第1章 第1节 集合（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第一节　集　合 课标解读 1.了解集合、全集、空集的含义，理解元素与集合的属于关系． 2．理解集合间的基本关系． 3．理解并掌握集合的基本运算． [对应学生用书P1] 1．集合与元素 (1)集合中元素的基本属性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 正实 数集 符号 N N＋ Z Q R R＋ 2.集合间的基本关系 (1)子集：如果集合A的每个元素都是集合B的元素，就说A包含于B，或者说B包含A.记作A⊆B(或B⊇A).读作“A包含于B”(或 “B包含A”).若A包含于B，则称A是B的一个子集． (2)真子集：如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集，记作AB．读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). (3)相等：如果A⊆B并且B⊆A，就说两个集合相等，记作A＝B． (4)空集的性质：空集合包含于任一集合，是任一集合的子集． 3．集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 把所有既属于A又属于B的元素组成的集合 A∩B＝ {x|x∈A 且x∈B} 并集 把集合A，B中的元素放在一起组成的集合 A∪B＝ {x|x∈A 或x∈B} 补集 若A是全集U的子集，U中不属于A的元素组成的子集 ∁UA＝ {x|x∈U 且x∉A} 1．判断正误 (1)任何一个集合都至少有两个子集．(　　×　　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　×　　) (3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0或1.(　　×　　) (4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　√　　) (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　×　　) 2．(2023·上海卷)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x∉Q}，则M＝(　　) A．{1} B．{2} C．{1，2} D．{1，2，3} A　解析：∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P且x∉Q}，∴M＝{1}．故选A. 3．(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C． D．－1 B　解析：依题意，a－2＝0或2a－2＝0， 当a－2＝0时，解得a＝2， 此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意； 当2a－2＝0时，解得a＝1， 此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．故选B. 4．(2023·北京卷)已知集合M＝{x|x＋2≥0}，N＝{x|x－1<0}．则M∩N＝(　　) A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2<x≤1} C．{x|x≥－2} D．{x|x<1} A　解析：由题意，M＝{x|x≥－2}，N＝{x|x<1}， ∴M∩N＝{x|－2≤x<1}．故选A. 5．(2023·天津卷)已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则(∁UB)∪A＝(　　) A．{1，3，5} B．{1，3} C．{1，2，4} D．{1，2，4，5} A　解析：U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}， 则∁UB＝{3，5}，故∁UB∪A＝{1，3，5}．故选A. 6．(忽视空集讨论致误)已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是 ． 答案：0或1或－1　解析：易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N⊆M，∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1. [对应学生用书P2] 1.(2023·江苏常州模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|y＝x＋4}，则A∩B中元素的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　解析：∵集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|y＝x＋4}， 把y＝x＋4代入x2＋y2＝4，得x2＋2x＋3＝0，解得x＝－，有唯一解，故集合A∩B中元素的个数为1. 2．设集合A＝{x|x(x－4)(x－5)＝0}，则集合A的非空真子集的个数是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 B　解析：由题意，A＝{0，4，5}，故A的非空真子集个数为23－2＝6.故选B. 3．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m，n}，若3－m∈A，n＋1∈A，则非零实数m＋n的可能取值构成的集合是 ． 答案：{2}　解析：因为3－m∈A，所以3－m＝1或3－m＝2或3－m＝3， 解得m＝2或m＝1或m＝0. 因为n＋1∈A，所以n＋1＝1或n＋1＝2或n＋1＝3， 解得n＝0或n＝1或n＝2. 又因为B＝{1，m，n}，所以或即m＋n＝2. 【例1】 (1)(2024·山东泰安二模)设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}的关系可表示为(　　) (2)(2024·吉安期中)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，则使B⊆A成立的实数m的取值范围是 ． (1)A　(2)(－∞，4]　解析：(1)因为N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集．故选A. (2)①当B＝∅时，则m＋1＞2m－1，即m＜2，此时B⊆A成立，符合题意． ②当B≠∅时，要使B⊆A，则解得2≤m≤4. 综上，实数m的取值范围是(－∞，4]. 【变式探究】 在本例(2)中，若把“B⊆A”改为“A⊆∁UB”，则实数m的取值范围是 ． 答案： (－∞，2)∪ (6，＋∞)　解析：①当B≠∅时，则m＋1≤2m－1，即m≥2， 因为集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， 所以∁UB＝{x|x＜m＋1或x＞2m－1}． 又A⊆∁UB，则m＋1＞7或2m－1＜－2， 解得m＞6或m<－，又m≥2，所以m＞6. ②当B＝∅时，则m＋1＞2m－1，即m＜2，此时∁UB＝R，符合题意． 综上所述，实数m满足m＞6或m＜2. 【练1】 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{－1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为 ． 答案：　解析：当a＝0 时，B＝∅，此时满足B⊆A，则A，B集合构成“鲸吞”；当a>0 时，B＝，此时A，B 集合只能构成“蚕食”关系， 所以当A，B 集合有公共元素－＝－1 时，解得a＝2，当A，B 集合有公共元素＝2 时，解得a＝，故a 的取值集合为. 【练2】 (2023·河北张家口模拟)若x∈A，且∈A，则称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为 ． 答案：15　解析：因为1∈A，＝1∈A； －1∈A，＝－1∈A； 2∈A，∈A；3∈A，∈A； 这样所求集合即由1，－1，“3和”，“2和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集， 所以满足条件的集合的个数为24－1＝15. 角度1　集合交、并、补运算 【例2】 (1)(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ (2)(2023·重庆第二次模拟)设M，N，U均为非空集合，且满足MNU，则(∁UM)∩(∁UN)＝(　　) A．M B．N C．∁UM D．∁UN (1)A　(2)D　解析：(1)∵A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}， ∴A∪B＝{x|x＝3k＋1或x＝3k＋2，k∈Z}． 又U为整数集， ∴∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A. (2)集合M，N，U的韦恩图，如图所示， ∵MNU， ∴∁UN∁UM， ∴(∁UM)∩(∁UN)＝∁UN. 故选D. 【练3】 (2023·全国甲卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁UM＝(　　) A．{2，3，5} B．{1，3，4} C．{1，2，4，5} D．{2，3，4，5} A　解析：因为U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}， 所以∁UM＝{2，3，5}， 则N∪∁UM＝{2，3，5}． 故选A. 【练4】 已知集合M＝{x|0<x<5}，N＝{x|m<x<6}．若M∩N＝{x|3<x<n}，则m＋n等于(　　) A.9 B．8 C．7 D．6 B　解析：因为M∩N＝{x|0<x<5}∩{x|m<x<6}＝{x|3<x<n}，所以m＝3，n＝5，所以m＋n＝8.故选B. 角度2　利用集合的运算求参数的值或取值范围 【例3】 (1)(2024·岳阳质量检测)已知集合A＝{x|x－1≤0}，B＝{x|x≥a}．若A∪B＝R，则实数a的值不可以为(　　) A．2 B．1 C．0 D．－2 (2)(2024·河南模拟)已知集合A＝{x|x2＋x－2＜0}，B＝{x|x＋m＞0}，且A∪B＝{x|x>－2}，则m的取值范围为(　　) A．[－1，2] B．[－2，1] C．(－1，2] D．[－2，1) (1)A　(2)C　解析：(1)因为A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，所以实数a≤1，所以a的值不可以为2.故选A. (2)∵A＝{x|x2＋x－2＜0}＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＋m＞0}＝{x|x＞－m}，A∪B＝{x|x>－2}，∴－2≤－m＜1，∴－1＜m≤2，∴m的取值范围为(－1，2]. 【例4】 (1)(2023·山东临沂模拟)定义集合P＝{p|a≤p≤b}的“长度”是b－a，其中a，b∈R.已知集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“长度”的最小值是 ． (2)(2023·山东青岛模拟)设P，Q 是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙ ”：P⊙Q＝{x|x∈P∪Q，且x∉P∩Q}，如果P＝{y|y＝}，Q＝{y|y＝4x，x>0}，则P⊙Q＝ ． 答案：(1)　(2)[0，1]∪(2，＋∞)　解析：(1)因为集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，由题意得可得1≤m≤；由可得≤n≤2.所以集合M∩N的“长度”的最小值是－＝. (2)对于集合P，y＝，x∈[－2，2]，y∈[0，2]，即P＝{y|0≤y≤2}，对于集合Q，y＝4x，x∈(0，＋∞)，y∈(1，＋∞)，即Q＝{y|y>1}． P∩Q＝{y|1<y≤2}，P∪Q＝{y|y≥0}， 则P⊙Q＝[0，1]∪(2，＋∞). 【练5】 (2024·北京房山一模)已知U是非空数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称(A1，A2)为集合U的一种真分拆，并规定(A1，A2)与(A2，A1)为集合U的同一种真分拆． ①A1∩A2＝∅； ②A1∪A2＝U； ③Ai(i＝1，2)的元素个数不是Ai 中的元素． 则集合U＝{1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是(　　) A．5 B．6 C．10 D．15 A　解析：由题意，集合U＝{1，2，3，4，5，6}的真分拆有A1＝{5}，A2＝{1，2，3，4，6}；A1＝{1，4}，A2＝{2，3，5，6}；A1＝{3，4}，A2＝{1，2，5，6}；A1＝{4，5}，A2＝{1，2，3，6}；A1＝{4，6}，A2＝{1，2，3，5}，共5种，故选A. 【练6】 (多选)(2023·吉林白山市高三模拟)若对任意x∈A，∈A，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是(　　) A．{－1，1} B．{，2} C．{x|x2>1} D．{x|x>0} ABD　解析：对于集合{1，－1}，当x＝1时，＝1，当x＝－1时，＝－1显然符合题意； 对于集合{，2}，x＝2时，＝，当x＝时，＝2，显然符合题意； {x|x>0}，任取x>0，则>0，显然符合题意； {x|x2>1}＝{x|x>1或x<－1}， 取x＝2时，∉A，C选项不符合题意． 故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $$