第2章 第8节 函数与方程（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第八节　函数与方程 课标解读 1.理解函数的零点与方程的解的联系，理解函数零点存在定理，并能简单应用． 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． [对应学生用书P44] 1．函数的零点的概念 (1)概念：对于一般函数，方程f (x)＝0的实数根叫作函数y＝f (x)的零点． (2)方程的根、函数的图象、函数的零点三者之间的联系． 2．函数零点的判断 求方程f (x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f (x)的零点．设函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，如果在区间[a，b]的左端点x＝a处，曲线在x轴上方，而在x＝b处，曲线在x轴下方，则可以断定，曲线一定会和x轴在(a，b)内的某点处相交，一般地，当x从a到b逐渐增加时，如果f (x)连续变化且有f (a)·f (b)<0，则存在点x0∈(a，b)，使得f (x0)＝0. 3．二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且f (a)·f (b)<0的函数y＝f (x)通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法． 1．判断正误 (1)若函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f (a)·f (b)<0.(　　×　　) (2)用二分法可求所有函数的零点．(　　×　　) (3)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用．(　　√　　) (4)若f (x)在区间[a，b]上连续不断，且f (a)·f (b)＞0，则f (x)在(a，b)内没有零点．(　　×　　) 2．(多选)(2023·浙江丽水高一期末)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是(　　) AC　解析：选项A，C，对其定义域上的任意子集[a，b]，不满足f (a)·f (b)＜0， 故不能用二分法求函数的零点．故选AC. 3．(2023·宁夏三模)函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点．则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－18) B．(5，＋∞) C．(5，18) D．(－18，－5) D　解析：函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上是单调递增函数，函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点．可得解得m∈(－18，－5). 故选D. 4．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．函数f (x)＝x＋1的零点为(－1，0) B．函数f (x)＝x＋1的零点为－1 C．函数f (x)的零点，即函数f (x)的图象与x轴的交点 D．函数f (x)的零点，即函数f (x)的图象与x轴的交点的横坐标 BD　解析：根据函数零点的定义，可知f (x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f (x)的零点，即函数y＝f (x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误． 5．(2023·甘肃金昌高三二模)已知x0是函数f (x)＝()x－x＋4的一个零点，若x1∈(2，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　) A．x0∈(2，4) B．f (x1)>f (x2) C．f (x1)<0，f (x2)<0 D．f (x1)>0，f (x2)>0 B　解析：函数y＝()x在区间(2，＋∞)上单调递减，函数y＝－x＋4在区间(2，＋∞)上单调递减，故函数f (x)＝()x－x＋4在区间(2，＋∞)上单调递减，又f (2)>0，f (3)>0，f (4)>0，f (5)<0，所以x0∈(4，5).因为f (x0)＝0，x1∈(2，x0)，x2∈(x0，＋∞)， 由单调性知f (x1)>0，f (x2)<0，即f (x1)>f (x2). 6．(忽视二次项系数为零的讨论致误)若函数f (x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为 ． 答案：0或－　解析：当a＝0时，f (x)＝－x－1，令f (x)＝0，得x＝－1， 故f (x)只有一个零点为－1；当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，得a＝－. 综上，a＝0或－. [对应学生用书P45] 1.(2023·广东省普通高中学业水平合格性考试)函数f (x)＝()x－x－2的零点所在的区间为(　　) A．(－3，－2) B．(－2，－1) C．(－1，0) D．(0，1) C　解析：因为f (x)＝()x－x－2是连续的减函数， f (－3)＝>0，f (－2)＝>0， f (－1)＝＋1－2>0，f (0)＝1－2<0，f (1)＝－<0， 又f (－1)f (0)<0，所以f (x)的零点所在的区间为(－1，0). 故选C. 2．设函数f (x)＝x－ln x，则函数y＝f (x)(　　) A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点 B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点 C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点 D　解析：当x∈时，函数图象连续不断，且f′(x)＝－＝<0，所以函数f (x)在上单调递减．又f ＝＋1>0，f (1)＝>0，f (e)＝－1<0，所以函数f (x)有唯一的零点在区间(1，e)内． 3．已知函数f (x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1).当2<a<3<b<4时，函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝ ． 答案：2　解析：对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，如图所示，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，又函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)时，所以n＝2. 【例1】 (1)(2024·江西高三模考)已知函数f (x)＝则f (x)在(0，10)上的零点个数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 (2)(2023·烟台二模)已知函数f (x)是定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f (x)则方程f (x)＋x2＝2根的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (1)B　(2)D　解析：(1)由题意，当0<x≤3时，作出函数y＝|ln x|与y＝sin x的图象． 由图可知，函数y＝|ln x|与y＝sin x在(0，1)和[1，3]上各有一个交点，所以f (x)在(0，3]上有2个零点． 由当x>3时，f (x)＝f (x－3)，由函数周期性的性质可得，当3<x≤6时，f (x)有2个零点，当6<x≤9时，f (x)有2个零点，当9<x<10时，f (x)有1个零点，所以f (x)在(0，10)上共有7个零点． (2)要求方程f (x)＋x2＝2根的个数，即为求f (x)与y＝2－的图象的交点个数，作出函数y＝f (x)与y＝2－在(0，＋∞)上的图象如图所示， 由图可知有3个交点，又由f (x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是偶函数，∴在y轴左侧也有3个交点，故一共有6个交点． 【练1】 (2023·江西省峡江中学高三期末)定义在R上的奇函数f (x)，满足f (2－x)＝f (x)，当x∈[0，1]时，f (x)＝ax＋b，f (1)＋f (0)＝3，则函数g(x)＝f (x)＋1在[－2，5]的零点个数为 ． 答案：4　解析：函数f (x)是R上的奇函数，则f (0)＝0， 当x∈[0，1]时，f (x)＝ax＋b，且f (1)＋f (0)＝f (1)＝3， 所以解得 则当x∈[0，1]时，f (x)＝4x－1. 函数f (x)是奇函数，图象关于原点对称， 由于f (2－x)＝f (x)，所以函数f (x)图象关于直线x＝1对称， 由此画出函数f (x)在区间[－2，5]上的图象如图所示， 由图可知f (x)＝－1有4个解，也即g(x)＝f (x)＋1＝0有4个解，即g(x)有4个零点． 【练2】 (2024·广东深圳模拟)已知函数f (x)＝则方程f (x)－3|x|＝0的解的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 C　解析：令f (x)－3|x|＝0，得f (x)＝3|x|， 则方程f (x)＝3|x|的解的个数即函数y＝f (x)与函数y＝3|x|的图象的交点的个数．作出函数y＝f (x)与函数y＝3|x|的图象如图所示， 可知两个函数图象的交点的个数为2，故方程f (x)－3|x|＝0的解的个数为2. 角度1　由函数零点个数求参数问题 【例2】 函数f (x)＝若函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 ． 答案：[－1，＋∞)　解析：　设t＝f (x)，令g(x)＝f (f (x))－a＝0，则a＝f (t).在同一平面直角坐标系内作y＝a，y＝f (t)的图象(如图).当a≥－1时，y＝a与y＝f (t)的图象有两个交点． 设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1. 当t1<－1时，t1＝f (x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f (x)有两解． 综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点． 【练3】 已知函数f (x)＝ 若关于x的方程f (x)－kx＝0有且只有一个实数根，求实数k的取值范围． 解：方程f (x)－kx＝0⇔f (x)－2－(kx－2)＝0. 画出y＝f (x)－2与y＝kx－2的函数图象如图所示， 因为直线y＝kx－2过点(0，－2)， 联立得x2－kx＋2＝0，由Δ＝k2－8＝0，解得k＝±2. 又过(1，1)与(0，－2)两点的直线的斜率k＝3， 由图知：当直线y＝kx－2过点(1，1)时，为函数y＝x2与y＝kx－2有两个交点的临界点，此时k＝3， 由图可知，若关于x的方程f (x)＝kx有且只有一个实数根， 则实数k的取值范围为{k|0<k<3}∪{－2}． 角度2　由函数零点所在区间求参数问题 【例3】 (2024·辽宁沈阳模拟)已知函数f (x)满足f (x)＝f (3x)，当x∈[1，3)，f (x)＝ln x，若在区间[1，9)内，函数g(x)＝f (x)－ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(，) B．(，) C．(，) D．(，) B　解析：函数f (x)满足f (x)＝f (3x)，当x∈[1，3)，f (x)＝ln x，故f (x)＝令g(x)＝f (x)－ax＝0，∴f (x)＝ax，画出函数图象，如图所示， 当直线与f (x)＝ln (3≤x＜9)相切时，f′(x)＝，设切点为(x0，y0)，则＝，∴y0＝1， ∴ln ＝1，∴x0＝3e，此时a＝k＝. 当直线经过点(9，ln 3)时，a＝k＝. 综上所述，a∈. 【练4】 (多选)(2023·江苏太湖模拟)函数f (x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的可能取值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 BC　解析：因为函数y＝2x，y＝－在定义域{x|x≠0}上单调递增，所以函数f (x)＝2x－－a在{x|x≠0}上单调递增，由函数f (x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，得f (1)·f (2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)<0，解得0<a<3，根据四个选项可知选BC. 学科网（北京）股份有限公司 $$