第2章 第6节 对数与对数函数（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第六节　对数与对数函数 课标解读 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2．理解对数函数的概念，会画对数函数图象，理解对数函数的性质及应用． 3．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． [对应学生用书P34] 1．对数的概念 如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN.这里，a叫作对数的底数，N叫作对数的真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N，logaab＝b(a>0，且a≠1，N>0，b∈R). (2)对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)对数的换底公式 logbN＝(a>0，a≠1，b>0且b≠1，N>0). 最常用的对数换底公式：logaN＝，logaN＝. 3．对数函数的概念、图象与性质 (1)概念：由于指数函数是严格单调的，等式x＝ay中不同的y对应于不同的x，即每个x对应的y是确定的，从而对数运算y＝logax(x＞0，a＞0，且a≠1)确定了一个函数，叫作(以a为底的)对数函数． (2)对数函数的图象与性质 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上 是增函数 在(0，＋∞)上 是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数．指数函数的定义域(－∞，＋∞)成了对数函数的值域，指数函数的值域(0，＋∞)是对数函数的定义域． 1．判断正误 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　×　　) (2)logax·logay＝loga(x＋y).(　　×　　) (3)函数y＝log2x及都是对数函数．(　　×　　) (4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　×　　) (5)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　√　　) 2．函数f (x)＝的定义域是(　　) A．(0，e) B．(0，e] C．[e，＋∞) D．(e，＋∞) B　解析：要使函数f (x)＝有意义，则解得0<x≤e，则函数f (x)的定义域为(0，e].故选B. 3．(多选)下列各式正确的是(　　) A．＝loga2 B．lg 2＋lg 5＝1 C．(ln x)2＝2ln x D．lg ＝lg x BD　解析：A选项，由换底公式，可得＝log36＝1＋log32，故A错误；B选项，lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，故B正确；C选项，(ln x)2＝(ln x)·(ln x)≠2ln x，故C错误；D选项，lg ＝＝lg x，故D正确． 4．(2023·重庆高三期末)已知函数f (x)＝|lg x|，f (a)＝f (b)，a<b，则a＋2 023b的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(2 023，＋∞) C．(2 024，＋∞) D．(0，＋∞) C　解析：∵f (x)＝|lg x|，f (a)＝f (b)， ∴|lg a|＝|lg b|， 又∵a<b，∴－lg a＝lg b，∴lg ab＝0，∴ab＝1， ∴0<a<1<b，故a＋2 023b＝＋2 023b. ∵y＝＋2 023b在(1，＋∞)上单调递增， ∴＋2 023b>1＋2 023＝2 024， 故a＋2 023b的取值范围是(2 024，＋∞). 故选C. 5．(2023·广东惠州高三模拟)若函数f (x)＝ax(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　) D　解析：由函数f (x)＝ax(a>0且a≠1)在R上为减函数，故0<a<1. 函数y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域为{x|x>1或x<－1}， 当x>1时，函数y＝loga(|x|－1)的图象是由函数y＝logax的图象向右平移1个单位长度得到的， 故选D. 6．(忽视定义域的限制致误)已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是 ． 答案：(1，2)　解析：∵y＝loga(2－ax)是由y＝logau，u＝2－ax复合而成，又a＞0，∴u＝2－ax在[0，1]上是x的减函数． 由复合函数关系知y＝logau在[0，1]上应为增函数，∴a＞1. 又x在[0，1]上时，y＝loga(2－ax)有意义，u＝2－ax又是减函数， ∴当x＝1时，u＝2－ax取得最小值，最小值umin＝2－a＞0即可，∴a＜2. 综上可知，a的取值范围是(1，2). [对应学生用书P36] 1.(2023·湖南长沙雅礼中学高考模拟)1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，成为历史上的珍闻．若2x＝，lg 2≈0.301 0，则x的值约为(　　) A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669 A　解析：由2x＝，lg 2≈0.301 0，得x＝log2＝＝＝＝≈1.322，即x的值约为1.322，故选A. 2．(2023·安徽亳州高三三模)已知4x＝3y＝m，且＋＝2，则m＝(　　) A．3 B．6 C．12 D．18 D　解析：因为4x＝3y＝m>0，所以x＝log4m，y＝log3m.由换底公式可得＝logm4，＝logm3，所以＋＝logm4＋4logm3＝logm(4×34)＝2，所以m2＝4×34＝324.因为m>0，所以m＝18. 3．计算下列各式的值： 【例1】 (1)已知函数f (x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 (2)当0<x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) (1)A　(2)B　解析：(1)由函数图象可知，f (x)为单调递增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得<b<1.综上，0<<b<1. (2)由题可知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图所示． 由图可知只需满足，解得a>，所以<a<1.故选B. 【变式探究】 将本例(2)中“4x<logax”变为“4x＝logax有解”，则实数a的取值范围为 ． 答案：　解析：若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在上有交点，则解得0<a≤，即a的取值范围为. 【练1】 (2023·天津滨海新区十二校联考)函数f (x)＝的部分图象大致为(　　) C　解析：f (－x)＝－＝－f (x)，则f (x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D.当x＝1时，f (1)＝0，当x＝e时，f (e)＝>0，故排除A.故选C. 【练2】 (多选)(2023·湖南模拟)在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝loga(x－2)的图象可能是(　　) 　 BD　解析：当a>1时，y＝ax与y＝loga(x－2)的图象都是上升的； 当0<a<1时，y＝ax与y＝loga(x－2)的图象都是下降的． 角度1　比较大小问题 【例2】 (1)(2023·山东滨州模拟)已知a＝log315，b＝log420，2c＝1.9，则(　　) A．a>c>b B．c>a>b C．b>a>c D．a>b>c (2)(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　) A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a (1)D　(2)A　解析：(1)a＝log315＝log3＝1＋log35>1，b＝log420＝log4＝1＋log45>1，c＝log21.9<1.因为log35＝>＝log45，所以a>b>c.故选D. 【练3】 (2024·广东中山模拟)设a＝log23，b＝log34，c＝log58，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a D　解析：因为b＝log34＝＝，c＝log58＝＝， 则b－c＝－ ＝＝＝<0， 所以b<c. 角度2　解简单的对数方程或不等式 【例3】 设则方程f (a)＝f (－a)的解集为 ． 答案：{－1，1}　解析：当a>0时，由f (a)＝log2a＝l ＝f (－a)＝ a，得a＝1；当a<0时，由f (a)＝＝log2＝f＝log2，得a＝－1，∴方程f (a)＝f (－a)的解集为{1，－1}． 【变式探究】 本例中，求f (a)>f (－a)的解集． 解：由题意得 或解得a＞1或－1＜a＜0，故原不等式解集为(－1，0)∪(1，＋∞). 【练4】 (2023·江西师大附中模拟)已知函数则不等式f (x)<f (x－1)的解集为 ． 答案：　解析：当x≤1时，不等式f<f为1－x2<1－，解得<x≤1； 【练5】 (2023·浙江海宁模拟)已知函数f (x)＝若f (f (t))－4＝0，则实数t＝ ． 答案：　解析：令a＝f ，则当a<0时，f －4＝2＋log2－4＝0，解得a＝－3；当a≥0时，f－4＝4a－1－4＝0，解得a＝2，所以当f ＝－3时，此时t<0，有2＋log2＝－3，解得t＝，不满足条件；当f ＝2，若t<0，则2＋log2＝2，解得t＝0，此时不满足条件；若t≥0时，则4t－1＝2，解得t＝满足条件． 角度3　对数函数的综合问题 【例4】 (2023·四川雅安三模)设f (x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f (x＋4)＝f (x)，且当x∈[－2，0]时，f (x)＝()x－6.若在区间(－2，6]内关于x的方程f (x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是(　　) A.(1，2) B．(2，＋∞) C．(1，) D．(，2) D　解析：由题意可得，函数f是周期为4的偶函数．根据x∈，f ＝－6，画出在(－2，6]内f (x)的图象如图所示． 关于x的方程f－loga＝0恰有3个不同的实数根，则在区间内函数y＝f与函数y＝loga的图象有三个交点，则解得<a<2. 【练6】 设f (x)＝若方程f (x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 答案：(0，1]　解析：作出函数f (x)＝的图象，如图所示， 因为f (x)－a＝0有三个不同的实数根， 即函数y＝f (x)与y＝a的图象有三个不同的交点， 结合图象，可得0<a≤1，即实数a的取值范围是(0，1]. 学科网（北京）股份有限公司 $$