第2章 第9节 函数模型及其应用（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第九节　函数模型及其应用 课标解读 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． [对应学生用书P47] 1．几种函数增长的快慢 (1)指数函数y＝ax(a＞1)，a越大增长越快． (2)对数函数y＝logax(a＞1)，a越小，增长越快． (3)幂函数y＝xα(α＞0)，α越大增长越快． (4)一次函数y＝kx＋b(k＞0)，k越大增长越快． 2．几种函数增长的快慢比较 (1)当自变量x足够大时幂函数y＝xα(α＞0)的增长比一次函数y＝kx＋b(k＞0)快得多． (2)一次函数y＝kx＋b(k＞0)比对数函数y＝logax(a＞1)增长得快． (3)指数函数y＝ax(a＞1)增长最快，对数函数y＝logax(a＞1)增长最慢． 3．数学建模的步骤 (1)正确理解并简化实际问题； (2)建立数学模型； (3)求得数学问题的解； (4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和适用性． 4．常见的函数模型 (1)一次函数模型：f (x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0). (2)反比例函数模型：f (x)＝(k为常数，k≠0). (3)二次函数模型：f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0). (4)指数型函数模型：f (x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1). (5)对数型函数模型：f (x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1). (6)幂型函数模型：f (x)＝axα＋b(a，b为常数，α≠0). (7)“对勾”函数模型：f (x)＝x＋(k为常数，且k＞0). (8)分段函数模型：这个模型实质是以两种或多种模型的结合． 1．判断正误 (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　×　　) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　×　　) (3)已知a>0且a≠1，则不存在x0，使<x<logax0.(　　×　　) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝abx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　×　　) 2．(2023·江苏省普通高中学业水平合格性考试)在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1，2，…，11)，并由实验数据得到下面的散点图．由此散点图，在区间[－2，3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝a＋logbx D．y＝a＋ B　解析：由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型．故选B. 3．已知f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f (x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f (x)＞h(x) C．g(x)＞h(x)＞f (x) D．f (x)＞h(x)＞g(x) B　解析：当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)＞f (x)＞h(x).故选B. 4．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．6 B．9 C．8 D．7 BC　解析：设经过n次过滤，产品达到市场要求， 则×≤，即≤， 由n lg ≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥≈7.4.故选BC. 5．当N个相同的声强级为L0 dB的声源作用于某一点时，就会产生声强级的叠加，叠加后的声强级L′＝L0＋10lg N．已知一台电锯工作时的声强级是110 dB，则10台电锯工作时的声强级L1与5台电锯工作时的声强级L2的关系约为(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　　) A．L1≈2L2 B．L1≈3L2 C．L1－L2≈3 D．L1－L2≈7 C　解析：10台电锯工作时的声强级L1＝110＋10lg 10＝120，5台电锯工作时的声强级L2＝110＋10lg 5＝110＋10(1－lg 2)≈117，所以L1－L2≈3. 6．用32 m2的材料制作一个长方体形的无盖盒子，如果底面的宽规定为2 m，那么这个盒子的最大容积可以是(　　) A．36 B．18 C．16 D．14 C　解析：如图，设长方体无盖盒子底面边长为x(m)，高为h(m)，体积为v(m3)， 则表面积为2x＋2hx＋4h＝32， ∴h＝(0<x<16)， 体积为v＝2hx＝＝， 令t＝x＋2>2，则v＝＝40－2≤40－2×2＝16，当且仅当t＝，即t＝6时取等号，此时盒子的最大容积为16. 7．(忽视整体代入致误)把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么t min后物体的温度θ(单位：℃)满足等式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，其中k为常数．现有62 ℃的物体放到22 ℃的空气中冷却2 min后，物体的温度为42 ℃，再经过4 min冷却，该物体的温度可以冷却到 ． 答案：27 ℃　解析：依题意42＝22＋(62－22)·e-2k，即e-2k＝，故再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到22＋(42－22)·e-4k＝22＋20·(e-2k)2＝22＋20×＝27 ℃. [对应学生用书P48] 1.(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(　　) A．当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态 B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态 C．当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态 D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态 D　解析：当T＝220，P＝1 026时，lg P>3，此时二氧化碳处于固态，故A错误． 当T＝270，P＝128时，2<lg P<3，此时二氧化碳处于液态，故B错误． 当T＝300，P＝9 987时，lg P与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态， 另一方面，T＝300时对应的是非超临界状态，故C错误． 当T＝360，P＝729时，2<lg P<3，此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确． 2．(2023·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律的函数模型为(　　) A．y＝mx2＋n(m>0) B．y＝max＋n(m>0，0<a<1) C．y＝max＋n(m>0，a>1) D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1) B　解析：由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0，0<a<1. 3．(2024·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果： 则下列可以实现该功能的一种函数图象是(　　) A　解析：根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x上方．结合选项只有A选项能够较好地达到目的． 【例1】 某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10～1 000万元的收益．现准备对开发科研小组制定一个奖励方案：奖金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的20%. (1)若建立奖励方案函数模型y＝f (x)，试确定这个函数的定义域、值域和的范围； (2)现有两个奖励函数模型：①y＝＋2；②y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由． 解：(1)y＝f的定义域是，值域是(0，9]，∈. (2)当y＝＋2时，＝＋，而＋的最大值是>0.2，不符合公司的要求． 当y＝4lg x－3时，函数在定义域上为增函数，最大值为9. 由≤0.2可知y－0.2x≤0.令g(x)＝4lg x－3－0.2x，x∈[10，1 000]，则g′＝<0，所以g(x)在[10，1 000]上单调递减，所以g(x)≤g(10)＝－1＜0，即<0.2.故函数y＝4lg x－3符合公司的要求． 【练1】 (2023·海南嘉积中学期末)了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播、保护环境有极其重要的意义．某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究．经过2 min菌落的覆盖面积为18 mm2，经过3 min覆盖面积为27 mm2，后期其蔓延速度越来越快；现菌落的覆盖面积y(单位： mm2)与经过时间x(单位：min)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝＋q(p>0)可供选择． (参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477，lg 5≈0.699，36＝729，37＝2 187，38＝6 561，39＝19 683) (1)试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式； (2)在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过200 mm2？(结果保留到整数) 解：(1)∵y＝kax(k>0，a>1)的增长速度越来越快，y＝＋q(p>0)的增长速度越来越慢， ∴应选模型为y＝kax(k>0，a>1)， 则解得∴y＝8·. 又x∈N，∴函数模型为y＝8·(x∈N). (2)由题意得8·>200，即>25， ∴x≥8， ∴至少经过8 min培养基中菌落面积能超过200 mm2. 【例2】 草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x(x＝1，2，3，4)与其对应等级的市场销售单价y(单位：元/kg)近似满足函数关系式y＝eax+b.若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/kg，则3级草莓的市场销售单价最接近(参考数据：≈1.26，≈1.59)(　　) A．30.24元/kg B．33.84元/kg C．38.16元/kg D．42.64元/kg C　解析：由题可知＝e3a＝2，ea＝，由ea＋b＝24，则e3a＋b＝e2a·ea＋b＝24e2a＝24×≈38.16. 角度1　构造二次函数模型 【例3】 (2024·重庆模拟预测)我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 mL，已知一驾驶员某次饮酒后体内每100 mL血液中的酒精含量y(单位：mg)与时间x(单位：h)的关系是：当0<x<时，y＝－x2＋x；当x≥时，y＝，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过 h才可驾车． 答案：5.5　解析：当0<x<时，y＝－x2＋x＝－(x－2)2＋， 当x＝2时，函数有最大值>20，当x＝时，y＝30>20，所以当0<x<时，饮酒后体内每100 mL血液中的酒精含量大于20 mg/100 mL， 当x≥时，函数y＝单调递减，令y＝＝20，得x＝5.5，因此饮酒后5.5小时体内每100 mL血液中的酒精含量等于20 mg/100 mL. 【练2】 (2024·丽江期末)绿水青山就是金山银山，“两山”的转换不仅发生在青山绿水之间，还切实融入人们的生产生活．某企业在这样的思想引领下，积极行动起来，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝x2－50x＋900，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元． (1)当x∈[10，15]时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？ (2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 解：(1)根据题意可得，利润P和处理量x之间的关系为 P＝(10＋10)x－y＝20x－x2＋50x－900＝－x2＋70x－900＝－(x－35)2＋325，x∈[10，15]， 因为x＝35∉[10，15]，且P在[10，15]上为增函数， 则当x＝10时，Pmin＝－300，当x＝15时，Pmax＝－75，所以P∈[－300，－75]， 所以国家最少补贴75万元，该工厂才不会亏损． (2)设平均处理成本为Q＝＝x＋－50≥2－50＝10， 当且仅当x＝时等号成立，由x>0得x＝30， 因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元． 角度2　构造指数函数、对数函数模型 【例4】 (2024·山东聊城一模)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2 mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477)(　　) A．5 B．7 C．8 D．9 C　解析：设该污染物排放前过滤的次数为n(n∈N＋)，由题意1.2×(1－20%)n≤0.2，即≥6，两边取以10为底的对数可得lg ≥lg 6，即n lg ≥lg 2＋lg 3，所以n≥≈＝7.77，所以n≥7.77. 又n∈N＋，所以nmin＝8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次． 【练3】 (2023·山东青岛模拟)教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%. 经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t(单位：min)的变化规律可以用函数y＝0.05＋ (λ∈R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据：ln 3≈1.1)(　　) A．10 min B．14 min C．15 min D．20 min B　解析：由题意知，当t＝0时，y＝0.2，所以0.05＋λe0＝0.2，解得λ＝0.15，所以y＝0.05＋，解得，所以－≤－ln 3，即t≥12 ln 3≈13.2.故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14 min. 【例5】 (2024·淮南一模)我国提出二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y(单位：万元)与处理量x(单位：吨)(x∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为y＝若使每吨的平均处理成本最少，求处理量x. 解：由题意可得二氧化碳每吨的平均处理成本为 S＝ 当x∈[120，144)时，S＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，当x＝120时，S取得最小值240； 当x∈[144，500]时，S＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时取得等号，此时S取得最小值200. 综上可得，当每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最少． 【练4】 (2023·河南模拟)金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数解析式为h＝m ln (t＋a)(a>0).若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%，采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.那么若不及时处理，则采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度？(参考数据：≈1.414，结果取一位小数) 解：由已知得相除得＝2，ln (3＋a)＝2ln (1＋a)，(1＋a)2＝3＋a， 因为a>0，故解得a＝1， 设t天后开始失去全部新鲜度，则m ln (t＋1)＝1， 又m ln (1＋1)＝0.4， 所以＝，2ln (t＋1)＝5ln 2＝ln 32，(t＋1)2＝32，t＋1＝＝4≈4×1.414＝5.656，解得t＝4.656≈4.7. 故若不及时处理，采摘下的金针菇大约会在4.7天后失去全部新鲜度． 学科网（北京）股份有限公司 $$