第1章 第2节 常用逻辑用语（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第二节　常用逻辑用语 课标解读 1.熟练掌握充要条件的判断，并能根据充要条件确定参数的取值范围． 2．理解全称命题与特称命题的含义． 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． [对应学生用书P4] 1．命题 (1)命题的概念：判断可能成立，也可能不成立，两者必居其一且仅居其一的语句叫作命题． (2)命题的否定：如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p的否定，记作¬p.读作“非p”．显然，p也是¬p的否定．在p和¬p两者之中，一定有一个为真有一个为假． (3)逆命题：命题的条件和结论互换了位置，这时称一个是另一个的逆命题． 2．充分条件与必要条件 命题 真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题 推出 关系 p⇒q pq p⇔q 条件 关系 p叫作q的充分条件，q叫作p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 p是q的充分必要条件，简称充要条件 3.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 “任意”“所有”“每一个”等 ∀ 存在量词 “存在某个”“至少有一个”等 ∃ 4.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称 命题 对I的任一个元素x，有p(x)成立 ∀x∈I， p(x) ∃x∈I，¬p(x) 特称 命题 存在I的某个元素x，使p(x)成立 ∃x∈I， p(x) ∀x∈I，¬p(x) 1．判断正误 (1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(　　√　　) (2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　　√　　) (3)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题.(　　√　　) (4)“三角形内角和是180°”是全称命题．(　　√　　) 2．(2023·广东省深圳二模)命题“∀a∈N＋，2a≥a2”的否定是(　　) A．∃a∈N＋，2a≥a2 B．∃a∈N＋，2a<a2 C．∀a∈N＋，2a<a2 D．∀a∈N＋，2a>a2 B　解析：“∀a∈N＋，2a≥a2”是全称量词命题，它的否定是存在量词命题“∃a∈N＋，2a<a2”．故选B. 3．(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 B　解析：由a2＝b2，则a＝±b，当a＝－b≠0时，a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立． 由a2＋b2＝2ab，则(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立． 所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B. 4．已知p：ab≤1，q：a＋b≤2，则p是q的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 D　解析：当a＝－1，b＝4时，p不能推出q； 当a＝－2，b＝－2时，q不能推出p， 所以p是q的既不充分又不必要条件． 故选D. 5．下列命题中的假命题是(　　) A．∃x∈R，lg x＝1 B．∃x∈R，sin x＝0 C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0 C　解析：当x＝10时，lg x＝1，故A是真命题；当x＝0时，sin x＝0，故B是真命题；当x＝－1时，x3<0，故C是假命题；由指数函数的性质知D是真命题． 6．(忽视二次项系数的讨论致误)命题“∀x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是 ． 答案：[0，4)　解析：①当a＝0时，1>0恒成立，∴a＝0满足条件， ②当a≠0时，解得0<a<4. 综上，实数a的取值范围是[0，4). [对应学生用书P5] 1.(2023·河北模拟)“a<11 ”是“∃x∈R，x2－2x＋a<0 ”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 B　解析：∃x∈R，x2－2x＋a<0，则要满足Δ＝4－4a>0，解得a<1，因为a<11 a<1，但a<1⇒a<11. 故“a<11 ”是“∃x∈R，x2－2x＋a<0 ”的必要不充分条件．故选B. 2．已知a，b均为不等于0的实数，则“＋≥2”是“a>0，b>0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 B　解析：由＋≥2，得＋－2＝＝≥0， 于是ab>0，则a>0，b>0或a<0，b<0，所以充分性不成立； 反之，当a>0，b>0时，＋≥2＝2(当且仅当a＝b时，取等号)，则必要性成立，故选B. 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分而不必要条件 B．“＞”是“a＜b”的既不充分又不必要条件 C．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B D．“a＞b＞0”是“an＞bn(n∈N，n≥2)”的充要条件 BC　解析：当c＝0时，由ac＝bc不能得出a＝b，A错误；＞与a＜b相互之间不能推导，如a＝2，b＝－1时，满足＞但不满足a＜b，反之若a＝－1，b＝2，满足a＜b但不满足＞，∴“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件，B正确；由充分、必要条件与集合之间的包含关系可知C正确；由a＞b＞0能得出an＞bn，当a＝－4，b＝－2时，a2＞b2，但a＜b，D错误． 【例1】 已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求m的取值范围． 解：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以A＝{x|－2≤x≤10}． 由“x∈A”是“x∈B”的必要条件，知B⊆A. 又B为非空集合， 则 所以m的取值范围是[0，3]. 【变式探究】 若将本例中条件改为“若“x∈A”是“x∈B”的必要而不充分条件”，求m的取值范围． 解：由“x∈A”是“x∈B”的必要而不充分条件，知BA， 又B为非空集合，所以 或 解得0≤m≤3或0≤m<3， 所以0≤m≤3， 故m的取值范围是[0，3]. 【练1】 已知集合A＝[－2，5]，B＝[m＋1，2m－1].若“x∈B”是“x∈A”的充分而不必要条件，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，3] B．(2，3] C．∅ D．[2，3] A　解析：若“x∈B”是“x∈A”的充分而不必要条件，则BA， 所以m＋1≥2m－1，或等号不能同时取得，解得m≤3，即m的取值范围是(－∞，3]. 【练2】 (2024·安徽宣城八校联考)若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要而不充分条件，则a的最小值为 ． 答案：3　解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要而不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3. 角度1　含有一个量词的命题的否定 【例2】 (2023·河南省开封市一模)设命题p：∀x∈R，ex≥x＋1，则¬p是(　　) A．∀x∈R，ex≤x＋1 B．∀x∈R，ex<x＋1 C．∃x∈R，ex≤x＋1 D．∃x∈R，ex<x＋1 D　解析：∀x∈R，ex≥x＋1的否定是∃x∈R，ex<x＋1.故选D. 【练3】 命题“∃x∈R，x2＝1”的否定形式是(　　) A．∃x∈R，x≠1或x≠－1 B．∃x∈R，x≠1且x≠－1 C．∀x∈R，x≠1或x≠－1 D．∀x∈R，x≠1且x≠－1 D　解析：由特称量词命题的否定形式得：命题“∃x∈R，x2＝1”的否定形式是“∀x∈R，x≠1且x≠－1”．故选D. 【练4】 (2024·山东潍坊二模)十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn 没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为(　　) A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn 都没有正整数解 B．对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn 至少存在一组正整数解 C．存在正整数n≤2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn 至少存在一组正整数解 D．存在正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn 至少存在一组正整数解 D　解析：命题的否定形式为换量词，否结论，故只有D满足题意．故选D. 角度2　含有一个量词的命题的真假判断 【例3】 下列命题中，真命题是(　　) A．∃x∈R，sin2()＋cos2()＝ B．∀x∈(0，)，sinx>cos x C．∃x∈R，x2＋x＝－2 D．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1 D　解析：∀x∈R，均有sin2＋cos2＝1，故A是假命题；当x∈时，sinx<cos x，故B是假命题； ∵方程x2＋x＋2＝0对应的判别式Δ＝1－8<0，∴x2＋x＋2＝0无解，故C是假命题；令f (x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，则f (x)为增函数，故f (x)>f (0)＝0，即∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1，故D是真命题．故选D. 【练5】 (2024·咸阳一模)已知命题p：“存在x∈[1，＋∞)，使得(log23)x>1”，则下列说法正确的是(　　) A．¬p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x<1” B．¬p：“不存在x∈[1，＋∞)，使得(log23)x<1” C．¬p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x≤1” D．¬p：“任意x∈(－∞，1)，使得(log23)x≤1” C　解析：因为特称量词命题的否定是全称量词命题，所以¬p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x≤1”． 【练6】 (多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数 B．∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数 C．∀x∈R，x4<x5 D．∃x∈R，x2－2x＋1≤0 AD　解析：当a＝1时，y＝2x＋2－x在R上为偶函数，故A为真命题；y＝sin x＋cos x＋＝sin ＋，当sin (x＋)＝－1时，y＝0，故B为假命题； 当x＝0时，x4＝x5，故C为假命题； x2－2x＋1＝(x－1)2，当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故D为真命题． 学科网（北京）股份有限公司 $$