第3章 第1节 导数的概念与运算（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第三章　导数及其应用 第一节　导数的概念与运算 课标解读 1.了解导数概念的实际背景． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f (ax＋b)的复合函数)的导数． [对应学生用书P53] 1．导数 设函数y＝f (x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如果比值趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y＝f (x)在x＝x0处的导数或微商，记作f′(x0).这时我们就说f (x)在点x0处的导数存在，或者说f (x)在点x0处可导或可微． 上述定义可以简单地表述为：→f′(x0)(d→0)，读作“d趋近于0时，趋近于f′(x0)”． 2．导数的几何意义 当函数y＝f (x)表示曲线方程时，其导数f′(x)的几何意义就是该曲线在点(x，f (x))处的切线的斜率． 函数y＝f (x)的图象在点(x0，f (x0))处的切线方程：y－f (x0)＝f′(x0)(x－x0). 3．导函数 若y＝f (x)在定义区间中任一点的导数都存在，则f′(x)(或y′)也是x的函数，我们把f′(x)(或y′)叫作y＝f (x)的导函数或一阶导数． 若f′(x)在定义区间中任一点处都可导，则它的导数叫作f (x)的二阶导数，记作f″(x).类似地，可以定义三阶导数f‴(x)等等． 4．导数公式 基本初等函数 导函数 f (x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f (x)＝xα(α≠0) f′(x)＝αxα－1 f (x)＝sin x f′(x)＝cos x f (x)＝cos x f′(x)＝－sin x f (x)＝ax(a＞0，a≠1) f′(x)＝ax ln a f (x)＝ex f′(x)＝ex f (x)＝logax(a＞0，a≠1) f′(x)＝ f (x)＝ln x f′(x)＝ f (x)＝tan x f′(x)＝ 5.导数的运算法则 (1)函数常数倍的导数：(cf (x))′＝cf′(x). (2)两函数之和的求导法则：(f (x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x). 两函数之差的求导法则：(f (x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x). (3)函数乘积的求导法则：(f (x)g(x))′＝f′(x)·g(x)＋f (x)g′(x). (4)函数的倒数的求导法则：()′＝－(f (x)≠0). (5)两函数之商的求导法则：()′＝(f (x)≠0). 6．复合函数的导数 对于复合函数y＝F (x)＝f (g(x))，记u＝g(x)，则F′(x)＝f′(u)·g′(x)，也可以记作y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．判断正误 (1)f′(x0)与[f (x0)]′表示的意义相同．(　　×　　) (2)求f′(x0)时，可先求f (x0)再求f′(x0).(　　×　　) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　√　　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　×　　) (5)函数f (x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x.(　　×　　) 2．已知f′(4)＝3，则 ＝(　　) A．－3 B．3 C．－4 D．4 B　解析： ＝f′(4)＝3.故选B. 3．如图所示为函数y＝f (x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f (x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) D　解析：由题图可知，y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，则y＝f (x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处斜率相同，且y＝g(x)的导数越来越大，y＝f (x)的导数越来越小，故排除A，B，C. 4．已知f (x)＝，则f′(x)＝(　　) A． B．2 C． D． D　解析：f (x)＝＝， 则f′(x)＝＝.故选D. 5．已知函数f (x)＝ln (2x－1)＋3xf′(1)，则f′(1)＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．3 B　解析：因为f (x)＝ln (2x－1)＋3xf′(1)， 所以f′(x)＝＋3f′(1)， 令x＝1，可得f′(1)＝＋3f′(1)，解得f′(1)＝－1. 故选B. 6．(忽视切点的位置致误)已知曲线f (x)＝2x3－3x，过点M(0，32)作曲线f (x)的切线，则切线方程为 ． 答案：y＝21x＋32　解析：设切点坐标为N(x0，2x－3x0)，则切线的斜率k＝f′(x0)＝6x－3， 故切线方程为y＝(6x－3)x＋32，又因为点N在切线上， 所以2x－3x0＝(6x－3)x0＋32， 解得x0＝－2，所以切线方程为y＝21x＋32. [对应学生用书P54] 1.(多选)下列求导运算正确的是(　　) A．(ex)′＝ex B．(ln x＋)′＝－ C．()′＝ D．(3x sin 2x)′＝3x(ln 3·sin 2x＋2cos 2x) ABD　解析：对于A，根据导数公式表可知(ex)′＝ex，即A正确； 对于B，易知(ln x＋)′＝(ln x＋3x－1)′＝＋3×(－1)x－1－1＝－，所以B正确； 对于C，利用求导的除法法则可知()′＝＝，即C错误； 对于D，利用复合函数求导及乘法运算法则得(3x sin 2x)′＝(3x)′sin 2x＋3x(sin 2x)′＝3x ln 3·sin 2x＋3x cos 2x·(2x)′＝3x(ln 3·sin 2x＋2cos 2x)，所以D正确． 2．若函数f (x)＝eax＋ln (x＋1)，f′(0)＝4，则a＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D　解析：由f＝eax＋ln ，得f′＝aeax＋， 又f′＝4，所以f′＝a＋1＝4，则a＝3. 3．设函数f (x)可导且f (x)在x0处的导数值为1，则 ＝ . 答案：　解析：依题意，f′(x0)＝1， 所以 ＝ ＝f′(x0)＝. 4．已知函数f (x)＝ex sin 2x，则f′()＝ ． 答案：　解析：由于f′(x)＝(ex)′·sin 2x＋ex·(sin 2x)′＝ex(sin 2x＋2cos 2x)， 所以f′()＝ (sin π＋2cos π)＝. 角度1　求曲线的切线方程 【例1】 (1)(2023·全国甲卷)曲线y＝在点(1，)处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． (1)C　(2)y＝x　y＝－x　解析：(1)因为y＝，y′＝＝， 故函数在点(1，)处的切线斜率k＝，切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋. 故选C. (2)因为y＝ln |x|， 当x＞0时，y＝ln x，设切点为(x0，ln x0)，由y′＝，得切线斜率k＝， 所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0). 又切线过坐标原点，所以－ln x0＝(－x0)， 解得x0＝e，所以切线方程为y＝x； 当x＜0时，y＝ln (－x)， 设切点为(x1，ln (－x1))， 由y′＝，得切线斜率k＝， 所以切线方程为y－ln (－x1)＝(x－x1). 又切线过坐标原点，所以－ln (－x1)＝(－x1)， 解得x1＝－e，所以切线方程为y＝－x. 【练1】 (2023·四川绵阳期末)过点P(1，4)作曲线y＝的切线，则切线方程为 . 答案：2x＋y－6＝0　解析：由题意得点P(1，4)不在曲线上，设切点M(m，n)，且m≠1，则n＝①， 又y′＝，则切线斜率为k＝＝②， 联立①②得n＝2，m＝2，即M(2，2)， 切线的斜率为k＝＝－2， 故切线方程为y－2＝－2(x－2)， 即2x＋y－6＝0. 【练2】 过点(3，0)作曲线f (x)＝xex的两条切线，切点分别为(x1，f (x1))，(x2，f (x2))，则x1＋x2＝(　　) A．－3 B．－ C． D．3 D　解析：因为f (x)＝xex，所以f′(x)＝(x＋1)ex，设切点坐标为， 即关于x0的方程－x＋3x0＋3＝0有两个不同的解x1，x2， 所以x1＋x2＝3. 角度2　求参数问题 【例2】 (1)(2023·湖南模拟)已知P是曲线C：y＝ln x＋x2＋(－a)x上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为θ，若≤θ<，则实数a的取值范围是(　　) A．[2，0) B．[2，0) C．(－∞，2] D．(－∞，2] (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． (1)D　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞)　解析：(1)因为y＝ln x＋x2＋x，所以y′＝＋2x＋－a. 因为曲线在P点处的切线的倾斜角θ∈，所以y′≥tan ＝对于任意的x>0恒成立， 即＋2x＋－a≥对任意x>0恒成立，即a≤2x＋， 又2x＋≥2，当且仅当2x＝， 即x＝时，等号成立，故a≤2， 所以a的取值范围是. (2)因为y＝(x＋a)ex， 所以y′＝(x＋1＋a)ex. 因为切线有两条，所以Δ＝a2＋4a＞0， 解得a＜－4或a＞0， 所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). 【练3】 若曲线y＝(x＋1)ex过点P(a，0)的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是 ． 答案：(－∞，－5)∪(－1，＋∞)　解析：y′＝(x＋2)ex，设切点(t，(t＋1)et)，则切线的斜率为k＝(t＋2)et， 故切线方程为y＝(t＋2)etx＋(－t2－t＋1)et， 将x＝a，y＝0代入，得[a(t＋2)＋(－t2－t＋1)]·et＝0， ∵et≠0，∴－t2＋(a－1)t＋2a＋1＝0有两个不等实根， 故Δ＝(a－1)2＋4(2a＋1)＝a2＋6a＋5＞0，解得a＞－1或a＜－5. 角度3　两条曲线的公切线问题 【例3】 已知直线l：y＝kx＋b是函数f (x)＝ax2(a>0)与函数g(x)＝ex的公切线，若(1，f (1))是直线l与函数f (x)相切的切点，则a＝ ． 答案：　解析：∵f (x)＝ax2(a>0)， ∴f′(x)＝2ax， ∵(1，f (1))是直线l与函数f (x)相切的切点， ∴k＝f′(1)＝2a，f (1)＝a， ∴a＝2a＋b， ∴b＝－a， 即直线l的方程为y＝2ax－a. ∵g(x)＝ex， ∴g′(x)＝ex， 设y＝2ax－a与g(x)＝ex的切点坐标为(x0，y0)， 【练4】 (2024·甘肃二模)已知函数f (x)＝x ln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，若经过点A(0，－1)存在一条直线l与f (x)图象和g(x)图象都相切，则a＝(　　) A．0 B．－1 C．3 D．－1或3 D　解析：设直线l与f (x)＝x ln x相切的切点为(m，m ln m)，由f (x)＝x ln x的导数为f′(x)＝1＋ln x，可得切线的斜率为1＋ln m，则切线的方程为y－m ln m＝(1＋ln m)(x－m)，将A(0，－1)代入切线的方程可得－1－m ln m＝(1＋ln m)·(0－m)，解得m＝1，则切线l的方程为y＝x－1，联立可得x2＋(a－1)x＋1＝0，由Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$