第2章 专题培优课1 函数性质的综合问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

◆专题培优课1　函数性质的综合问题 [对应学生用书P25] 高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练． 【例1】 (2023·聊城二模)已知f (x)为R上的奇函数，f (2)＝2，若对∀x1，x2∈(0，＋∞)，当x1>x2时，都有(x1－x2)[－]<0，则不等式(x＋1)f (x＋1)>4的解集为(　　) A．(－3，1) B．(－3，－1)∪(－1，1) C．(－∞，－1)∪(－1，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B　解析：由(x1－x2)<0，得(x1－x2)<0， 因为x1－x2>0，x1x2>0所以x1f (x1)－x2f (x2)<0，即x1f (x1)<x2f (x2). 设g(x)＝xf (x)，则g(x)在(0，＋∞)上单调递减． 而g(x＋1)＝(x＋1)f (x＋1)>4＝2f (2)＝g(2)，则0<x＋1<2，解得－1<x<1. 因为f (x)为R上的奇函数，所以g(－x)＝－xf (－x)＝xf (x)＝g(x)， 则g(x)为R上的偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递增， g(x＋1)＝(x＋1)f (x＋1)>4＝g(－2)，则－2<x＋1<0，解得－3<x<－1. 综上，原不等式的解集为(－3，－1)∪(－1，1). 【练1】 (2023·新疆三模)已知定义在R上的偶函数f (x)满足f (x＋6)＝f (x)，且当x∈[0，3]时，f (x)＝xex，则下面结论正确的是(　　) A．f (ln 3)<f (e3)<f (－e) B．f (－e)<f (ln 3)<f (e3) C.f (e3)<f (－e)<f (ln 3) D．f (ln 3)<f (－e)<f (e3) A　解析：当x∈[0，3]，f (x)＝xex， f′(x)＝ex(x＋1)>0，∴当x∈[0，3]时，f (x)单调递增． ∵f (x＋6)＝f (x)，∴x∈[18，21]时，f (x)单调递增． 又由f (x)为偶函数，∴f (－e)＝f (e). ∵f (x)满足f (x＋6)＝f (x)， ∴f (e3)＝f (e3－18). 又由1<ln 3<2<e3－18<e， 得f (ln 3)<f (e3－18)<f (e)， 故f (ln 3)<f (e3)<f (－e). 【例2】 (2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)的定义域为R，且f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，f (1)＝1，则＝(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 A　解析：因为f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)·f (y)，令x＝1，y＝0，可得2f (1)＝f (1)f (0)，所以f (0)＝2.令x＝0，可得f (y)＋f (－y)＝2f (y)，即f (y)＝f (－y)，所以函数f (x)为偶函数．令y＝1，得f (x＋1)＋f (x－1)＝f (x)·f (1)＝f (x)，即f (x＋2)＋f (x)＝f (x＋1)，从而可知f (x＋2)＝－f (x－1)，f (x－1)＝－f (x－4)，故f (x＋2)＝f (x－4)，即f (x)＝f (x＋6)，所以函数f (x)的一个周期为6. 因为f (2)＝f (1)－f (0)＝1－2＝－1，f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－1＝－2，f (4)＝f (－2)＝f (2)＝－1，f (5)＝f (－1)＝f (1)＝1，f (6)＝f (0)＝2，所以一个周期内的f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝0.由于22除以6余4， 所以＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1－1－2－1＝－3. 【练2】 已知定义在R上的函数f (x)是奇函数且满足f (－x)＝f (x)，f (－2)＝－3，数列{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a2 015)＝(　　) A．－2 B．－3 C．2 D．3 B　解析：因为函数f (x)是奇函数且满足f ＝f (x)，可得f ＝－f (－x)， 则f (3－x)＝－f ＝f (－x)，即f (3－x)＝f (－x)，所以f (x)为周期为3的函数． 又因为数列{an}是等差数列，且a2＝3，a7＝13， 可得解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1， 所以f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a2 015)＝f (1)＋f (3)＋f (5)＋…＋f (4 029). 因为f (－2)＝－3，f (0)＝0，所以f (1)＝－3， 所以f (1)＋f (3)＋f (5)＝0， 所以f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a2 015)＝f (1)＋…＋f (4 029)＝f (1)＋f (3)＝－3. 将奇函数平移可以得到中心对称函数，若逆向探讨，则可以得到任何一个中心对称函数平移后都可以变成奇函数，这样便可以得到对称中心；将偶函数平移可以得到轴对称函数，若逆向探讨，则可以得到任何一个轴对称函数平移后都可以变成偶函数，这样便可以得到对称轴． 【例3】 (2023·天津二模)设函数y＝f (x)的定义域为D，若对任意的x1，x2∈D，且x1＋x2＝2a，恒有f (x1)＋f (x2)＝2b，则称函数f (x)具有对称性，其中点(a，b)为函数y＝f (x)的对称中心，研究函数f (x)＝x＋1＋＋tan (x－1)的对称中心，求f ()＋f ()＋f ()＋…＋f ()＝(　　) A．2 022 B．4 043 C．4 044 D．8 086 C　解析：令函数g(t)＝t＋＋tan t，则g(－t)＝－t－＋tan (－t)＝－＝－g(t)， 所以函数g(t)为奇函数，其图象关于原点对称， 可得f (x)＝x－1＋＋tan (x－1)＋2的图象关于点(1，2)中心对称， 即当x1＋x2＝2，可得f (x1)＋f (x2)＝4， 设M＝f ＋f ＋f ＋…＋f ， M＝f ＋f ＋f ＋…＋f ， 所以f ＋f ＋f ＋…＋f ＝4 044. 【练3】 (2023·上海模拟)若函数f (x)＝的最大值和最小值分别为M，m，则函数g(x)＝(M＋m)x＋sin [(M＋m)x－]的图象的对称中心不可能是(　　) A．(，) B．(，) C．(，) D．(，) C　解析：设h(x)＝f (x)－2＝，x∈R，则h(－x)＝＝－h(x)，即h(x)为奇函数， ∴M＋m＝h(x)＋2＋h(－x)＋2＝4， ∴g(x)＝4x＋sin ＝＋sin ＋. 令s(x)＝4x＋sin 4x， 则s(x)＋s＝4x＋sin 4x＋4－x＋sin (2kπ－4x)＝2kπ，k∈Z， 可知s(x)＝4x＋sin 4x的对称中心为(k∈Z)， 将s(x)＝4x＋sin 4x的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到g(x)的图象， ∴g(x)的对称中心为(k∈Z). 当＋＝时，解得k＝，不符合题意，可知不可能为C选项， 又当k＝1，0，5时分别对应选项A，B，D可知A，B，D均为g(x)的对称中心． 【例4】 (2024·黑龙江大庆三模)已知定义域为R的偶函数满足f (2－x)＝f (x)，当0≤x≤1时，f (x)＝e1－x－1，则方程f (x)＝在区间[－3，5]上所有解的和为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 A　解析：因为函数f (x)满足f (2－x)＝f (x)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝1对称． 又函数f (x)为偶函数，所以f (2－x)＝f (x)＝f (－x)， 所以函数f (x)是周期为2的函数． 又g(x)＝的图象也关于直线x＝1对称， 作出函数f (x)与g(x)在区间[－3，5]上的图象，如图所示， 由图可知，函数f (x)与g(x)的图象在区间[－3，5]上有8个交点，且两函数关于直线x＝1对称， 所以方程f (x)＝在区间[－3，5]上所有解的和为4×2×1＝8. 【练4】 设函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为奇函数，f (x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f (x)＝ax2＋b.若f (0)＋f (3)＝6，则f ()＝(　　) A．－ B．－ C． D． D　解析：因为f (x＋1)是奇函数，所以f (－x＋1)＝－f (x＋1).① 因为f (x＋2)是偶函数，所以f (x＋2)＝f (－x＋2).② 令x＝1，由①得f (0)＝－f (2)＝－(4a＋b)，由②得f (3)＝f (1)＝a＋b， 因为f (0)＋f (3)＝6，所以－(4a＋b)＋a＋b＝6，得a＝－2. 令x＝0，由①得f (1)＝－f (1)，则f (1)＝0，得b＝2， 所以f (x)＝－2x2＋2. 方法一　从定义入手． f ＝f ＝f ＝f ， f ＝f ＝－f ＝－f ， －f ＝－f ＝－f ＝－f ， 所以f ＝－f ＝. 方法二　从周期性入手． 由两个对称性可知，函数f (x)的周期T＝4. 所以f ＝f ＝－f ＝. 【例5】 (多选)已知函数f (x)＝log(2－x)－log2(x＋4)，则下列结论中正确的是(　　) A．函数f (x)的定义域是[－4，2] B．函数y＝f (x－1)是偶函数 C．函数f (x)在区间[－1，2)上是减函数 D．函数f (x)的图象关于直线x＝－1对称 BD　解析：函数f (x)＝log(2－x)－log2(x＋4)＝－log2[(2－x)(x＋4)]， 由2－x>0，x＋4>0可得－4<x<2，故函数f (x)的定义域为(－4，2)，故A选项错误； y＝f (x－1)＝－log2[(3－x)(x＋3)]的定义域为(－3，3)，设g(x)＝－log2[(3－x)(x＋3)]， 所以g(－x)＝－log2[(3＋x)(－x＋3)]＝g(x)，即y＝f (x－1)是偶函数，故B选项正确； f (x)＝－log2[(2－x)(x＋4)]＝－log2(－x2－2x＋8)＝－log2[－(x＋1)2＋9]＝log[－(x＋1)2＋9]， 当x∈[－1，2)时，t＝－(x＋1)2＋9是减函数，外层y＝logt也是减函数，所以函数f (x)在区间[－1，2)上是增函数，故C选项错误； 由f (－2－x)＝－log2[(x＋4)(2－x)]＝f (x)，可得f (x)的图象关于直线x＝－1对称，故D选项正确． 【练5】 (多选)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)＝－f (4－x)，且f (x＋1)＝f (1－x)，则(　　) A．f (x)为奇函数 B．f (x)的图象关于x＝2对称 C．f (x＋2)为偶函数 D．f (x)是周期为4的周期函数 AD　解析：因为f (x＋1)＝f (1－x)， 所以f (x)的图象关于直线x＝1对称． 因为f (x)＝－f (4－x)，所以f (x＋2)＝－f (2－x)，所以f (x)的图象关于点(2，0)对称． 对于A，由点(2，0)关于直线x＝1的对称点为(0，0)，(2，0)为f (x)的对称中心，且f (x)关于直线x＝1对称， 所以点(0，0)为f (x)的对称中心，即f (－x)＝－f (x)， 所以f (x)为奇函数，故A正确； 对于B，因为f (x)＝－f (4－x)， 所以f (x＋2)＝－f (2－x)， 所以f (x)的图象不关于直线x＝2对称，故B错误； 对于C，因为f (x)＝－f (4－x)，将x＋2代换x，得到f (x＋2)＝－f (2－x).① 对于f (x＋1)＝f (1－x)，将x＋1代换x，得到f (x＋2)＝f (－x).② 由①②得f (－x)＝－f (2－x)，将－x代换x，得到f (x)＝－f (2＋x)， 与②结合得f (x＋2)＝f (－x)＝－f (x)， 所以f (x＋2)为奇函数，故C错误； 对于D，对于f (x＋1)＝f (1－x)，将x－1代换x，得到f (x)＝f (2－x)， 又因为f (x)＝－f (4－x)，所以f (2－x)＝－f (4－x)， 将2－x代换x，得到f (x)＝－f (2＋x)， 将x－2代换x，得到f (x－2)＝－f (x)，所以f (x－2)＝f (x＋2)， 将x＋2代换x，得到f (x)＝f (x＋4)，即f (x)是周期为4的函数，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$