第1章 第4节 基本不等式（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第四节　基本不等式 课标解读 1.了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．会用基本不等式解决实际问题． [对应学生用书P12] 1．定理及推论 定理：对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立． 推论：对任意a，b≥0，必有≥，当且仅当a＝b时等号成立． 一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数． 2．基本不等式的解释 (1)几何角度：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数． (2)数列角度：两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项． 3．利用基本不等式求最值 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和 x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积 xy有最大值． 1．判断正误 (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　×　　) (2)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R).(　　√　　) (3)函数y＝x＋的最小值是2.(　　×　　) (4)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充分而不必要条件．(　　√　　) 2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b B　解析：因为0＜a＜b，所以a－＝(－)＜0，故a＜.又因为b－＝＞0，所以b＞.由基本不等式知＞.综上所述，a＜＜＜b，故选B. 3．(2023·河南安阳模拟)已知a>0，b>0，则下列命题错误的是(　　) A．若ab≤1，则＋≥2 B．若a＋b＝4，则＋的最小值为4 C．若a2＋b2＝4，则ab的最大值为2 D．若2a＋b＝1，则ab的最大值为 D　解析：∵0<ab≤1，∴≥1，∴＋≥2≥2，故A选项正确； 若a＋b＝4，则＋＝(a＋b)(＋)＝(＋＋10)≥(2＋10)＝4， 当且仅当a＝1，b＝3时等号成立，故B选项正确； 若a2＋b2＝4，则ab≤＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C选项正确； 若2a＋b＝1，则1＝2a＋b≥2，即ab≤，当且仅当a＝，b＝时等号成立，故D选项错误．故选D. 4．已知0<x<1，则当x(3－3x)取得最大值时x的值为 ． 答案：　解析：因为0<x<1，所以x(3－3x)＝3x(1－x)≤3＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立． 5．设xy>0，则＋的最小值为 ． 答案：2＋1　解析：因为x，y为正数，由＋＝1＋＋≥1＋2＝1＋2， 当且仅当＝，即x＝y时，等号成立． 故答案为2＋1. [对应学生用书P13] 角度1　利用拼凑法求最值 【例1】 (1)已知正实数a，b满足a＋4b＝1，则ab的最大值为 ． (2)函数f (x)＝的最大值是 ，取得最大值时x＝ ． 答案：(1)　(2)　1　解析：(1)ab＝a·4b≤()2＝×＝， 当且仅当a＝4b，即a＝，b＝时取等号， 所以ab的最大值为. (2)当x>0时，f (x)＝＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立； 当x<0时，f (x)＝＝＝≥＝－，当且仅当－x＝－，即x＝－1时，等号成立． 当x＝0时，f (0)＝＝0， 综上，函数f (x)＝的最大值是，取得最大值时x＝1. 【练1】 若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为 ． 答案：4　解析：因为ab＞0，所以≥ ＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时等号成立，故的最小值是4. 角度2　利用常数代换法求最值 【例2】 (2023·山东烟台模拟)已知两个正数x，y满足x＋2y＝8xy，则4x＋2y的最小值为(　　) A． B．2 C． D． C　解析：将x＋2y＝8xy两边同时除以xy，得＋＝8，则4x＋2y＝(4x＋2y) ＝≥＝， 当且仅当＝，即y＝x＝时等号成立． 故4x＋2y的最小值为. 【练2】 已知x>y>0且4x＋3y＝1，则＋的最小值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 B　解析：由题意x>y>0得，2x－y>0，x＋2y>0， 令a＝2x－y，b＝x＋2y，则a＋2b＝4x＋3y， 由4x＋3y＝1得a＋2b＝1， 故＋＝(＋)(a＋2b)＝5＋＋ ≥5＋2＝9， 当且仅当＝，结合a＋2b＝1，即a＝b＝时取等号， 也即2x－y＝，x＋2y＝，即x＝，y＝时，等号成立， 故＋的最小值为9. 故选B. 角度3　利用消元法求最值 【例3】 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为 ． 答案：6　解析：方法一(换元消元法) 由已知得9－(x＋3y)＝·x·3y≤·，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号． 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 方法二(代入消元法) 由x＋3y＋xy＝9，得x＝， 所以x＋3y＝＋3y＝ ＝＝ ＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号， 所以x＋3y的最小值为6. 【变式探究】 本例条件不变，求xy的最大值． 解：方法一　∵9－xy＝x＋3y≥2， ∴9－xy≥2. 令＝t，∴t>0，∴9－t2≥2t，即t2＋2t－9≤0， 解得0<t≤，∴≤，∴xy≤3， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号， ∴xy的最大值为3. 方法二　∵x＝，∴xy＝·y＝ ＝＝－3(y＋1)－＋15≤－2＋15＝3. 当且仅当3(y＋1)＝，即y＝1，x＝3时取等号． ∴xy的最大值为3. 【练3】 (2023·重庆南开中学质量检测)已知x>0，y>0，xy＋2x－y＝10，则x＋y的最小值为(　　) A．2－1 B．2 C．4 D．4－1 D　解析：因为x>0，y>0， 由xy＋2x－y＝10，得x＝， 所以x＋y＝＋y＝＋y＋2－1≥2－1＝4－1， 当且仅当＝y＋2，即y＝2－2时，等号成立． 故x＋y的最小值为4－1.故选D. 角度1　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 【例4】 (1)(2023·江西省新八校联考)已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝1关于直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)对称，则的最小值为(　　) A．3 B．3＋2 C．2 D．2＋2 (2)(2023·山东省实验中学高三模拟)已知随机变量ξ～N(2，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a＋2)，则－(x>0)的最大值为(　　) A．3＋2 B．3－2 C．2＋ D．2－ (1)D　(2)D　解析：(1)由题意可知，圆心(1，1)在直线ax＋by－1＝0上，则a＋b＝1. 又因为a>0，b>0， 所以＝＝＝＋＋2≥2＋2， 当且仅当＝且a＋b＝1， 即a＝－1，b＝2－时等号成立， 故的最小值为2＋2.故选D. (2)因为随机变量ξ～N(2，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a＋2)， 所以P(ξ≤1)＝P(ξ≥3)，即a＋2＝3， 所以a＝1， 所以－＝－. 令f (x)＝－，x∈(0，＋∞)， 所以f (x)＝－＝＝＝. 又3x＋＋4≥2＋4＝2＋4，当且仅当3x＝，即x＝时取等号， 所以f (x)＝≤＝2－， 即－(x>0)的最大值为2－. 故选D. 【练4】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为 ． 答案：9　解析：依题意画出图形，如图所示． ∵BD是∠ABC的平分线，∠ABC＝120°， ∴∠ABD＝∠DBC＝60°. 易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，即c sin 60°＋a sin 60°＝ac sin 120°，∴a＋c＝ac，∴＋＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，c＝3时等号成立，故4a＋c的最小值为9. 角度2　求参数值或取值范围 【例5】 已知正数x，y满足x＋y＝4，若a≤＋恒成立，则实数a的取值范围是 ． 答案：(－∞，]　解析：已知正数x, y 满足 x＋y＝4， 所以(x＋1)＋(y＋2)＝7，所以＋＝1， 则＋＝＋ ＝＋＝x＋1－2＋＋y＋2－4＋＝＋＋1＝(＋)·(＋)＋1＝＋＋＋＋1≥＋ 2＝，当且仅当＝结合x＋y＝4，即x＝，y＝时，等号成立． 要使a≤＋恒成立， 只需满足a≤(＋)min即可， 故a≤. 【练5】 (多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 BC　解析：因为ab≤≤(a，b∈R)，由x2＋y2－xy＝1 可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1 时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1 时，x＋y＝2，所以A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1 可变形为(x2＋y2)－1＝xy≤，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1 时等号成立，所以C正确；因为x2＋y2－xy＝1 变形可得＋y2＝1，设x－＝cos θ，y＝sin θ，所以x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ，因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sinθcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋＝＋sin ∈，所以当x＝，y＝－时满足等式，但是x2＋y2≥1 不成立，所以D错误．故选BC. 【例6】 某厂家拟在2025年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2024年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大，最大值是多少？ 解：(1)由已知，当m＝0时，x＝1(万件)，所以1＝3－k，所以k＝2，所以x＝3－.由已知，每件 产品的销售价格为1.5×(元)，所以2023年的利润y＝1.5x·－8－16x－m＝－[＋(m＋1)]＋29(m≥0). (2)因为当m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1，即m＝3(万元)时，ymax＝21(万元). 所以该厂家2025年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． 【练6】 某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1 800 m2的矩形ABCD，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2 m的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是(　　) A．1 208 m2 B．1 448 m2 C．1 568 m2 D．1 698 m2 C　解析：设|AB|＝x m(x>0)， 则种植花卉区域的面积S＝(x－4)(－2)＝－2x－＋1 808. 因为x>0，所以2x＋≥2＝240，当且仅当x＝60时，等号成立， 则S≤－240＋1 808＝1 568，即当|AB|＝60 m， |BC|＝30 m时， 种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1 568 m2.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $$