第2章 专题培优课2 指对幂式大小比较问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

◆专题培优课2　指对幂式大小比较问题 [对应学生用书P38] 比较大小的问题，是高考命题中的热点问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序．这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答．从近两年命题情况看，题目的难度有增大趋势，往往需要构造转化． 【例1】 (1)(2023·北京海淀二模)已知x>y>0, 则(　　) A．> B．()x>()y C．cos x>cos y D．ln (x＋1)>ln (y＋1) (2)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b (1)D　(2)A　解析：(1)取x＝2，y＝1，利用排除法，逐一排除即可得结果． 因为x＝2，y＝1 时，<，<，cos x<cos y，所以可排除选项A，B，C，故选D. (2)因为a＝log323<log39＝＝c，b＝log533>log525＝＝c，所以a<c<b. 【练1】 若a＝log2，，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a B　解析：由题意＝，故b>c.又2<＝2<3，即<3，所以log4<log43，即<log43. 因为a＝log2＝log43，所以c<a. 因为28＝256>243＝35，故log23<<，即>3，所以log4>log43，所以>log43，所以b>a，所以b>a>c. 【例2】 (2024·陕西西安一模)已知a＝ln ，b＝ln (lg 2)，c＝lg (ln 2)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>c>a A　解析：先比较a，b，易知， 故ln (lg 2)<ln ，即b<a. 又e<10，故当x>1 时，ln x>lg x； 当0<x<1 时，ln x<lg x, 故lg >ln ， 而ln 2>， 故lg (ln 2)>lg >ln ，有c>a. 综上，可得b<a<c. 【练2】 (2024·江西二模)已知，b＝sin ，，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>c>a C　解析：，因为y＝sin x 在x∈上是单调递增函数，所以0<b＝sin<sin ＝，因为在[0，＋∞)上是单调递增函数，所以1>c＝＝，所以a>c>b. 【例3】 (2023·泰安模拟)若a＝log23，b＝log34，c＝log45，则a，b，c 的大小关系是(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．b<a<c D．c<b<a D　解析：由题意，log23>log22＝1，log34>log33＝1，log45>log44＝1，即a>1，b>1，c>1， ∴a>>b>1. 综上，a>>b>>c>1， 所以c<b<a. 【练3】 已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b A　解析：由题意可知a，b，c∈(0，1)， ＝＝·<·＝＝<1，∴a<b. 由b＝log85，得8b＝5，由55<84，得85b<84， ∴5b<4，可得b<. 由c＝log138，得13c＝8，由134<85，得134<135c， ∴5c>4，可得c>.综上所述，a<b<c. A　解析：在同一坐标系中分别画出y＝2x，y＝，y＝log2x，y＝的图象，y＝2x 与y＝ 的图象的交点的横坐标为a，y＝ 与y＝的图象的交点的横坐标为b，y＝ 与y＝log2x 的图象的交点的横坐标为c，从图象可以看出a<b<c. 【练4】 (多选)(2024·河北邯郸一模)下列大小关系正确的是(　　) ABD　解析：作出y＝2x 和y＝x2 的图象，如图所示， 由图象可得，当x∈(0，2)时，2x>x2，则1.92<21.9， 当x∈(2，4)时，x2>2x，则22.9<2.92，故A，B正确． 令f (x)＝，则f (x)＝1＋，f (x)在(0，＋∞)上单调递减，所以，故C错误． log74－log127＝log74－＝ <＝<0，所以log74<log127，故D正确． 【例5】 (多选)已知实数x，y满足log3x－log3y<()x－()y，则下列结论正确的是(　　) A．> B．x3<y3 C．2x-y<1 D．ln (y－x)>0 ABC　解析：因为log3x－log3y<－ 成立，所以x，y∈R＋，由log3x－log3y<－ 变形得log3x－<log3y－，令函数f (x)＝log3x－，因为y＝log3x，y＝－都在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x)＝log3x－ 在(0，＋∞)上单调递增，log3x－<log3y－，即f (x)<f (y)，所以0<x<y，因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以>，A正确；因为函数y＝x3 在(0，＋∞)上单调递增，所以x3<y3，B正确； 因为x－y<0，且函数y＝2x 在(－∞，＋∞)上单调递增，所以2x－y<20＝1，C正确；因为y－x>0，所以ln (y－x)的符号可正可负，D错误．故选ABC. 【练5】 (2024·江苏扬州中学模拟)已知0<α<β<，则下列大小关系中正确的是(　　) A．(sin α)cos α>(sin α)cos β B．logsin αcos α>logsin αcos β C．(cos α)sin α>(cos β)sin β D．(cos α)sin β<(sin α)cos β C　解析：∵0<α<β<，∴0<sin α<cos α<1，且cos α>cos β，sin α<sin β. 构造函数y＝(sin α)x，∵函数y＝(sin α)x 在R上单调递减，∴(sin α)cos α<(sin α)cos β，A错误；构造函数y＝logsin αx，∵函数y＝logsin αx 在(0，＋∞)上单调递减，∴logsin αcos α<logsin αcos β，B错误； 构造函数y＝(cos α)x 及函数y＝xsin β，∵函数y＝(cos α)x 在R上单调递减，函数y＝xsin β 在(0，＋∞)上单调递增，(cos α)sin α>(cos α)sin β>(cos β)sin β，C正确；(cos α)sin β<(sin α)cos β⇔sin βln (cos α)<cos βln (sin α) ⇔>⇔tan β>logcos αsin α， ∵0<β<，∴0<tan β<1，又logcos αsin α>logcos αcos α＝1，∴tan β<logcos αsin α，D错误． 【例6】 (多选)已知正数x，y，z 满足3x＝8y＝15z，则下列说法正确的是(　　) A．2x－3y>0 B．2x－3y<0 C．x－5z>0 D．x－5z<0 AD　解析：∵x，y，z均为正数， ∴可设3x＝8y＝15z＝k>1，则x＝log3k，y＝log8k，z＝log15k， 对于A，B，2x－3y＝2log3k－3log8k＝logk－log2k＝lg k， ∵lg 2>lg ，∴>，又lg k>lg 1＝0， ∴2x－3y>0，A正确，B错误； 【练6】 (2024·广东茂名一模)已知x，y，z 均为大于0的实数，且2x＝3y＝log5z，则x，y，z 大小关系正确的是(　　) A．x>y>z B．x>z>y C．z>x>y D．z>y>x C　解析：因为x，y，z 均为大于0的实数，所以令2x＝3y＝log5z＝t>1，进而将问题转化为函数y＝2x，y＝3x，y＝log5x的图象与直线y＝t>1 的交点的横坐标的关系，故作出函数图象，如图，由图可知z>x>y. 学科网（北京）股份有限公司 $$