第2章 第5节 指数与指数函数（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第五节　指数与指数函数 课标解读 1.了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 3．理解指数函数的概念，会画指数函数的图象． 4．理解指数函数的性质，并能简单应用． [对应学生用书P31] 1．根式 n次方根 概念 若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，则称x是a的n次方根 性质 当n是奇数时，数a的n次方根记作 当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，其中正的n次方根叫作算术根，记作 根式 概念 式子叫作根式(n∈N，n≥2)，n叫作根指数，a叫作被开方数 性质 当n为奇数时，＝a 当n为偶数时，＝|a|＝ 2.有理数指数幂 幂的有 关概念 正数的正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N，n≥2) 正数的负分数指数幂：＝(a＞0，m，n∈N，n≥2) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指数幂的 运算性质 在a>0时，对于任意有理数r，s：ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr 3.无理数指数幂的概念 给定任意正数a，对任意实数u，a的u次幂为au.在幂的表达式中，a叫作底数，u叫作指数． 4．幂运算基本不等式 (1)对任意的正数u和正数a，若a>1则au>1，若a<1，则au<1. (2)对任意的负数u和正数a，若a>1则au<1，若a<1则au>1. 5．指数函数的概念、图象与性质 (1)概念：在幂的表达式au中，如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数y＝ax(x∈R)，这叫作指数函数，其中a＞0，且a≠1. (2)指数函数的图象与性质 表达式 y＝ax(a＞1) y＝ax(0＜a＜1) 图象 性质 定义域：R 值域：(0，＋∞) 函数图象过定点(0，1)，即a0＝1 当x＜0时，0＜y＜1； 当x＞0时，y＞1 当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1 在R上递增 在R上递减 1．判断正误 (1)＝＝a(n∈N＋) .(　　×　　) (2)分数指数幂 可以理解为个a相乘．(　　×　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　√　　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　×　　) (5)函数y＝2-x在R上为单调递减函数．(　　√　　) 2．化简的结果是(　　) A． B．－ C． D．－ B　解析：由题意得x<0，所以＝＝＝＝－. 3．(多选)设a>0，则下列运算中不正确的是(　　) 答案：ABC 4．(2023·江西上饶高三月考)函数f (x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 D　解析：由图象可知，函数f (x)为减函数，从而有0<a<1； 方法一　由f (x)＝ax-b图象，函数与y轴的交点纵坐标y∈(0，1)， 令x＝0，得y＝a-b， 由0<a-b<1，即0<a-b<a0，解得 b<0. 方法二　函数f (x)图象可看作是由y＝ax(0<a<1)向左平移得到的， 则－b>0，即b<0.故选D. 5．(2023·四川省射洪中学校高三模拟)“()a>()b”是“a<b＋1”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 A　解析：不等式()a>()b等价于a<b， 由a<b可推出a<b＋1， 由a<b＋1不一定能推出a<b，例如a＝3，b＝3时，a<b＋1，但a＝b， 所以“()a>()b”是“a<b＋1”的充分而不必要条件．故选A. 6．(忽视开偶次方规则致误)计算＋＝ ． 答案：2　解析：＋＝1＋＋＝1＋＋－1＝2. [对应学生用书P32] 1.(2023·广西钦州高三月考)下列各式正确的是(　　) D　解析：＝22＝4，A错误； ()－3＝23＝8，B错误； ∵π<4， ∴＝4－π，C错误； ＝()－3＝，D正确．故选D. 2．(2022·北京卷)已知函数f (x)＝，则对任意实数x，有(　　) A．f (－x)＋f (x)＝0 B．f (－x)－f (x)＝0 C．f (－x)＋f (x)＝1 D．f (－x)－f (x)＝ C　解析：因为函数f (x)＝，所以f (－x)＝＝， 所以f (－x)＋f (x)＝＝1. 答案：66　解析： －＝－＋64＋1＋－＝66. 【例1】 (1)(2024·河南林州一中模拟)函数f (x)＝()|x＋1| 的图象大致为(　　) (2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为 ． (1)B　(2)(0，1)　解析：(1)作出函数y＝＝的图象(图略)，将y＝的图象向左平移1个单位长度得到f (x)＝ 的图象． (2)作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0，1). 【变式探究】 将本例(2)改为直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 解：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的． 当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不合题意； 当0＜a＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0<a<. 综上可知，a的取值范围是. 【练1】 (2023·山东枣庄高三二模)指数函数y＝ax的图象如图所示，则y＝ax2＋x图象顶点横坐标的取值范围是(　　) A．(－∞，－) B．(－，0) C．(0，) D．(－，＋∞) A　解析：由图象知函数为减函数，则0<a<1，二次函数y＝ax2＋x的顶点的横坐标为x＝－，∵0<a<1，∴>，－<－，即横坐标的取值范围是(－∞，－).故选A. 【练2】 已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(0，1] C．(－1，0] D．[0，1) D　解析：函数g(x)＝f (x)－k 有两个不同的零点，即为函数y＝f (x) 与直线y＝k 有两个交点，函数y＝f (x) 图象如图所示：所以k∈[0，1). 角度1　比较大小问题 A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a B　解析：因为函数y＝ 在R上单调递减，所以a＝< . 【练3】 按从小到大的顺序，可将1.10.1，0.90.9，0.90.8 重新排列为 ． 答案：0.90.9<0.90.8<1.10.1 　解析：∵0<0.90.9<0.90.8<0.90＝1，1.10.1>1.10＝1，∴0.90.9<0.90.8<1.10.1. 角度2　解简单的指数方程或不等式 【例3】 (1)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0 时，f (x)＝4x－3×2x＋2a，则关于x 的不等式f (x)≤－6 的解集为(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[－2，0)∪(0，2) D．[－2，0)∪(2，＋∞) (2)已知实数a≠1，函数f (x)＝若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为 ． (1)A　(2)　解析：(1)因为函数f (x) 是定义在R上的奇函数，且当x≥0 时，f (x)＝4x－3×2x＋2a， 则f (0)＝40－3×20＋2a＝2a－2＝0，解得a＝1，即当x≥0 时，f (x)＝4x－3×2x＋2，当x<0 时，－x>0，则f (x)＝－f (－x)＝－(4－x－3×2－x＋2)， 而当x≥0 时，f (x)＝－≥－， 则当f (x)≤－6 时， 满足 即变形得解得x≤－2，所以不等式f (x)≤－6 的解集为(－∞，－2]. (2)当a<1时，41－a＝2，解得a＝；当a>1时，22a－1＝4a－1，无实数解．故a的值为. 【练4】 (2023·朝阳区高三期末)已知函数f (x)＝(k＋2)·ax＋2－b(a>0，a≠1)是指数函数． (1)求k，b的值； (2)求解不等式f (2x－5)>f (3x－1). 解：(1)∵f (x)＝(k＋2)ax＋2－b(a>0，a≠1)是指数函数， ∴k＋2＝1且2－b＝0. ∴k＝－1且b＝2. (2)由(1)得f (x)＝ax(a>0，a≠1)， 则f (2x－5)>f (3x－1)即a2x－5>a3x－1， ①当a>1时，f (x)＝ax单调递增， 则不等式等价于2x－5>3x－1，解得x<－4， ②当0<a<1时，f (x)单调递减， 则不等式等价于2x－5<3x－1，解得x>－4， 综上，当a>1时，不等式解集为{x|x<－4}； 当0<a<1时，不等式解集为{x|x>－4}． 角度3　指数函数性质的综合问题 【例4】 (1)已知函数f (x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是 ． (2)已知f (x)＝的最小值为2，则m的取值范围为 ． 答案：(1)(－∞，4]　(2)[5，＋∞) 　解析：(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f (x)＝2|2x-m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]. (2)当x>0 时，f (x)＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1 时等号成立， 当x≤0 时，0<2x≤1，4x－2x+2＋m＝(2x－2)2＋m－4，当2x＝1，即x＝0 时，4x－2x+2＋m 取最小值m－3， 因为f (x)＝的最小值为2，可得m－3≥2，解得m≥5，所以m的取值范围为[5，＋∞). 【练5】 求函数y＝()2x－8·()x＋17 的单调区间为 ． 答案：增区间为[－2，＋∞)，减区间为(－∞，－2) 　解析：设t＝>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1 在(0，4] 上单调递减，在(4，＋∞) 上单调递增．令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函数t＝ 在R上单调递减，所以函数y＝－8·＋17 的增区间为[－2，＋∞)，减区间为(－∞，－2). 【练6】 函数y＝()x－()x＋1 在区间[－3，2]上的值域是 ． 答案：　解析：∵x∈[－3，2]，∴令t＝，则t∈，故y＝t2－t＋1＝＋.当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $$