第1章 第3节 等式与不等式、一元二次不等式（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第三节　等式与不等式、一元二次不等式 课标解读 1.理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 2．结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 3．了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 4．了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． [对应学生用书P7] 1．关于实数a与b大小的比较，有以下基本事实 如果a－b>0，那么a＞b；如果a－b＝0，那么a＝b；如果a－b<0，那么a＜b.反过来也成立．即a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b． 2．不等式的性质 性质1　如果a＞b，那么b＜a; 如果b＜a，那么a＞b．即a＞b⇔b＜a. 性质2　如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a＞c． 性质3　如果a＞b，那么a＋c＞b＋c． 推论1　如果a＋b＞c，那么a＞c－b. 推论2　如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d． 性质4　如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc;如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc． 推论3　如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd． 推论4　如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N＋). 性质5　如果a＞b＞0，那么＞(n∈N＋). 性质6　如果a＞b，且ab＞0，那么＜. 如果a＞b，且ab＜0，那么＞. 3．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 4．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异的实根x1，x2(x1＜x2)　 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有 实根 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x<x1 或x>x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜ x＜x2} ∅ ∅ 5.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f (x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f (x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判断正误 (1)一个不等式的两边同时加上或乘以同一个数，不等号方向不变．(　　×　　) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　×　　) (3)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　√　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　×　　) 2．已知正实数x，y满足x<y，设a＝xex＋y，b＝yey＋x，c＝yex＋x(其中e为自然对数：e≈2.718 28…)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．b<c<a A　解析：因为a＝xex＋y，b＝yey＋x，c＝yex＋x，所以b－c＝y(ey－ex)， 又y>x>0，e>1，所以ey>ex，所以b>c. 又c－a＝(x－y)＋(y－x)ex＝(x－y)(1－ex)， 又y>x>0，ex>1，所以c>a. 综上，a<c<b.故选A. 3．(多选)对于实数 a，b，c，下列命题是真命题的为(　　) A．若a＞b，则＜ B．若a＞b，则ac2≥bc2 C.若a＞0＞b，则a2＜－ab D．若c＞a＞b＞0，则> BD　解析：根据a＞b，取a＝1，b＝－1，则＜不成立，故A错误；因为a＞b，所以由不等式的基本性质知 ac2≥bc2成立，故B正确；由 a＞0＞b，取 a＝1，b＝－1，则 a2＜－ab 不成立，故C错误；因为c ＞a ＞b ＞0，所以(a－b)c ＞0，所以ac－ab ＞bc－ab，即a(c－b)＞b(c－a)，因为c－a＞0，c－b＞0，所以>，故D正确．故选BD. 4．(多选)若关于x的不等式x2－(m＋3)x＋3m<0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值可以是(　　) A．－ B．－ C． D． BD　解析：由x2－(m＋3)x＋3m<0，得(x－3)·(x－m)<0. 当m>3时，不等式(x－3)(x－m)<0的解为3<x<m，要想有3个整数解，只需6<m≤7； 当m＝3时，不等式(x－3)(x－m)<0的解集为∅，不符合题意； 当m<3时，不等式(x－3)(x－m)<0的解为m<x<3，要想有3个整数解，只需－1≤m<0； 综上所述，实数m的取值范围是[－1，0)∪(6，7]. 对选项逐一检验，只有m＝－，m＝符合．故选BD. 5．(忽视不等式性质致误)不等式≤2的解集是(　　) A．(－∞，－5)∪(－2，＋∞) B．(－∞，－5]∪(－2，＋∞) C．(－∞，－5)∪[－2，＋∞) D．(－∞，－5]∪[－2，＋∞) B　解析：原不等式可化为－2≤0⇒≥0，解得x≤－5或x＞－2， 所以原不等式的解集为(－∞，－5]∪(－2，＋∞). 6．(忽视m为零的讨论致误)对于任意实数x，不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是 ． 答案：(－4，0]　解析：当m＝0时，mx2＋mx－1＝－1<0，不等式恒成立；当m≠0时，则解得－4<m<0.综上，实数m的取值范围是(－4，0]. [对应学生用书P9] 1.(多选)(2023·山东济南模拟)已知实数a，b，c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是(　　) A．> B．a－c>2b C．a2>b2 D．ab＋bc>0 BC　解析：对于A，因为a>b>c，所以a－c>b－c>0，所以<，A选项错误； 对于B，因为a>b>c，a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以b＋c＝－a<0，a－b>0， 所以a－b>b＋c，即a－c>2b，B选项正确； 对于C，因为a－b>0，a＋b＝－c>0，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，即a2>b2，C选项正确； 对于D，ab＋bc＝b(a＋c)＝－b2≤0，D选项错误．故选BC. 2．(多选)已知a，b，c均为非零实数，且a>b>c，则下列不等式中，一定成立的是(　　) A．ac>bc B．ac2>bc2 C．(a－b)c<(a－c)c D．ln <0 BD　解析：对于A，取特殊值a＝2，b＝1，c＝－1，满足a>b>c，但ac<bc，故A不正确； 对于B，因为a，b，c均为非零实数，且a>b>c，所以c2>0，所以ac2>bc2，故B正确； 对于C，取特殊值a＝3，b＝2，c＝－1，满足非零实数a>b>c，此时(a－b)c＝(3－2)－1＝1，(a－c)c＝(3＋1)－1＝4－1＝，(a－b)c>(a－c)c，故C不正确； 对于D，因为a，b，c均为非零实数，且a>b>c， 所以－b<－c，a－c>0，a－b>0， 所以0<a－b<a－c，0<<1， 所以ln <ln 1， 即ln <0，故D正确． 3．已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为 ． 答案：M>N　解析：方法一　M－N＝－ ＝ ＝＝>0， ∴M>N. 方法二　令f (x)＝＝ ＝＋，显然f (x)是R上的减函数， ∴f (2 022)>f (2 023)，即M>N. 角度1　不含参数的一元二次不等式的解法 【例1】 (1)(2023·广东普宁模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3<0}，集合B＝{x|2x＋1>1}，则∁BA＝(　　) A．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) (2)不等式≥2的解集是(　　) A．[－3，] B．[－，3] C．[，1)∪(1，3] D．[－，1)∪(1，3] (1)A　(2)D　解析：(1)∵A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，B＝{x|2x＋1>1}＝{x|x>－1}，∴∁BA＝{x|x≥3}＝[3，＋∞)，故选A. (2)不等式≥2可化为≤0，即≤0， 解得－≤x<1或1<x≤3. 【练1】 (2024·江苏南京一模)不等式|x＋|<x(x＋2)的解集为(　　) A．(－∞，－3)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2－)∪(2－，＋∞) C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞) D．(－∞，－2＋)∪(2＋，＋∞) B　解析：当x≥－时，原不等式为x＋<x，可得x2＋x－>0， 所以x>2－或x<－1－， 又x≥－，所以x>2－； 当x<－时，原不等式为－x－<x，可得x2＋x＋>0， 解得x<－－2 或x>1－， 又x<－，所以x<－－2. 综上，不等式<x的解集为∪.故选B. 角度2　含参数的一元二次不等式的解法 【例2】 设a为参数，解关于x的一元二次不等式x2－(a＋1)x＋a<0. 解：原不等式可化为(x－a)(x－1)<0. 当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a}； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1}． 【变式探究】 将本例中的不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求此不等式的解集． 解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以a(x－1)<0. 当a>1时，解得<x<1；当a＝1时，解集为∅；当0<a<1时，解得1<x<. 综上，当0<a<1时，不等式的解集为；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为. 【练2】 已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2. 解：因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0. 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝. ①当a>0时，－<，不等式的解集为； ②当a＝0时，x2>0，不等式的解集为{x|x≠0}； ③当a<0时，－>，不等式的解集为. 综上所述，当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为. 角度1　在实数集R上的恒成立问题 【例3】 (2023·四川德阳诊断)已知p：0≤a≤2，q：任意x∈R，ax2－ax＋1≥0，则p是q成立的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 A　解析：命题q：不等式ax2－ax＋1≥0对一切实数x都成立， 当a＝0时，1>0，符合题意； 当a≠0时，有即解得0<a≤4， ∴q：0≤a≤4.又p：0≤a≤2， 设A＝[0，2]，B＝[0，4]，则A是B的真子集， 所以p是q成立的充分而不必要条件，故选A. 【练3】 若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A．(－3，0) B．[－3，0) C．[－3，0] D．(－3，0] A　解析：∵不等式为一元二次不等式， ∴2k≠0，k≠0.即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立， 则解得－3<k<0. 综上，k的取值范围是(－3，0). 角度2　给定区间上的恒成立问题 【例4】 若对任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．(－∞，0] C．[1，＋∞) D．(－∞，1] A　解析：方法一　令f (x)＝x2－2x＋a，由题意得 解得a≤－3，故选A. 方法二　当x∈[－1，2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，由题意得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1，2]).－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3.故选A. 【练4】 (2024·广东中山段考)若x∈[－1，2]时，不等式m≥x2－2x＋3恒成立，则实数m的最小值为(　　) A．2 B．3 C．6 D．不存在最小值 C　解析：x∈[－1，2]时，不等式m≥x2－2x＋3恒成立，即m≥(x2－2x＋3)max， 令f (x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，x∈[－1，2]， 故f (x)max＝f (－1)＝6， 所以m≥6，即实数m的最小值为6.故选C. 角度3　给定参数范围的恒成立问题 【例5】 已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0 恒成立，则x的取值范围为(　　) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3) C　解析：令f (a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 则不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0 恒成立转化为f (a)>0在a∈[－1，1] 上恒成立． 易知只需f (－1)＝x2－5x＋6>0且f (1)＝x2－3x＋2>0即可，联立方程可解得x<1或x>3. 【练5】 已知当a∈[0，2] 时，不等式ax2＋(a＋1)x＋1－a<0 恒成立，则x的取值范围为 ． 答案：(－2，－1)　解析：由题意，因为当a∈[0，2] 时，不等式ax2＋(a＋1)x＋1－a<0 恒成立， 可转化为关于a 的函数f (a)＝a＋x＋1， 则f (a)<0 对任意a∈[0，2] 恒成立，则满足 解得－2<x<－1，即x的取值范围为(－2，－1). 【例6】 某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120(0≤t≤24)吨． (1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象． 解：(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－120(0≤t≤24). 令＝x，则x2＝6t，即y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40， ∴当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)依题意400＋10x2－120x<80，得x2－12x＋32<0，解得4<x<8，即4<<8，解得<t<. 因为－＝8，所以每天约有8小时供水紧张． 【练6】 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价每降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f (x)，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围． 解：(1)由题意，得y＝100·100. 因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0，解得0≤x≤2， 所以y＝f (x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为x∈[0，2]. (2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤， 所以x的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$