第2章 第1节 函数及函数的表示方法（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第二章　函　数 第一节　函数及函数的表示方法 课标解读 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． [对应学生用书P15] 1．函数的概念 函数的定义：设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数，也记作y＝f (x)(x∈A，y∈B). 2．函数的三要素 定义域、对应关系、值域． 3．相等函数 两个函数f (x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f (x)＝g(x)时，叫作相等． 两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f (x)＝2x2，x∈[0，2]与函数f (x)＝2x2，x∈[－2，0]. 4．函数的三种常用表示法 解析法、图象法、列表法． 5．分段函数 (1)一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 1．判断正误 (1)函数y＝1或y＝x0是同一个函数．(　　×　　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　×　　) (3)已知f (x)＝5(x∈R)，则f (x2)＝25.(　　×　　) (4)函数f (x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(　　√　　) 2．(多选)下列四个图象中，是函数图象的是(　　) ACD　解析：根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有B不满足． 3．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是(　　) A．y＝x与y＝()－1 B．y＝|x|与y＝()2 C．y＝x与y＝eln x D．y＝x与y＝ D　解析：A选项，函数y＝x的定义域为R，函数y＝()－1的定义域为{x|x≠0}，不是相同函数． B选项，函数y＝|x|的定义域为R，函数y＝()2的定义域为{x|x≥0}，不是相同函数． C选项，函数y＝x的定义域为R，函数y＝eln x的定义域为{x|x>0}，不是相同函数． D选项，由于y＝＝x，所以y＝x与y＝的定义域、值域都为R，对应关系也相同， 所以y＝x与y＝是相同函数． 故选D. 4．已知函数f (x)＝则f (f ())＝(　　) A．2 B．－ C． D．－1 A　解析：f (f ())＝f (2×)＝f (1)＝2×1＝2.故选A. 5．函数f (x)＝lg (1－x)＋的定义域为 ． 答案：{x|0≤x<1}　解析：由函数f (x)有意义得得0≤x<1. 所以函数f (x)的定义域为{x|0≤x<1}． 6．(忽视变量的范围致误)已知f＝x－1，则f (x)＝ ． 答案：x2－1(x≥0)　解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f (t)＝t2－1(t≥0)，即f (x)＝x2－1(x≥0). [对应学生用书P16] 1.(2024·安徽江南十校模拟)函数y＝的定义域为(　　) A．(－1，3] B．(－1，0)∪(0，3] C．[－1，3] D．[－1，0)∪(0，3] B　解析：要使函数有意义，x需满足 解得－1<x<0或0<x≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]. 2．(2024·重庆南开中学)已知函数f (x)＝的定义域为R，则实数k满足(　　) A．k≥0或k≤－ B．k≥ C．－≤k≤ D．0<k≤ B　解析：由题意可得，kx2－3x＋k≥0恒成立， 当k＝0时，即－3x≥0，显然不满足， 当k≠0时，有解得k≥. 综上可得，k≥.故选B. 3．已知函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，则函数y＝的定义域是 ． 答案：(－2，1)　解析：由题意知函数y＝ 需满足即 解得x>－2且－4<x<1，即－2<x<1， 故函数y＝的定义域是(－2，1). 【例1】 求下列函数的解析式： (1)已知f (1－sin x)＝cos2x，求f (x)的解析式； (2)已知f (x＋)＝x2＋，求f (x)的解析式； (3)已知f (x)是一次函数且3f (x＋1)－2f (x－1)＝2x＋17，求f (x)的解析式； (4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)的解析式． 解：(1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t，∵f (1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f (t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f (x)＝2x－x2，x∈[0，2]. (2)(配凑法)∵f ＝x2＋＝－2， ∴f (x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). (3)(待定系数法)∵f (x)是一次函数，∴可设f (x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴a＝2， 5a＋b＝17，解得 ∴f (x)＝2x＋7. (4)(方程组法)∵2f (x)＋f (－x)＝3x，① ∴将x用－x替换，得2f (－x)＋f (x)＝－3x，② 由①②解得f (x)＝3x. 【练1】 (2023·贵州安顺模拟)已知函数f (x) 满足f (cos x－1)＝cos 2x－1，则f (x) 的解析式为(　　) A．f (x)＝2x2＋4x(－2≤x≤0) B．f (x)＝2x2＋4x(x∈R) C．f (x)＝2x－1(－2≤x≤0) D．f (x)＝2x－1(x∈R) A　解析：函数f (x) 满足f (cos x－1)＝cos 2x－1＝2cos2x－1－1＝2cos2x－2，设cosx－1＝t，则cos x＝t＋1，由cos x∈[－1，1] 知t∈[－2，0]， 故原函数可转化为f (t)＝2(t＋1)2－2＝2t2＋4t，t∈[－2，0]， 即f (x)＝2x2＋4x(－2≤x≤0).故选A. 【练2】 若函数f (x)满足f (x)＋2f ()＝3x，则f (3)＝ ． 答案：－　解析：因为f (x)＋2f ()＝3x，① 所以f ()＋2f (x)＝，② ②×2－①，得f (x)＝－x， 所以f (3)＝－3＝－. 角度1　函数求值问题 【例2】 设函数f (x)＝则f (1)＋f (log26)＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 A　解析：∵log26>1，∴f (1)＋f (log26)＝1＋log2(2－1)＋2log26－1＝1＋0＋2log23＝1＋3＝4.故选A. 【练3】 已知f (x)＝求f (7)的值． 解：∵7＜9，∴f (7)＝f (f (7＋4))＝f (f (11))＝f (11－3)＝f (8).又∵8＜9，∴f (8)＝f (f (12))＝f (9)＝9－3＝6，即f (7)＝6. 角度2　与方程结合问题 【例3】 (2023·江苏泰州模拟)设函数f (x)＝若f (f (a))－f (a)＋2＝0，则实数a的值为(　　) A．－1 B．－－1 C．＋1 D．－＋1 B　解析：令f (a)＝t，f (f (a))－f (a)＋2＝0， 则f (t)＝t－2. ①当t≤0 时，t2＋2t＝t－2，则t2＋t＋2＝0，无解． ②当t>0 时，－t2＝t－2，∴t＝1，∴f (a)＝1. 当a≤0 时，a2＋2a＝1，解得a＝－－1；当a>0 时，－a2＝1 无解． 综上，a＝－－1. 【练4】 (2024·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x)＝若f (a)＝2，则实数a＝ ． 答案：1或－　解析：若a≥0，则f (a)＝a2＋1＝2，解得a＝1，若a<0，则f (a)＝＝2，解得a＝－，故a＝1 或a＝－. 角度3　求解不等式问题 【例4】 (2023·河北模拟)设函数f (x)＝则不等式f (3)＋f (|x|－4)>0 的解集为(　　) A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(－7，7) D．(－∞，－7)∪(7，＋∞) A　解析：因为f (x)＝ 所以f (3)＝－6，f (－3)＝(－3＋1)2＋2＝6， 则f (3)＋f (|x|－4)>0，即f (|x|－4)>－f (3)＝6＝f (－3)， f (x) 的函数图象如下所示． 由函数图象可知，当x>－3 时，f (x)<6 且f (x) 在(－∞，－3) 上单调递减，所以f (|x|－4)>f (－3) 等价于|x|－4<－3，即|x|<1，解得－1<x<1，即x∈(－1，1). 【练5】 已知函数f (x)＝若f (f (－2))>f (t)，则实数t的取值范围是 ． 答案：(－4，4)　解析：由题可得f (－2)＝4，f (4)＝8，不等式f (f (－2))>f (t)可化为f (t)<8.当t<0时，－2t<8，解得－4<t<0；当t≥0时，t2－2t<8，即(t－1)2<9，解得0≤t<4.综上所述，t的取值范围是(－4，4). 学科网（北京）股份有限公司 $$