第2章 第4节 二次函数与幂函数（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第四节　二次函数与幂函数 课标解读 1.通过具体事例，了解幂函数及其图象的变化规律． 2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). [对应学生用书P27] 1．幂函数的概念 一般来说，当x为自变量而α为非零实数时，函数y＝xα叫作(α次)幂函数． 2．五个幂函数的图象与性质 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x-1 图象 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R 且y≠0} 单调性 递增 x∈[0， ＋∞)递增， x∈(－∞， 0)递减 递增 递增 x∈(0，＋∞)递减， x∈(－∞，0)递减 必经点 都经过点(1，1) 3.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，其中(m，n)为抛物线顶点坐标，x＝m为对称轴方程； ③零点式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中，x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标． (2)二次函数的零点 一般地，我们把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的零点． (3)二次函数的图象和性质 f (x)＝ax2＋bx＋c a>0 a<0 图象 定义域 R 值域 [，＋∞) (－∞，] 单调性 在(－∞，－]上递减，在[－，＋∞)上递增 在(－∞，－]上递增，在[－，＋∞)上递减 奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图象特点 ①对称轴：x＝－； ②顶点：(－，) 1．判断正误 (1)函数是幂函数．(　　√　　) (2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数．(　　√　　) (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　√　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是.(　　×　　) (5)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　　√　　) 2．(2023·四川成都石室中学高三模拟)幂函数f (x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　) A．m＝4 B．f (x)是减函数 C．f (x)是奇函数 D．f (x)是偶函数 C　解析：函数f (x)＝(m2－3m－3)xm为幂函数，则m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1. 当m＝4时，f (x)＝x4在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件，排除A选项； 当m＝－1时，f (x)＝x－1在区间(0，＋∞)上单调递减，满足题意． 函数f (x)＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是减函数，排除B选项； 因为函数定义域关于原点对称，且f (－x)＝＝－f (x)， 所以函数f (x)是奇函数，不是偶函数，故C选项正确，D选项错误．故选C. 3．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　) B　解析：图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D.图象②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B. 4．已知函数f (x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A．(0，) B．(－∞，－) C．(，＋∞) D．(－，0) C　解析：由题意知即解得a>. 5．(2023·上海市学业水平合格性考试)若函数f (x)＝x2＋ax在区间[1，2]上的最大值为a＋1，则a的取值范围为 ． 答案：(－∞，－3]　解析：∵f (x)＝x2＋ax的对称轴为直线x＝－. (1)当a＞－3，即－<时，f (x)max＝f (2)＝4＋2a＝a＋1，解得a＝－3，不符合题意，舍去； (2)当a≤－3，即－≥，f (x)max＝f (1)＝1＋a，符合题意，故a≤－3. 综上可知，a的取值范围为(－∞，－3]. 6．(判定图象的位置致误)设二次函数f (x)＝x2－x＋a(a>0)，若f (m)<0，则f (m－1) 0.(填“>”“<”或“＝”) 答案：>　解析：f (x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f (1)>0，f (0)>0，∵f (m)<0，∴m∈(0，1)，∴m－1<0，∴f (m－1)>0. [对应学生用书P28] 1.如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　) A．－1＜n＜0＜m＜1 B．n＜－1，0＜m＜1 C．－1＜n＜0，m＞1 D．n＜－1，m＞1 B　解析：如图，作直线x＝2，y＝x，直线x＝2与y＝xn，y＝x－1，y＝xm，y＝x的图象的交点的纵坐标从下至上分别为2n，2－1，2m，21， 从图中可观察得2n＜2-1＜1＜2m＜21， 由指数函数y＝2x在R上是增函数，可得n＜－1，0＜m＜1. 2．已知幂函数y＝x(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　) A．p，q均为奇数，且>0 B．q为偶数，p为奇数，且<0 C．q为奇数，p为偶数，且>0 D．q为奇数，p为偶数，且<0 D　解析：因为函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，即p为偶数．又函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有<0.又因为p，q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确． 3．(多选)已知函数是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且f (a)＋f (b)的值为负值，则下列结论可能成立的有(　　) A.a＋b>0，ab<0 B．a＋b<0，ab>0 C．a＋b<0，ab<0 D．a＋b>0，ab>0 BC　解析：由于函数f (x)为幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f (x)＝，当m＝2时，f (x)＝x3.由对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0知，函数f (x)在(0，＋∞)上为增函数，故f (x)＝x3.易知f (－x)＝－f (x)，故函数f (x)＝x3是单调递增的奇函数． 由f (a)＋f (b)<0，即f (a)<－f (b)＝f (－b)，得a<－b，所以a＋b<0，此时，若当a＝0时，b<0，故ab＝0；当a>0时，0<a<－b，故b<0，故ab<0；当a<0时，由a<－b得，b<－a，故b<0或b＝0或b>0，即ab>0或ab＝0或ab<0.综上可知，a＋b<0，且ab>0或ab＝0或ab<0.故选BC. 【例1】 已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 解：方法一(利用一般式) 设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得解得故所求二次函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二(利用顶点式) 设f (x)＝a(x－m)2＋n.因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.又根据题意，函数f (x)有最大值8，所以n＝8，所以y＝f (x)＝a＋8.因为f (2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f (x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三(利用零点式) 由已知f (x)＋1＝0的两根分别为x1＝2，x2＝－1， 故可设f (x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f (x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数f (x)有最大值8， 即＝8， 解得a＝－4或a＝0(舍去)， 故所求函数f (x)的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7. 【练1】 设二次函数f (x)满足f (x－2)＝f (－x－2)，且f (x)的图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，则f (x)的解析式为 ，f (2)＝ . 答案：f (x)＝x2＋2x＋1　7　解析：设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，两根分别为x1，x2. 由f (x－2)＝f (－x－2)，得4a－b＝0.① 又∵|x1－x2|＝＝2，∴b2－4ac＝8a2.② 又由已知得c＝1.③ 由①②③解得b＝2，a＝，c＝1， ∴f (x)＝x2＋2x＋1，∴f (2)＝×22＋2×2＋1＝2＋4＋1＝7. 角度1　二次函数的图象 【例2】 (多选)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为(－1，0)，则下面结论中正确的是(　　) A.2a＋b＝0 B．4a－2b＋c<0 C．b2－4ac>0 D．当y<0时，x<－1或x>4 ABC　解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为直线x＝1，所以x＝－＝1，得2a＋b＝0，故A正确；当x＝－2时，y＝4a－2b＋c<0，故B正确； 该函数图象与x轴有两个交点，则b2－4ac>0，故C正确； 因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为直线x＝1，点B的坐标为(－1，0)，所以点A的坐标为(3，0)，所以当y<0时，x<－1或x>3，故D错误． 【练2】 (2023·北京海淀高三一模)已知二次函数f (x)对任意的x∈R，有f (2x)<2f (x)，则f (x)的图象可能是(　　) A　解析：由二次函数f (x)对任意的x∈R，有f (2x)<2f (x)， 令x＝0，得f (0)<2f (0)，即f (0)>0，故选项C，D都不可能； 对于B，二次函数f (x)的对称轴方程为x＝－，由图象可知f (－)<0， 设f (x)的图象与x轴的两个交点为x1，x2，且0<x1<x2， 则x1＋x2＝－>0， 所以0<x1<－<x2<－， 所以f (－)>0， 当x＝－时，f (2x)＝f (－)<2f (－)<0，两者相矛盾，故选项B不可能．故选A. 角度2　二次函数的单调性与最值 【例3】 (2023·山东广饶一中模拟)已知函数f (x)＝x2－2ax－3. (1)已知f (x)在[3，＋∞)上单调递增，求a的取值范围； (2)求f (x)在[－1，2]上的最小值． 解：(1)由函数f (x)＝x2－2ax－3，可得f (x)的图象开口向上，且对称轴为直线x＝a， 要使得f (x)在[3，＋∞)上单调递增，则满足a≤3， 所以a的取值范围为(－∞，3]. (2)当a<－1时，函数f (x)在[－1，2]上单调递增，所以f (x)的最小值为f (－1)＝2a－2； 当－1≤a≤2时，函数f (x)在[－1，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增， 所以f (x)的最小值为f (a)＝－a2－3； 当a>2时，函数f (x)在[－1，2]上单调递减，所以f (x)的最小值为f (2)＝1－4a， 综上可得，f (x)在[－1，2]上的最小值为f (x)min＝ 【变式探究】 本例条件不变，求f (x)在[－1，2]上的最大值． 解：由函数f (x)＝x2－2ax－3，可得f (x)的图象开口向上，且对称轴为直线x＝a， 当a<－1时，函数f (x)在[－1，2]上单调递增，所以f (x)的最大值为f (2)＝1－4a； 当－1≤a≤时，函数f (x)的最大值为f (2)＝1－4a； 当<a≤2时，函数f (x)的最大值为f (－1)＝2a－2； 当a>2时，函数f (x)在[－1，2]上单调递减，所以f (x)的最大值为f (－1)＝2a－2. 综上，当a≤时，函数f (x)的最大值为f (2)＝1－4a；当a>时，函数f (x)的最大值为f (－1)＝2a－2. 【练3】 (2023·辽宁沈阳高三一模)若函数f (x)＝x2－4x＋4在区间[a，a＋1]上的最小值为4，则a的取值集合为 ． 答案：{－1，4}　解析：函数f (x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，对称轴为直线x＝2， 当a＋1≤2，即a≤1时， f (x)min＝f (a＋1)＝4，即(a＋1)2－4(a＋1)＋4＝4，解得a＝－1或a＝3(舍去)，故a＝－1. 当a<2<a＋1，即1<a<2时， f (x)min＝f (2)＝0，不符合题意，舍去， 当a≥2时， f (x)min＝f (a)＝4，即a2－4a＋4＝4，解得a＝4或a＝0(舍去)， 故a的取值集合为{－1，4}． 角度3　二次函数中的恒成立问题 【例4】 (2023·烟台模拟)已知函数f (x)＝－x2＋2x＋1，x∈[0，2]，函数g(x)＝ax－1，x∈[－1，1]，对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[－1，1]，使得g(x2)＝f (x1)成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．[3，＋∞) C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C　解析：因为f (x)＝－(x－1)2＋2，x∈[0，2]， 所以即f (x)的值域为[1，2]， 因为对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[－1，1]，使得g(x2)＝f (x1)成立， 所以f (x)的值域[1，2]是g(x)在[－1，1]上值域的子集． 当a>0时，g(x)在[－1，1]上为增函数，所以g(－1)<g(1)，所以g(x)∈[－a－1，a－1]， 所以解得a≥3. 当a<0时，g(x)在[－1，1]上为减函数， 所以g(1)<g(－1)，所以g(x)∈[a－1，－a－1]， 所以解得a≤－3， 综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞). 【练4】 (2023·湖南怀化高三期末)已知函数f (x)＝kx2－kx＋1. (1)若∀x∈R，f (x)>0恒成立，求实数k的取值范围； (2)若f (－2)＝7，解关于x的不等式f (ex)>3. 解：(1)当k＝0时，f (x)＝1满足∀x∈R，f (x)>0恒成立， 当k≠0时，则只需解得0<k<4. 综上，要使∀x∈R，f (x)>0恒成立，则0≤k<4，即实数k的取值范围为[0，4). (2)因为f (－2)＝4k＋2k＋1＝6k＋1＝7，所以k＝1， 此时f (x)＝x2－x＋1， 所以f (ex)>3，即e2x－ex＋1>3. 令ex＝t，即为t2－t－2>0，解得t<－1或t>2，即ex<－1或ex>2. 因为ex>0，所以ex<－1无解， 由ex>2得x>ln 2， 所以不等式f (ex)>3的解集为{x|x>ln 2}． 学科网（北京）股份有限公司 $$