF′|＝2a＝4，所以|MF|＝|MF′|＋4， 所以△MAF的周长为|MA|＋|MF|＋|AF|＝|MA|＋(|MF′|＋4)＋4≥|M′A|＋|M′F′|＋8＝|AF′|＋8＝12， 即当M在M′即AF′与双曲线的交点处时，△MAF的周长最小，此时直线AF′的方程为y＝－x＋4， 联立即y2－(－y＋4)2＝－8， 解得y＝1，即yM′＝1，故△MAF的面积为S△MAF＝|FF′|·(yA－yM′)＝×8×(4－1)＝12. 1.(2023·佛山调研)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．x2－＝1 D　解析：由题意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2b＝2，由双曲线的定义可得－＝2a，即c＝a. 又b＝，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1. 2．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，|OP|＝|OF|，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．x2－＝1 D　解析：设左焦点F的坐标为(－c，0)，由点F过直线4x－3y＋20＝0， 所以－4c－3×0＋20＝0，解得c＝5， 设右焦点为N，连接PF，PO，PN.如图所示， 由|OP|＝|OF|＝|ON|＝c，故△PFN为直角三角形，即∠FPN＝90°， 又因为直线斜率为，设直线倾斜角为α，则tan α＝. 又|FN|＝2c，则|PF|＝c，|PN|＝c， 由双曲线定义，则|PN|－|PF|＝c＝2a， 所以a＝1，所以b2＝c2－a2＝25－1＝24，所以双曲线C的方程为x2－＝1. 3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)满足＝，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则双曲线C的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 A　解析：由椭圆的标准方程为＋＝1，可得c2＝12－3＝9，即c＝3， 因为双曲线C的焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，所以双曲线C中，半焦距c＝3， 又因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)满足＝，即b＝a， 又由a2＋b2＝c2，即a2＋＝9，解得a2＝4，可得b2＝5， 所以双曲线C的标准方程为－＝1. 角度1　双曲线离心率的值(或范围) 【例1】 (2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，，则C的离心率为 ． 答案：　解析：方法一　由题意可知，设F1(－c，0)，F2(c，0)，A(x1，y1)，B(0，y0)，所以 即c2－y＝0，解得y＝4c2. 因为点A(c，－y0)在双曲线C上，所以－＝1，又y＝4c2，所以－＝1，即－＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝. 方法二　由前面方法一得A(c，－y0)，y＝4c2，所以|AF1|＝＝＝＝， |AF2|＝＝ ＝＝，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即－＝2a， 即c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝＝. 方法三　如图所示，由可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|F2A|＝|F2B|.设|F2B|＝3m(m>0)，则|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m.过F1作F1D⊥AB，垂足为D，则|AB|·|F1D|＝|F1A|·|F1B|，即×5m×|F1D|＝×4m×3m，所以|F1D|＝ m，所以|BD|＝＝ m，所以|F2D|＝m，则|F1F2|＝＝m＝2c，即c＝m，所以e＝＝. 【练1】 已知点F为双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A.若△OAF (点O为坐标原点)的面积为4，双曲线的离心率e∈[，]，则a2的取值范围为(　　) A．[2，2] B．[4，4] C．[，1] D．[，1] B　解析：取双曲线的一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0. 则F到渐近线的距离即|FA|＝＝b，|OA|＝＝＝a， ∴S△OAF＝ab＝4，即ab＝8. 又∵e∈[，]， ∴e2＝＝＝1＋∈[3，5]， 易得2a2≤b2≤4a2， 即2a2≤≤4a2， 解得a2∈. 角度2　双曲线的渐近线问题 【例2】 (2023·天津卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 D　解析：通解　不妨取渐近线y＝x，此时直线PF2的方程为y＝－(x－c)，与y＝x联立并解得即P(，). 因为直线PF2与渐近线y＝x垂直，所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝x(即bx－ay＝0)的距离，由点到直线的距离公式得|PF2|＝＝＝b，所以b＝2. 因为F1(－c，0)，P(，)，且直线PF1的斜率为，所以＝，化简得＝，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以＝，整理得a2－2a＋2＝0，即(a－)2＝0，解得a＝. 所以双曲线的方程为－＝1，故选D. 优解　因为过点F2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且|PF2|＝2，所以b＝2，再结合选项，排除选项B，C；若双曲线方程为－＝1，则F1(－2，0)，F2(2，0)，渐近线方程为y＝±x，不妨取渐近线y＝x，则直线PF2的方程为y＝－(x－2)，与渐近线方程y＝x联立，得P(，)，则kPF1＝，又直线PF1的斜率为，所以双曲线方程－＝1不符合题意，排除A，故选D. 【练2】 已知双曲线E：－＝1的离心率为，则双曲线E的两条渐近线的夹角为(　　) A． B． C．或 D．或 B　解析：当即m>0时，＝，解得m＝2，则双曲线E：－＝1， 此时渐近线的斜率为±＝±，所以渐近线的倾斜角为和， 所以双曲线E的两条渐近线的夹角为2×＝； 当即m<－4时，＝， 解得m＝－6， 则双曲线E：－＝1， 此时渐近线的斜率为±＝±，所以渐近线的倾斜角为和， 所以双曲线E的两条渐近线的夹角为 2＝. 角度3　与双曲线有关的最值和范围问题 【例3】 (1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与双曲线－x2＝1有相同的渐近线，过双曲线C右焦点F的直线l与双曲线C相交于M，N两点，弦MN的中点为G(6，6)，点P是双曲线C右支上的动点，点A是以点F为圆心，1为半径的圆上的动点，点B是圆D：x2＋y2－6y＋5＝0上的动点，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 (2)(2023·河南洛阳模拟)已知F是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点，A为椭圆C1的下顶点，双曲线C2：－＝1(m>0，n>0)与椭圆C1共焦点，若直线AF与双曲线C2的一条渐近线平行，C1，C2的离心率分别为e1，e2，则＋的最小值为 ． (1)D　(2)2　解析：(1)由双曲线－x2＝1知渐近线方程为y＝±x， 又双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与双曲线－x2＝1有相同的渐近线， ∴＝，∴b＝a，∴双曲线方程为3x2－y2＝3a2， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， ∴3x－y＝3a2，3x－y＝3a2， ∴3(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 又弦MN的中点为G(6，6)， ∴36(x1－x2)－12(y1－y2)＝0， ∴kMN＝＝3，设F (c，0)， ∴＝3，解得c＝4， ∴a2＋3a2＝c2＝16，解得a2＝4， ∴双曲线的方程为－＝1， 由圆x2＋y2－6y＋5＝0的方程可化为标准方程为x2＋(y－3)2＝4， 圆心为M(0，3)，半径为2， (|PA|＋|PB|)min＝|PF|＋|PD|－1－2≥|DF|－3＝－3＝2. 当且仅当D，F，P三点共线时取等号． (2)设C1的半焦距为c(c>0)，则F (c，0)，又A(0，－b)， 所以kAF＝，又直线AF与C2的一条渐近线平行， 所以＝，所以＝，所以＝，所以＝，所以e1e2＝1， 又＋＝＝e2＋2e1≥2＝2， 当且仅当e2＝2e1，即e1＝，e2＝时等号成立， 即＋的最小值为2. 【练3】 若点F1，F2依次为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，且|F1F2|＝6，B1(0，－b)，B2(0，b).若双曲线C上存在点P，使得B1P·B2P＝－2，则实数b的取值范围为 ． 答案：[，3)　解析：设双曲线上的点P(x，y)满足B1P·B2P＝－2，即x2＋y2＝b2－2， 又－＝1⇒y2＝x2－b2，∴(1＋)x2＝2b2－2，即x2＝2b2－2， ∵|x|≥a⇒x2≥a2，且c2＝9，∴2b2－2≥9⇒b≥， 又b＜c＝3，∴实数b的取值范围是[，3). 【例4】 (2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上． (1)解：设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，c为双曲线C的半焦距， 由题意可得解得 所以双曲线C的方程为－＝1. (2)证明：方法一(根与系数的关系)　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4， 则x1＝my1－4，x2＝my2－4. 联立得 得(4m2－1)y2－32my＋48＝0. 因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ>0. 由根与系数的关系得所以y1＋y2＝y1y2. 因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点， 所以A1(－2，0)，A2(2，0). 直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝， 所以＝，得＝，＝＝. 因为＝ ＝ ＝＝－3， 所以＝－3，解得x＝－1， 所以点P在定直线x＝－1上． 方法二(齐次化)　由题意得A1(－2，0)，A2(2，0). 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 直线MN的方程为x＝my－4， 则－＝1，即4x－y＝16. 如图，连接MA2， kMA1·kMA2＝·＝＝＝4.① 由－＝1，得4x2－y2＝16，4[(x－2)＋2]2－y2＝16， 4(x－2)2＋16(x－2)＋16－y2＝16，4(x－2)2＋16(x－2)－y2＝0. 由x＝my－4，得x－2＝my－6，my－(x－2)＝6，[my－(x－2)]＝1. 4(x－2)2＋16(x－2)·[my－(x－2)]－y2＝0，4(x－2)2＋(x－2)my－(x－2)2－y2＝0， 两边同时除以(x－2)2，得＋·－()2＝0， 即()2－·－＝0. kMA2＝，kNA2＝， 由根与系数的关系得kMA2·kNA2＝－.② 由①②可得kMA1＝－3kNA2. 由解得x＝－1. 所以点P在定直线x＝－1上． 【练4】 (2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率； (2)若tan ∠PAQ＝2，求△PAQ的面积． 解：(1)将点A的坐标代入双曲线方程得－＝1， 化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2， 故双曲线C的方程为－y2＝1. 由题意知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立直线l与双曲线C的方程并整理得(2k2－1)x2＋4kbx＋2b2＋2＝0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝. kAP＋kAQ＝＋＝＋＝0， 化简得2kx1x2＋(b－1－2k)(x1＋x2)－4(b－1)＝0， 故＋(b－1－2k)(－)－4(b－1)＝0， 整理得(k＋1)(b＋2k－1)＝0， 又直线l不过点A，即b＋2k－1≠0， 故k＝－1.即l的斜率为－1. (2)不妨设直线PA的倾斜角为θ(0＜θ＜)，由题意知∠PAQ＝π－2θ， 所以tan ∠PAQ＝－tan 2θ＝＝2， 解得tanθ＝或tan θ＝－(舍去)， 由 得x1＝， 所以|AP|＝|x1－2|＝， 同理，得x2＝， 所以|AQ|＝|x2－2|＝， 因为tan ∠PAQ＝2，所以sin ∠PAQ＝， 故S△PAQ＝|AP||AQ|sin ∠PAQ ＝×××＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$