第2章 第7节 函数图象（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第七节　函数图象 课标解读 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题． [对应学生用书P40] 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等). 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．函数图象的变换 (1)平移变换 (2)对称变换 y＝f (x)的图象y＝－f (x)的图象；y＝f (x)的图象y＝f (－x)的图象；y＝f (x)的图象y＝－f (－x)的图象；y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象． 写出每一次变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错． (3)翻折变换 y＝f (x)的图象y＝|f (x)|的图象； y＝f (x)的图象y＝f (|x|)的图象． (4)伸缩变换 y＝f (x) y＝f (ax). y＝f (x)y＝af (x). 1．判断正误 (1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f (x)|与y＝f (|x|)的图象相同．(　　×　　) (2)函数y＝af (x)与y＝f (ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(　　×　　) (3)函数y＝f (x)与y＝－f (x)的图象关于原点对称．(　　×　　) (4)若函数y＝f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，则函数f (x)的图象关于直线x＝1对称．(　　√　　) (5)将函数y＝f (－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f (－x－1)的图象．(　　×　　) 2．(2023·贵州省黔东南州高三期中)函数y＝(a>1)的图象的大致形状是(　　) C　解析：f (x)＝ ∴当x>0时，图象与y＝ax(a>1)在第一象限的图象一样， 当x<0时，图象与y＝ax(a>1)的图象关于x轴对称． 3．若函数y＝f (x)的图象如图所示，则函数y＝－f (x＋1)的图象大致为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 C　解析：从f (x)变成y＝－f (x＋1)，应先将f (x)向左平移1个单位长度，再关于x轴对称，故选C. 4．(2023·浙江温州学业水平考试)已知函数f (x)＝ax＋b的图象如图所示，则函数g(x)＝(x－a)(x－b)的大致图象为(　　) A　解析：函数f (x)＝ax＋b的图象是由函数y＝ax的图象向下或向上平移|b|个单位长度得到的，由函数f (x)＝ax＋b的图象可得函数f (x)为单调递减函数，则0<a<1， 令x＝0，得b＋1∈(－1，0)，则b∈(－2，－1)， 则函数g(x)＝(x－a)(x－b)的大致图象为A选项． 5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是 ． 答案：(0，＋∞)　解析：在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示．由图象知，当a>0时，两函数图象有两个交点，即方程|x|＝a－x只有一个解． 6．(忽视复合函数中间变量的范围致误)已知函数f (x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f (x＋t)<4的解集为(－1，2)，则实数t的值为 ． 答案：1　解析：由图象可知不等式－2<f (x＋t)<4，即为f (3)<f (x＋t)<f (0)， 又y＝f (x)在R上单调递减，故x＋t∈(0，3)， 即不等式的解集为(－t，3－t)，依题意可得t＝1. [对应学生用书P42] 作出下列函数的图象． (1)y＝()|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1. 解：(1)作出y＝(x≥0)的图象，再将y＝(x≥0)y轴右侧的图象以y轴为对称轴翻折到y轴的左侧，即得y＝的图象，如图中实线部分． (2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图中实线部分． (3)因为y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图. (4)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y＝x2－2|x|－1的图象，如图． 【例1】 (1)(2023·天津卷)函数f (x)的图象如下图所示，则f (x)的解析式可能为(　　) A．f (x)＝ B．f (x)＝ C．f (x)＝ D．f (x)＝ (2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ (1)D　(2)A　解析：(1)由图象可知，函数f (x)图象关于y轴对称，为偶函数，故A，B错误， 恒大于0，与图象不符合，故C错误．故选D. (2)设f (x)＝，则f (1)＝0，故排除B； 设h(x)＝，当x∈时，0<cos x<1， 所以h(x)＝<≤1，故排除C； 设g(x)＝，则g(3)＝>0，故排除D. 【练1】 (2023·天津市滨海新区联考)已知函数f (x)＝，则其图象大致是(　　) B　解析：∵f (x)定义域为{x|x≠±1}，f (－x)＝＝＝－f (x)， ∴f (x)是奇函数，排除A，C选项， 当x>1时，f (x)>0，排除D选项．故选B. 【练2】 (2023·浙江模拟)函数f (x)＝sin x＋的图象可能是(　　) D　解析：因为f (x)＝sin x＋的定义域为R，又因为f (－x)＝sin (－x)＋＝－sin x＋≠－f (x)，所以f (x)不是奇函数，排除A，B，f＝sin ＋＝－1＋<0，所以排除C. 角度1　研究函数的性质 【例2】 (2023·东北师范大学实验中学模拟)已知函数f (x)＝x·|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)是偶函数，递增区间是(－∞，0) B．f (x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f (x)是奇函数，递减区间是(－1，1) D．f (x)是奇函数，递增区间是(0，＋∞) C　解析：将函数f (x)＝x·|x|－2x 去掉绝对值得f (x)＝ 画出函数f (x)的图象，如图，观察图象可知，函数f (x)的图象关于原点对称，故函数f (x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减，故选C. 【练3】 (多选)已知函数f (x)＝a()|x|＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与y＝2相交．函数g(x)＝2－x2.下列关于函数F (x)＝max{f (x)，g(x)}的判断正确的有(　　) A．函数F (x)是偶函数 B．函数F (x)在(－∞，－2)上单调递减 C．函数F (x)的最大值为2 D．方程F (x)＝恰有两根 ABC　解析：由条件可知，f (0)＝a＋b＝0，当x趋向正无穷时，y趋向b，所以b＝2， 则a＝－2，即f (x)＝－2·()|x|＋2， 令f (x)＝g(x)，即－2·()|x|＋2＝2－x2，得x＝±1. 如图，画出函数F (x)＝max{f (x)，g(x)}的图象， 函数F (x)是偶函数，在区间(－∞，－2)上单调递减，当x＝0时，函数取得最大值2， F (x)＝，无实数根，故选项ABC正确，选项D错误． 角度2　与不等式有关的问题 【例3】 (2023·河北模拟)已知函数f (x)＝则f (x)≤的解集为(　　) A．(－∞，0) 　 B．(－1，0) C．(－1，0]∪[1，＋∞) 　 D．[1，＋∞) C　解析：作出函数y＝f (x)与y＝x 的图象，如图，结合图象知不等式f (x)≤x 的解集为(－1，0]∪[1，＋∞). 【练4】 (2023·北京海淀区高三三模)已知函数f (x)＝x＋ln x－1，则不等式f (x)<0的解集是(　　) A．(－∞，1) 　 B．(0，1) C．(1，＋∞) 　 D．(0，2) B　解析：∵函数f (x)＝x＋ln x－1的定义域为(0，＋∞)， 令不等式f (x)<0，即x＋ln x－1<0， ∴ln x<1－x，∴函数y＝ln x的图象在直线y＝1－x的下方． 由于函数y＝ln x的图象和直线y＝1－x相交于一点(1，0)，如图所示， 数形结合可得不等式f (x)<0的解集是(0，1). 角度3　求参数的取值范围 【例4】 (2023·泰州中学月考)已知函数f (x)＝若关于x的方程f (x)＝x＋a 无实根，则实数a 的取值范围为(　　) A.(－∞，0)∪(，1) 　 B．(－1，0) C．(0，) 　 D．(0，1) B　解析：因为函数f (x)＝ 关于x 的方程f (x)＝x＋a无实根等价于函数y＝f (x)的图象与直线y＝x＋a无交点，作出函数y＝f (x)与y＝x＋a的图象，如图，由图象知，若a≥0，则直线y＝x＋a与函数f (x)的图象必有交点，则a<0. 设直线y＝x＋a与f (x)＝(x>0)相切于点P(x0，y0)，由f′(x)＝，由已知得＝1，解得x0＝1，则P(1，0)，则a＝－1，所以切线方程为y＝x－1.由图象知函数y＝f (x)的图象与直线y＝x＋a无交点时，实数a的取值范围为(－1，0).故选B. 【练5】 (2023·浦东新区校级模拟)若关于x的方程ex＝a|x|恰有两个不同的实数解，则实数a＝ ． 答案：e　解析：作出函数y＝a|x|与y＝ex的大致图象如图所示， 显然a>0， 当x≤0时，由单调性得，方程ex＝－ax有且仅有一解． 因此当x>0时，方程ex＝ax也恰有一解． 即y＝ax为函数y＝ex的切线， 对函数y＝ex求导，得y′＝ex， 令y′＝a，得x＝ln a， 故当x＝ln a时，ex＝ax，得eln a＝a ln a，即a＝a ln a， 从而a＝e. 学科网（北京）股份有限公司 $$