第8章 第5节 第2课时 直线与椭圆（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第二课时　直线与椭圆 [对应学生用书P193] 1.已知两定点M(0，－1)，N(0，1)，直线l：y＝x＋，在直线l上满足|PM|＋|PN|＝2的点P的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．0或1或2 B　解析：∵|PM|＋|PN|＝2，|MN|＝2， ∴P在以M，N为焦点，2为长轴长的椭圆上， 由于2a＝2，a＝，又c＝1，因此b＝＝1， 椭圆方程为＋x2＝1， 由解得 ∴P点只有一个． 2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.(*) 判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程(*)有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解． 这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程(*)有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解． 这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程(*)没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 角度1　求弦长问题 【例1】 (2022·北京卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，焦距为2. (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(－2，1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.当|MN|＝2时，求k的值． 解：(1)依题意可得b＝1，2c＝2，又c2＝a2－b2， 所以a＝2，b＝1，c＝，所以椭圆方程为＋y2＝1. (2)依题意过点P(－2，1)的直线为y－1＝k(x＋2)， 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，不妨令－2≤x1<x2≤2， 由消去y整理得(1＋4k2)x2＋(16k2＋8k)x＋16k2＋16k＝0，所以Δ＝(16k2＋8k)2－4(1＋4k2)·(16k2＋16k)>0，解得k<0， 所以x1＋x2＝－，x1·x2＝， 直线AB的方程为y－1＝x，令y＝0，解得xM＝， 直线AC的方程为y－1＝x，令y＝0，解得xN＝， 所以|MN|＝|xN－xM|＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝2， 所以|x1－x2|＝|k|(x2＋2)(x1＋2)， 即＝|k|[x2x1＋2(x2＋x1)＋4]，即 ＝|k|， 即＝·[16k2＋16k－2(16k2＋8k)＋4(1＋4k2)]，整理得8＝4|k|，解得k＝－4. 【练1】 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点P(－2，1). (1)求椭圆C的标准方程； (2)若A，B是C上两点，直线AB与圆x2＋y2＝2相切，求|AB|的取值范围． 解：(1)由题意得， 解得 所以C的标准方程为＋＝1. (2)圆x2＋y2＝2的圆心为(0，0)，半径为r＝. ①当直线AB的斜率不存在时，方程为x＝或x＝－， 于是有或 解得y＝±，所以|AB|＝2. ②当直线AB的斜率为0时，方程为y＝或y＝－， 于是有或 解得x＝±，所以|AB|＝2. ③当直线AB的斜率不为0时，设斜率为k，方程为y＝kx＋t，即kx－y＋t＝0， 因为直线AB与圆x2＋y2＝2相切，所以＝，得t2＝2(k2＋1)， 建立方程组消y并化简得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－6＝0， Δ＝16k2t2－4(2k2＋1)(2t2－6)＝48k2－8t2＋24＝32k2＋8>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝， 所以|AB|＝· ＝· ＝· ＝2· ＝2·>2， 而4k2＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当4k2＝，即k2＝时，等号成立． 所以|AB|＝2·≤3，所以2<|AB|≤3. 综上所述，|AB|的取值范围是[2，3]. 角度2　中点弦问题 【例2】 已知P(1，1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为 ． 答案：x＋2y－3＝0　解析：方法一　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，Δ＝3k2＋2k＋1， ∴x1＋x2＝，又∵x1＋x2＝2， ∴＝2，解得k＝－.经检验，k＝－满足题意． 故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 方法二　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①　＋＝1，② ①－②得＋＝0， ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＋y1－y2＝0，又x1－x2≠0，∴k＝＝－. 经检验，k＝－满足题意． ∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 【练2】 (2023·山西名校联考)已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点为F (2，0)，该椭圆被直线x＋3y－4＝0所截得弦的中点的横坐标为1，则该椭圆的标准方程为 ． 答案：＋＝1　解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 由题意，椭圆被直线x＋3y－4＝0所截得弦AB的中点的坐标为(1，1)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， 由得b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0， 则kAB＝＝－， ∴－＝－，即a2＝3b2， 又a2－b2＝4，所以a2＝6，b2＝2， 故椭圆的标准方程为＋＝1. 【练3】 椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点F1(－2，0)，离心率e＝. (1)求椭圆E的标准方程； (2)求以点P(2，1)为中点的弦AB所在的直线方程． 解：(1)根据题意可得c＝2，＝，故可得a＝4，则b2＝a2－c2＝12，故椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)由题意可知直线AB的斜率存在，设A，B两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)， 故可得＋＝1，＋＝1，故＝－， 故×＝－， 由题意可知＝2，＝1， 故可得＝kAB＝－，经检验，k＝－满足题意，故直线AB的方程为y－1＝－(x－2)，即3x＋2y－8＝0. 【例3】 (2023·天津卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，|A1F|＝3，|A2F|＝1. (1)求椭圆的方程和离心率e； (2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP的面积的二倍，求直线A2P的方程． 解：(1)如图，由题意可知 故则b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆的标准方程为＋＝1， 此椭圆的离心率e＝＝. (2)由题易知直线A2P的斜率存在且不为0，所以可设直线A2P的方程为y＝k(x－2).由可得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，Δ＞0 设P(xP，yP)，则由根与系数的关系可知xP＋2＝，即xP＝，则yP＝k(xP－2)＝. 由直线A2P交y轴于点Q可得Q(0，－2k)， ①当2|yP|－2|yQ|＝|yP|时，|yP|＝2|yQ|，即有＝2·|－2k|，解得k＝0，不符合题意，舍去． ②当2|yQ|－2|yP|＝|yP|时，2|yQ|＝3|yP|，即有4|k|＝，解得k＝±. 故直线A2P的方程为y＝±(x－2). 【练4】 (2023·北京卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A，C分别为E的上、下顶点，B，D分别为E的左、右顶点，|AC|＝4. (1)求E的方程； (2)点P为第一象限内E上的一个动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N.求证：MN∥CD. (1)解：由题意可得：2b＝4，e＝＝，a2＝b2＋c2， 解得b＝2，a2＝9， ∴椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)证明：A(0，2)，B(－3，0)，C(0，－2)，D(3，0)， 直线BC的方程为＋＝1，化为2x＋3y＋6＝0. 设直线AP的方程为y＝kx＋2(k<0)， ∴N(，－2). 联立化为(4＋9k2)x2＋36kx＝0， 解得x＝0或x＝－， ∴P(－，). 直线PD方程为y＝(x－3)，即y＝(x－3)， 与2x＋3y＋6＝0联立，解得x＝，y＝. ∴M(，). ∴kMN＝＝，kCD＝， ∴MN∥CD. 学科网（北京）股份有限公司 $$