第2章 第3节 函数的奇偶性、对称性与周期性（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第三节　函数的奇偶性、对称性与周期性 课标解读 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念及几何意义． 2．了解函数周期性、对称性及其几何意义． 3．会依据函数的性质进行简单的应用． [对应学生用书P21] 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象 偶函数 如果对一切使F (x)有定义的x，F (－x)也有定义，并且F (－x)＝F (x)成立，则称F (x)为偶函数 关于 y轴 对称 奇函数 如果对一切使F (x)有定义的x，F (－x)也有定义，并且F (－x)＝－F (x)成立，则称F (x)为奇函数 关于 原点 对称 2.函数的周期性 周期函数：一般地，对于函数y＝f (x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个x值时，x±T都有定义，并且f (x＋T)＝f (x)，则称这个函数f (x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期． 最小正周期：对于一个周期函数f (x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作它的最小正周期． 1．判断正误 (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．(　　×　　) (2)若函数f (x)是奇函数，则一定有f (0)＝0.(　　×　　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　√　　) (4)若函数y＝f (x＋2)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象关于点(2，0)中心对称．(　　√　　) 2．(多选)下列函数中为奇函数的是(　　) A．f (x)＝|x| B．f (x)＝x＋ C．f (x)＝x3＋2x D．f (x)＝x2＋x＋1 BC　解析：对于A，f (x)＝|x|的定义域为R，关于原点对称，而f (－x)＝|－x|＝f (x)，为偶函数； 对于B，f (x)＝x＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x)＝－x－＝－f (x)，为奇函数； 对于C，f (x)＝x3＋2x的定义域为R，关于原点对称，且f (－x)＝(－x)3＋2(－x)＝－f (x)，为奇函数； 对于D，f (x)＝x2＋x＋1的定义域为R，关于原点对称，而f (－x)＝x2－x＋1≠－f (x)，不是奇函数． 故选BC. 3．(2023·全国乙卷)已知f (x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 D　解析：因为f (x)＝为偶函数，则 f (x)－f (－x)＝－＝＝0. 又因为x不恒为0，可得ex－e(a-1)x＝0，即ex＝e(a-1)x， 则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. 4．若f (x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0，2)时，f (x)＝2-x，则f (2 024)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 B　解析：∵f (x)的周期为2，∴f (2 024)＝f (0)＝20＝1. 5．已知f (x)为奇函数，且当x≥0时，f (x)＝e-x－1，则当x<0时，f (x)＝(　　) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－ex＋1 D　解析：设x<0，则－x>0，因为函数f (x)为奇函数，且当x≥0时，f (x)＝e－x－1， 可得f (x)＝－f (－x)＝－(ex－1)＝－ex＋1. 故选D. 6．(忽视定义域致误)函数f (x)＝(x＋1)·是 函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 答案：非奇非偶　解析：f (x)的定义域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)，其定义域不关于原点对称．故f (x)为非奇非偶函数． 7．我们知道函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数．则函数f (x)＝x3－3x2图象的对称中心是 ． 答案：(1，－2) [对应学生用书P22] 角度1　函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝＋； (2)f (x)＝； (3)f (x)＝ (4)f (x)＝log2(x＋). 解：(1)由得x2＝3，解得x＝±， 即函数f (x)的定义域为， 从而f (x)＝＋＝0. 因此f (－x)＝－f (x)且f (－x)＝f (x)， 所以函数f (x)既是奇函数又是偶函数． (2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称． ∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f (x)＝. 又∵f (－x)＝＝＝－f (x)， ∴函数f (x)为奇函数． (3)显然函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x<0时，－x>0， 则f (－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f (x)； 当x>0时，－x<0， 则f (－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f (x)， 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f (－x)＝－f (x)成立，故函数f (x)为奇函数． (4)显然函数f (x)的定义域为R， f (－x)＝log2＝ log2＝log2＝ －log2＝－f (x)，故f (x)为奇函数． 【练1】 设函数f (x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f (x－1)－1 B．f (x－1)＋1 C．f (x＋1)－1 D．f (x＋1)＋1 B　解析：由题意可知f (x)＝＝－1＋，对于A选项，f (x－1)－1＝－1＝－2，定义域为{x|x≠0}，为非奇非偶函数，不符合题意；对于B选项，f (x－1)＋1＝＋1＝，定义域为{x|x≠0}，为奇函数，符合题意；对于C选项，f (x＋1)－1＝－1＝－2，定义域为{x|x≠－2}，为非奇非偶函数，不符合题意；对于D选项，f (x＋1)＋1＝＋1＝，定义域为{x|x≠－2}，为非奇非偶函数，不符合题意． 【练2】 (多选)设函数f (x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．|f (x)|是偶函数 B．－f (x)是奇函数 C．f (x)|f (x)|是奇函数 D．f (|x|)f (x)是偶函数 ABC　解析：因为f (x)＝，所以f (－x)＝，所以f (x)是奇函数，所以|f (x)|是偶函数，－f (x)是奇函数．因为f (|－x|)＝f (|x|)，所以f (|x|)是偶函数，所以f (x)|f (x)|是奇函数，f (|x|)f (x)是奇函数．故选ABC. 角度2　函数奇偶性的简单应用 【例2】 (1)(2023·福建福州模拟)已知f (x)为奇函数，且当x≥0时，f (x)＝ex－1，则f (ln )＝(　　) A．－ B．－1 C．1 D． (2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 (1)B　(2)B　解析：(1)因为f (x)是奇函数， 所以f (－x)＝－f (x)，且ln <0， 故可得f ＝－f (ln 2)＝－(eln 2－1)＝－2＋1＝－1.故选B. (2)因为f (x) 为偶函数，(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－， 则其定义域为{x|x＞或x<－}，关于原点对称，则 f (1)＝f (－1)， 所以(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0， 当a＝0时，f (x)＝x ln ， f (－x)＝(－x)ln ＝(－x)·ln ＝(－x)ln ()－1＝x ln ＝f (x)， 故此时f (x)为偶函数．故选B. 【练3】 (2023·河南模拟)已知f (x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f (x)＝x2－4x＋m，则当x<0时，f (x)＝(　　) A．x2－4－x＋1 B．－x2－4－x－1 C．－x2＋4－x－1 D．－x2＋4－x＋1 C　解析：因为f (x)为定义在R上的奇函数，所以f (0)＝m－1＝0，即m＝1. 当x<0时，－x>0，f (x)＝－f (－x)＝－[(－x)2－4－x＋1]＝－x2＋4－x－1. 【练4】 (2023·华南师大附中模拟)已知函数f (x)＝ax－log2(2x＋1)＋cos x(a∈R)为偶函数，则a＝ ． 答案：　解析：根据题意，函数f (x)＝ax－log2(2x＋1)＋cos x，其定义域为R，若f (x)为偶函数，则f (－x)＝f (x)， 则有a(－x)－log2(2－x＋1)＋cos (－x)＝ax－log2(2x＋1)＋cos x， 变形可得2ax＝log2(2x＋1)－log2(2－x＋1)＝x，解得a＝. 【例3】 (1)已知定义在R上的奇函数f (x)的周期为4，当x∈[0，2]时，f (x)＝(x－1)2＋a，则f (2 023)＝(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 (2)设f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x－2)＝f (－x).若f ()＝－，则f ()＝(　　) A． B．－ C． D．－ (1)C　(2)A　解析：(1)因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝(0－1)2＋a＝0，所以a＝－1. 又因为f (x)的周期为4，所以f (2 023)＝f (505×4＋3)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－a＝1. 故选C. (2)由题设，f (x－2)＝f (－x)＝－f (x)， 且f (x)＝－f (x＋2)， 所以f (x－2)＝f (x＋2)，即f (x)＝f (x＋4)，故f (x)是周期为4的奇函数， 所以f ()＝f (4－)＝f (－)＝－f ()＝. 故选A. 【练5】 已知函数y＝f (x)对任意x∈R都有f (x＋2)＝f (－x)且f (4－x)＋f (x)＝0成立，若f (0)＝0，则f (2 021)＋f (2 022)＋f (2 023)的值为(　　) A．4 B．2 C．0 D．－2 C　解析：由f (x＋2)＝f (－x)，可知f (2－x)＝f (x). 又f (4－x)＝－f (x)，∴f (4－x)＋f (2－x)＝0，∴f (x＋2)＝－f (x)，∴f (x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f (x＋2)＝f (x)，∴函数y＝f (x)是周期为4的周期函数， ∴f (2 021)＝f (1)，f (2 022)＝f (2)，f (2 023)＝f (3). 由f (4－x)＋f (x)＝0可得f (4－1)＋f (1)＝0，即f (3)＋f (1)＝0，f (4－2)＋f (2)＝0，即f (2)＝0. ∴f (2 021)＋f (2 022)＋f (2 023)＝0＋0＝0. 【练6】 (多选)(2023·广东广州模拟)已知定义在R上的函数f (x)对任意实数x均满足f (2＋x)＝f (x)，f (2－x)＝f (x)，且x∈[0，1]时，f (x)＝x2＋1，则下列说法正确的是(　　) A．2是f (x)的周期 B．x＝－1不是f (x)图象的对称轴 C．f (2 023)＝2 D．方程f (x)＝|x|只有4个实根 AC　解析：因为定义在R上的函数f (x)对任意实数x均满足f (2＋x)＝f (x)，所以函数f (x)是以2为周期的周期函数，故A选项正确；因为f (2－x)＝f (x)，所以函数f (x)关于直线x＝1对称，又f (x)是周期为2的周期函数，所以函数f (x)关于直线x＝－1对称，故B选项错误；f (2 023)＝f (1)＝12＋1＝2，故C选项正确；在同一直角坐标系中分别作出函数y＝f (x)与y＝|x|的图象，如图所示． 由图象可知两函数共有6个不同的交点，则方程f (x)＝|x|有6个实根，故D选项错误．故选AC. 【例4】 (1)(2024·海南海口二模)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝|x－2|f (x)的图象关于直线x＝2对称，若f (－1)＝－1，则g(3)＝(　　) A．5 B．1 C．－1 D．－5 (2)(2022·全国乙卷)已知函数f (x)，g(x)的定义域均为R，且f (x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f (x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则＝(　　) A.－21 B．－22 C．－23 D．－24 (1)B　(2)D　解析：(1)因为g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(x＋2)＝|x|f (x＋2)是偶函数， g(2－x)＝|－x|f (2－x)＝|x|f (2－x)，且g(x＋2)＝|x|f (x＋2)， 所以|x|f (2－x)＝|x|f (2＋x)对任意的x∈R恒成立，所以f (2－x)＝f (2＋x). 因为f (－1)＝－1且f (x)为奇函数，所以f (3)＝f (2＋1)＝f (2－1)＝－f (－1)＝1， 所以g(3)＝|3－2|f (3)＝f (1)＝1. (2)因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2－x)＝g(x＋2). 因为g(x)－f (x－4)＝7，所以g(x＋2)－f (x－2)＝7， 即g(x＋2)＝7＋f (x－2). 因为f (x)＋g(2－x)＝5，所以f (－x)＋g(x＋2)＝5， 代入得f (x)＋[7＋f (x－2)]＝5，即f (x)＋f (x－2)＝－2， 所以f (3)＋f (5)＋…＋f (21)＝(－2)×5＝－10， f (4)＋f (6)＋…＋f (22)＝(－2)×5＝－10. 因为f (x)＋g(2－x)＝5，所以f (0)＋g(2)＝5，即f (0)＝1，所以f (2)＝－2－f (0)＝－3. 因为g(x)－f (x－4)＝7，所以g(x＋4)－f (x)＝7，又因为f (x)＋g(2－x)＝5， 联立得，g(2－x)＋g(x＋4)＝12， 所以y＝g(x)的图象关于点(3，6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R， 所以g(3)＝6， 因为f (x)＋g(x＋2)＝5，所以f (1)＝5－g(3)＝－1. 所以＝f (1)＋f (2)＋[f (3)＋f (5)＋…＋f (21)]＋[f (4)＋f (6)＋…＋f (22)]＝－1－3－10－10＝－24. 【练7】 设函数y＝f (x)的定义域为R，则函数y＝f (x－5)与函数y＝f (1－x)的图象关于(　　) A．直线y＝3对称 B．直线x＝3对称 C．直线y＝2对称 D．直线x＝2对称 B　解析：函数y＝f (1－x)是由y＝f (－x)向右平移一个单位得到， 函数y＝f (x－1)是由y＝f (x)向右平移一个单位得到， 又函数y＝f (－x)与y＝f (x)关于y轴对称， 所以函数y＝f (1－x)与y＝f (x－1)关于直线x＝1对称． 又y＝f (x－5)是由y＝f (x－1)向右平移4个单位长度得到， 所以函数y＝f (1－x)与函数y＝f (x－5)关于直线x＝3对称． 【练8】 (2023·陕西西安模拟)已知函数f (x)满足f (x－π)＝－f (－x)，且函数f (x)与g(x)＝cos x(x≠－)的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则(xi＋yi)＝(　　) A．－4π B．－2π C．2π D．4π B　解析：函数f (x)满足f (x－π)＝－f (－x)， 则f (x)的图象关于点成中心对称． 又g(x)＝cos x的图象关于点成中心对称， 所以函数f (x)与g(x)的图象的交点关于点对称， 则x1＋x2＋x3＋x4＝－2π，y1＋y2＋y3＋y4＝0， 所以＝－2π. 学科网（北京）股份有限公司 $$