第3章 整式及其加减 培优突破练习 2024--2025学年北师大版数学七年级上册

第3章 整式及其加减 培优突破练习【6个考点50题专练】 2024−2025学年北师大版数学七年级上册 考点梳理 一．列代数式 二．代数式求值 三．规律型：数字的变化类 四．规律型：图形的变化类 五．整式的加减 六．整式的加减—化简求值 考点精讲精练 一．列代数式 · 代数式 代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式． 注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈． ②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等． 1．（2021春•嘉兴期末）曹老师有一包糖果，若分给个学生，则每个学生分颗，还剩颗；若分给个学生，则每个学生分3颗，还剩颗，则的值可能是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2021秋•锦州期中）如图．将面积为的小正方形与面积为的大正方形放在一起则三角形的面积是 　　 3．（2021春•清苑区期末）现有一张边长为的大正方形卡片和三张边长为的小正方形卡片，如图1；取出两张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成的图案如图2；再重新用三张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成的图案如图3．则图3中阴影部分的面积为 　　（用含有，的代数式表示）；已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大，则小正方形卡片的面积是 　　． 4．（2022春•通川区期末）在中，，将沿折叠，使得点恰好落在的延长线上的点处，交边于点．若，，，，则的度数是 　　（用的代数式表示）；的长度为 　　（用的代数式表示）． 5．（2024春•成都期中）如图是某住宅的平面结构示意图（单位：米），图中的四边形均是长方形或正方形． （1）用含，的代数式分别表示客厅和卧室（含卧室和的面积； （2）若，，求卧室（含卧室和比客厅大多少平方米． 6．（2024春•青岛期中）2024年2月17日，第十四届全国冬季运动会在内蒙古举行，本届比赛首次设置了群众组比赛．如图所示，某比赛场馆的平面示意图是长方形，中间为比赛区，四周为宽度均为5米的观众区，请你计算这一场馆总的占地面积是多少平方米？（用含的代数式表示） 7．（2023秋•安化县期末）某中学新建了一个音乐喷泉（图，如图2，喷泉的水从出水管喷出形成漂亮的水柱，当出水量达到最大时，喷泉会响起优美的音乐，此时水柱的高度比出水管的高度的2倍还高，设出水管的高度为 ． （1）直接用含的代数式表示水柱的高度为 　　． （2）当喷泉响起优美的音乐时，出水管和水柱的总高度为，求出水管的高度． 8．（2023秋•武义县期末）中国书法是中华文化瑰宝，是基础教育的重要内容．东东同学写了一幅五尺单条（长为，宽为书法作品，如图所示进行装裱，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，装裱后的长是装裱后的宽的4倍．已知天头和地头的长之比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的，若设边的宽为厘米． （1）请用含的代数式表示装裱后的长． （2）求边宽和天头长． 9．（2023秋•松阳县期末）仔细阅读如图对话，解决下列问题． （1）若小朋友买份凤爪，则买了凤爪和泡面后剩余多少钱？（用关于的代数式表示） （2）小朋友至多买多少份凤爪？ 二．代数式求值 · 代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 10．（2022秋•罗湖区校级期末）若，，则下面四个代数式的值最大的是　　 A． B． C． D． 三．规律型：数字的变化类 · 规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 11．（2024•武汉模拟）从正整数里取出个不同的数，使得这个数中任意两个数之差的绝对值是质数，则的最大值是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 12．（2022秋•丰都县期末）有个依次排列的整式：第一项是；第二项是；用第二项减去第一项，所得之差记为，将加2记为，将第二项与相加作为第三项；将加2记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将到4个结论：①；②当时，第3项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则；④第2022项为； ⑤当时，；以上结论正确的是　　 A．①②④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．①③⑤ 13．（2022春•沙坪坝区校级月考）有一组非负整数：，，，．从开始，满足，，，，，某数学小组研究了上述数组，得出以下结论：①当，时，；②当，时，；③当，，时，或9；④当，为正整数）时，，为整数）．其中正确的结论个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的的值为81，我们看到第一次输出的结果为27，第二次输出的结果为第2024次输出的结果为　　 A．1 B．3 C．9 D．27 15．（2024•巧家县校级模拟）观察一列单项式：，，，，，．则第个单项式是　　 A． B． C． D． 16．（2019春•南江县期末）10个人围成一圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想一个数，并把自己想的数告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报出来的数是3的人心里想的数是　　 A．2 B． C．4 D． 17．（2019秋•内黄县期末）观察以下一列数的特点：0，，4，，16，，则第21个数是　　 A．441 B． C． D．400 18．（2023•西藏一模）下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中的值是　　 A．135 B．170 C．209 D．252 19．（2024•西山区一模）按一定规律排列的一组多项式：，，，，，，它的第2024个多项式是　　 A． B． C． D． 20．（2022•天元区模拟）定义一种关于整数的“”运算： （1）当是奇数时，结果为； （2）当是偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取，第一次经运算是29，第二次经运算是92，第三次经运算是23，第四次经运算是74，；若，则第2020次运算结果是　　 A．1 B．2 C．7 D．8 21．（2023春•九龙坡区校级期中）有依次排列的两个不为零的代数式、，用后一项与前一项作和，可以得到代数式，记作第1次操作，并得到代数式串为、；用第1次操作得到的代数式串的最后一项与前一项作差，得到代数式，记作第2次操作，并得到代数式串为、、、；用第2次操作得到的代数式串的最后一项与前一项作和，得到代数式，记作第3次操作，并得到代数式串为、、、、；；循环操作下去． 下列说法： ①第6次操作后得到的代数式串为、、、、、、、；②；③；④． 其中，正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 22．如图，在2022个“〇”中依次填入一列数，，，，，使得其中任意四个相邻“〇”中，所填之数的和都等于21，已知，，则的值为　　 A． B．1 C． D．19 23．（2021•嘉善县一模）已知一列数，，，，具有如下规律：，是正整数）．若，则的值为　　 A．1 B．5 C．7 D．11 24．（2016秋•岱岳区期中）当分别取、、2012、、、、0、1、、、、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于　　．（温馨提示：注意寻找计算的突破口） 25．（2018•伊金霍洛旗一模）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中与之间的关系式是　 　． 26．（2015秋•馆陶县期中）观察下面的每列数，按其规律在横线上填写适当的数，并说明理由． （1），，，　 　，　 　． （2），，，，　 　，　 　． 27．（2018春•武侯区校级期中）如果记．如，（2），那么（1）（2）（3）　　． 28．（2015秋•太和县期中）观察算式：；；；；，，根据以上规律：　 　． 29．（2023•浠水县校级二模）观察数串的规律：，，，，，，，，，，，则第100个位置上排的数是　　． 30．（2024•合肥一模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：． 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　　； （2）写出你猜想的第个等式：　　（用含的等式表示），并证明． 31．（2024春•于洪区期中）观察下列算式，探究并说明其中的规律： ，，，， （1）请你写出一个具有类似结构的算式 　　； （2）设满足上述规律的两个因数分别为，，，，且，，都是正整数）． ①正整数，满足的条件为 　　； ②用所学的整式乘法说明上述规律中方法的正确性； （3）请你用文字语言表达规律：　　． 四．规律型：图形的变化类 · 规律型：图形的变化类 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 32．（2024春•东光县期中）将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是　　 A．52 B．67 C．84 D．101 33．（2021•北碚区校级模拟）汉字文化正在走进人们的日常消费生活．下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点依此规律则，图⑧中共有圆点的个数是　　 A．63 B．75 C．88 D．102 34．（2020•新野县三模）如图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分如图（1），画2条直线，最多能把白纸分成4部分如图（2），画3条直线，最多能把白纸分成7部分如图（3），当在一张白纸上画20条直线，最多能把白纸分成　　部分． A．190 B．191 C．210 D．211 35．（2021秋•罗定市期中）如图，在△中，，，，是、2、的中点，则△中最短边的长度为　　 A． B． C． D． 36．（2021春•仙桃期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，都在轴正半轴上，点，，，，都在直线上，，△，△，△，，都是等边三角形，且，则点的横坐标是 　　． 37．（2022秋•城阳区校级月考）用同样大小的黑色棋子按如图表示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第100个图形需棋子 　　枚． 38．（2023•明水县模拟）根据如图所示的（1），（2），（3）三个图所表示的规律，依次下去第30个图中平行四边形的个数是 　　． 39．（2021•西城区校级开学）现有一块圆形蛋糕，用刀把它竖着切开．用表示刀切下去出现的最多的蛋糕块数，2，3，．显然，1刀切下去蛋糕分为两块，记为（1）；2刀切下去蛋糕最多被分为4块，记为（2）；那么（3）　　；与的等量关系为 　　；　　（用含的式子表示）． 40．（2015•青羊区模拟）用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第2015个图形需　 　根火柴棒． 41．（2024•赤峰一模）用棋子摆成的“”字形图案，如图所示： （1）填写下表： 图案序号 1 2 3 4 每个图案中棋子的个数 5 8 （2）若某个“”字形图案的棋子的个数为2024个，求该“”字形图案的序号； （3）直接写出第20个“”字形图案共有棋子个数 　　并计算前20个“”字形图案中棋子的总个数． 42．（2024•瑶海区校级一模）春节期间，某单位在小广场上展出一批花卉，如图所示是这些花卉的排列图案，其中小黑点表示花卉．第①层需要1盆；第②层需要4盆；第③层需要7盆；第④层需要10盆；以此类推．按照以上规律，解决下列问题： （1）第⑤层需要花卉 　　盆，五层共需要花卉 　　盆； （2）第层需要花卉 　　盆；（用含的代数式表示） （3）若将按此规律排列的图案中的4条射线，，，上的花卉全部换成盆景，当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有多少盆花卉？ 五．整式的加减 · 整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 43．（2023秋•无锡期中）如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，若要求出两个阴影部分周长的差，只要知道下列哪个图形的面积　　 A．正方形① B．正方形② C．正方形③ D．大长方形 44．（2023秋•北碚区校级期中）一个三位正整数，当的百位数字减去6等于十位数字减去个位数字时，我们称这个三位数是“吉利数”．记的百位数字为，十位数字为，个位数字为，并规定：．若是最小的“吉利数”，则　　；若有两个“吉利数” ，，其中，，且，则的最大值为 　　． 45．（2024春•南岗区校级期中）某同学做一道题，已知两个多项式、，求的值．他误将“”看成“”，经过正确计算得到的结果是，其中． （1）请你帮助这位同学求出正确的结果； （2）若是最大的负整数，求的值． 46．（2024春•沙坪坝区校级月考）已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设． （1）用、、的代数式表示； （2）当的长度变化时，如果始终保持不变，则、应满足的关系是什么？ （3）在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值． 47．（2024•裕华区校级二模）定义：，，为实数，若，则称与是关于的对称数． （1）2与4是关于 　　的对称数，与 　　是关于3的对称数； （2）若，，且与是关于的对称数，试求出的值． 六．整式的加减—化简求值 · 整式的加减—化简求值 给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 48．（2023秋•台州期末）先化简，再求值：，其中，． 49．（2023秋•北流市期末）我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”． （1）下列数对中，是“和积等数对”的是　 　　；（填序号） ①； ②，； ③，． （2）若是“和积等数对”，求的值； （3）若是“和积等数对”，求代数式的值． 50．（2023秋•临海市期末）先化简，再求值；，其中． 第3章 整式及其加减 培优突破练习【6个考点50题专练】 2024−2025学年北师大版数学七年级上册 参考答案与试题解析 考点梳理 一．列代数式 二．代数式求值 三．规律型：数字的变化类 四．规律型：图形的变化类 五．整式的加减 六．整式的加减—化简求值 考点精讲精练 一．列代数式 1．（2021春•嘉兴期末）曹老师有一包糖果，若分给个学生，则每个学生分颗，还剩颗；若分给个学生，则每个学生分3颗，还剩颗，则的值可能是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】 【考点】列代数式 【专题】整式；符号意识 【分析】根据分给个学生，则每个学生分颗，还剩颗可得共有颗糖，根据分给个学生，则每个学生分3颗，还剩颗，可得共有颗糖，根据糖果数量相等列出等式即可解答． 【解答】解：根据分给个学生，则每个学生分颗，还剩颗可得共有颗糖， 根据分给个学生，则每个学生分3颗，还剩颗，可得共有颗糖， ， ， ，为正整数， 或1， 当时， ， 当时，，没有这个选项，舍弃． 故选：． 【点评】本题考查了列代数式的应用，关键是能根据题意表示出糖果的数量． 2．（2021秋•锦州期中）如图．将面积为的小正方形与面积为的大正方形放在一起则三角形的面积是 　　 【考点】列代数式 【专题】图表型；转化思想 【分析】延长交的延长线于，根据矩形面积和三角形面积公式分别求出求出矩形、、、的面积，即可得出三角形的面积． 【解答】解：延长交的延长线于，则，，，， 则，由三角形的面积公式得： ， ． 另解：连接，则有，三角形面积可转换为三角形面积，即可求得结果． 故答案为：． 【点评】考查了列代数式，本题关键是把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积． 3．（2021春•清苑区期末）现有一张边长为的大正方形卡片和三张边长为的小正方形卡片，如图1；取出两张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成的图案如图2；再重新用三张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成的图案如图3．则图3中阴影部分的面积为 　　（用含有，的代数式表示）；已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大，则小正方形卡片的面积是 　　． 【答案】，5． 【考点】列代数式 【专题】计算题；整式；几何直观；运算能力 【分析】图2中阴影正方形的边长为，面积就是；图3中两个阴影部分的面积可以上下拼在一起，也是个正方形，其边长是，面积就是．再根据等量关系列方程就可以得出含有、的关系式了． 【解答】解：图2中阴影部分是正方形，它的边长是， 所以它的面积就是． 图3中阴影部分可以上下拼合到一起，其边长就是， 所以它的面积就可以表示为：． 又因为图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大， 所以可得： ， ， ， ， 故小正方形的面积是5． 【点评】本题考查列代数式的能力，用字母表示阴影部分的面积．再根据等量关系进行推导． 4．（2022春•通川区期末）在中，，将沿折叠，使得点恰好落在的延长线上的点处，交边于点．若，，，，则的度数是 　　（用的代数式表示）；的长度为 　　（用的代数式表示）． 【答案】；． 【考点】列代数式 【专题】推理填空题；推理能力 【分析】（1）根据折叠的性质可知，再根据同角的余角相等得，即可求出； （2）先证明，可得，再由，，即可求出． 【解答】解：（1）由折叠可得， ， ， ， ， ， ， ， （2），， ， ，，， ， ， ． 故答案为：，． 【点评】此题主要考查了折叠的性质和全等三角形的性质，熟练掌握折叠的性质和三角形全等的判定与性质是解题的关键． 5．（2024春•成都期中）如图是某住宅的平面结构示意图（单位：米），图中的四边形均是长方形或正方形． （1）用含，的代数式分别表示客厅和卧室（含卧室和的面积； （2）若，，求卧室（含卧室和比客厅大多少平方米． 【答案】（1）客厅面积为平方米，卧室的面积为平方米； （2）卧室比客厅大33平方米． 【考点】列代数式 【专题】整式；几何直观；运算能力 【分析】（1）用客厅面积卧室面积，再进行化简即可； （2）80元乘以总面积即可求解． 【解答】解：（1）客厅的长为，宽为， 因此面积为：平方米， 卧室是长为米，宽为：米的长方形， 因此卧室的面积为： 平方米； （2）卧室比客厅大的面积为： ， 当，时， 原式（平方米）， 答：卧室比客厅大33平方米． 【点评】本题考查了列代数式问题，解题的关键是求出住房的各部分的长和宽，然后代入矩形的面积计算公式进行计算． 6．（2024春•青岛期中）2024年2月17日，第十四届全国冬季运动会在内蒙古举行，本届比赛首次设置了群众组比赛．如图所示，某比赛场馆的平面示意图是长方形，中间为比赛区，四周为宽度均为5米的观众区，请你计算这一场馆总的占地面积是多少平方米？（用含的代数式表示） 【答案】． 【考点】列代数式 【专题】计算题；应用意识 【分析】列出长方形的长和宽，再利用长方形面积公式计算即可． 【解答】解：场馆的长为米， 宽为米， 面积是平方米． 【点评】本题考查了列代数式的知识，掌握长方形面积是解题关键． 7．（2023秋•安化县期末）某中学新建了一个音乐喷泉（图，如图2，喷泉的水从出水管喷出形成漂亮的水柱，当出水量达到最大时，喷泉会响起优美的音乐，此时水柱的高度比出水管的高度的2倍还高，设出水管的高度为 ． （1）直接用含的代数式表示水柱的高度为 　　． （2）当喷泉响起优美的音乐时，出水管和水柱的总高度为，求出水管的高度． 【答案】（1）； （2）． 【考点】列代数式 【专题】整式；符号意识 【分析】（1）根据水柱高度与出水管高度的关系即可解决问题． （2）根据题意，建立方程即可解决问题． 【解答】解：（1）因为水柱的高度比出水管的高度的2倍还高，且出水管的高度为 ， 所以水柱的高度可表示为：． 故答案为：． （2）由题知， ， 解得， 答：出水管的高度为． 【点评】本题考查列代数式，熟知题中各个量之间的关系是解题的关键． 8．（2023秋•武义县期末）中国书法是中华文化瑰宝，是基础教育的重要内容．东东同学写了一幅五尺单条（长为，宽为书法作品，如图所示进行装裱，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，装裱后的长是装裱后的宽的4倍．已知天头和地头的长之比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的，若设边的宽为厘米． （1）请用含的代数式表示装裱后的长． （2）求边宽和天头长． 【答案】（1）装裱后的长为：；（2）边的宽为，天头的长为． 【考点】列代数式 【专题】运算能力；整式 【分析】（1）设边的宽为厘米，根据题意设天头为 ，则地头为 ，可用含的式子表示装裱后的长； （2）由装裱后的长是装裱后的宽的4倍，列方程求解即可． 【解答】解：（1）设边的宽为厘米， 天头和地头的长之比是， 设天头为 ，则地头为 ， 左右边的宽为：， 装裱后的长为：． （2）由（1）得：宽为：， ， 整理得，， ， 边的宽为，天头的长为． 【点评】本题主要考查一元一次方程的运用，确定相等关系是解本题的关键． 9．（2023秋•松阳县期末）仔细阅读如图对话，解决下列问题． （1）若小朋友买份凤爪，则买了凤爪和泡面后剩余多少钱？（用关于的代数式表示） （2）小朋友至多买多少份凤爪？ 【答案】（1）；（2）8份． 【考点】列代数式 【专题】运算能力；整式 【分析】（1）根据“剩余的钱数总钱数泡面的钱数凤爪的钱数”即可求解； （2）根据题意列出不等式即可求解． 【解答】解：（1） ， （2）或， ， 为整数， ， 即小朋友至多买8份凤爪． 【点评】本题主要考查了代数式，不等式，解题的关键是理解题意，并找准数量关系． 二．代数式求值 10．（2022秋•罗湖区校级期末）若，，则下面四个代数式的值最大的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】代数式求值 【专题】整式；运算能力 【分析】要比较两个多项式的大小，只需采用作差法，将它们的差因式分解就可解决问题． 【解答】解：，， ，， ， ，即． 同理：，， 式最大． 故选：． 【点评】本题主要考查了整式的加减、因式分解、不等式的性质、不等式的传递性等知识，比较大小常用作差法或作商法，应熟练掌握． 三．规律型：数字的变化类 11．（2024•武汉模拟）从正整数里取出个不同的数，使得这个数中任意两个数之差的绝对值是质数，则的最大值是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 【考点】规律型：数字的变化类；绝对值 【专题】实数；运算能力；数感 【分析】根据绝对值的定义，结合质数，合数的概念进行判断即可． 【解答】解：显然4个数1，3，6，8满足题目要求，故所求的最大值， 若，记第个数为为正整数），不妨设， 分情形讨论如下： （1）若为奇数，为奇数，于是为偶数， 又为质数， 故，即； 若为奇数，又， 故为不等于2的偶数， 即为不小于4的偶数， 即为合数，矛盾． 故为偶数，也只能为偶数， 那么，若为奇数， 则为偶数， 即为不小于4的偶数， 从而为合数，矛盾； 若为偶数，则为偶数， 从而为合数，矛盾； （2）为奇数，为偶数， 于是为奇数，即， 若为奇数，则为偶数， 故为合数，矛盾， 所以为偶数，且， 若为奇数，则为不小于4的偶数，即为合数，矛盾； 若为偶数，则为不小于4的偶数，即为合数，矛盾； （3）为偶数，为奇数或偶数，都类似于（1），（2）可导致矛盾， 综上，所求的最大值是4， 故选：． 【点评】本题考查数字变化类规律，解答中涉及绝对值，质数，合数，掌握绝对值的定义是关键． 12．（2022秋•丰都县期末）有个依次排列的整式：第一项是；第二项是；用第二项减去第一项，所得之差记为，将加2记为，将第二项与相加作为第三项；将加2记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将到4个结论：①；②当时，第3项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则；④第2022项为； ⑤当时，；以上结论正确的是　　 A．①②④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．①③⑤ 【答案】 【考点】规律型：数字的变化类 【专题】规律型；推理能力；数感 【分析】根据题意可以得出规律，第项为，，根据规律逐项求解判断即可． 【解答】解：由题意可知，第一项为，第二项为， ， ， ， ， ． ， 故①正确； 将第二项与相加作为第三项， 第三项为， 当时，， 故②错误； 将第3项与相加作为第四项， 第4项为， 以此类推，第项为， 第4项为， 第5项与第4项之差为15， ， 解得， 故③正确； 第项为， 第2022项为， 故④错误； ， ， 故⑤正确． 故选：． 【点评】本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律是解答此题的关键，难度较大． 13．（2022春•沙坪坝区校级月考）有一组非负整数：，，，．从开始，满足，，，，，某数学小组研究了上述数组，得出以下结论：①当，时，；②当，时，；③当，，时，或9；④当，为正整数）时，，为整数）．其中正确的结论个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【考点】规律型：数字的变化类 【专题】规律型；运算能力 【分析】根据其规律，求出其值，再判定结论错误与否． 【解答】解：根据题意有， ①当，时，，，，，， 故①结论正确； ②当，时，，，，，，，，，，，，， ，， ，，， ， ， 故②结论错误； ③当，时，，，， ， ， ，解得或， 故③结论正确； ④特殊值法求解，令， 则，，，，，，，， 显然不一定等于1，也可能， 故④结论错误； 综上所述，正确的结论个数为2个． 故选：． 【点评】本题考查了数的变化规律以及绝对值的知识点，综合性较强，难度较大． 14．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的的值为81，我们看到第一次输出的结果为27，第二次输出的结果为第2024次输出的结果为　　 A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】 【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；代数式求值 【专题】推理能力；计算题 【分析】将输入程序中计算，可得：27，9，3，1，3，1，，由此可得：从第3次开始，每两次是一个循环，为3，1，而，因此第2024次输出的结果为：1，即可得出结果． 【解答】解：将输入程序中计算， 第1次计算结果：， 第2次计算结果：， 第3次计算结果：， 第4次计算结果：， 第5次计算结果：， 第6次计算结果：， 第7次计算结果：， 由此可得：从第3次开始，每两次是一个循环，为3，1， ， 第2024次输出的结果为：1， 故选：． 【点评】本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和代数式求值，从题目中找出数字之间的规律是解题的关键． 15．（2024•巧家县校级模拟）观察一列单项式：，，，，，．则第个单项式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】规律型：数字的变化类 【专题】计算题；推理能力 【分析】观察单项式，先分别将第个单项式的系数正负，数字系数（不含正负）和指数分别表示出来，即可得出结果． 【解答】解：观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负， 可以用或来表示，其中为大于1的正整数， 数字系数（不含正负）为：1，3，7，15，31，， 第个单项式的数字系数（不含正反）为：， 指数是从1开始的连续奇数， 第个单项式的指数为：， 因此，第个单项式为：或， 故选：． 【点评】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． 16．（2019春•南江县期末）10个人围成一圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想一个数，并把自己想的数告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报出来的数是3的人心里想的数是　　 A．2 B． C．4 D． 【考点】37：规律型：数字的变化类 【专题】：规律型 【分析】先设报3的人心里想的数，利用平均数的定义表示报5的人心里想的数；报7的人心里想的数；报9的人心里想的数；报1的人心里想的数，最后建立方程，解方程即可． 【解答】解：设报3的人心里想的数是，则报5的人心里想的数应是，于是报7的人心里想的数是，报9的人心里想的数是，报1的人心里想的数是，报3的人心里想的数是，所以得，解得． 故选：． 【点评】本题属于阅读理解和探索规律题，考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．规律与趋势：这道题的解决方法有点奥数题的思维，题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且，多设几个未知数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决． 17．（2019秋•内黄县期末）观察以下一列数的特点：0，，4，，16，，则第21个数是　　 A．441 B． C． D．400 【答案】 【考点】规律型：数字的变化类 【专题】运算能力；创新意识；计算题；猜想归纳 【分析】认真观察数字，发现规律，利用规律解决问题． 【解答】解：0，，4，，16，，． 数字的通式可写为， 第21个数是． 故选：． 【点评】本题考查了数字的变化，解题的关键是读懂数字的之间变化规律，利用规律解决问题． 18．（2023•西藏一模）下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中的值是　　 A．135 B．170 C．209 D．252 【答案】 【考点】规律型：数字的变化类 【专题】推理能力；规律型 【分析】根据表格找出方格中每个对应数字的表示规律然后求解． 【解答】解：根据表格可得规律： 第个表格中， 左上数字为， 左下数字为， 右上数字为， 右下数字为， ， 解得， ，，． 故选：． 【点评】本题考查数字的变化规律，解题关键是通过表格找出每个位置的数字表示方法． 19．（2024•西山区一模）按一定规律排列的一组多项式：，，，，，，它的第2024个多项式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】规律型：数字的变化类；多项式 【专题】推理能力；计算题 【分析】观察上述多项式，可得第个多项式：，即可计算出第2024个多项式． 【解答】解：按一定规律排列的一组多项式：，，，，，， 第个多项式：， 第2024个多项式是：， 故选：． 【点评】本题考查的是数字的变化规律和多项式，从题目中找出多项式间的变化规律是解题的关键． 20．（2022•天元区模拟）定义一种关于整数的“”运算： （1）当是奇数时，结果为； （2）当是偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取，第一次经运算是29，第二次经运算是92，第三次经运算是23，第四次经运算是74，；若，则第2020次运算结果是　　 A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】 【考点】有理数的混合运算；规律型：数字的变化类 【专题】实数；运算能力 【分析】根据关于整数的“”运算：探究规律后即可解决问题； 【解答】解：由题意时，第一次经运算是，第二次经运算是，第三次经运算是，第四次经运算是 以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1， 第2020次运算结果1， 故选：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，关于整数的“”运算，解题的关键是理解题意，循环从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题． 21．（2023春•九龙坡区校级期中）有依次排列的两个不为零的代数式、，用后一项与前一项作和，可以得到代数式，记作第1次操作，并得到代数式串为、；用第1次操作得到的代数式串的最后一项与前一项作差，得到代数式，记作第2次操作，并得到代数式串为、、、；用第2次操作得到的代数式串的最后一项与前一项作和，得到代数式，记作第3次操作，并得到代数式串为、、、、；；循环操作下去． 下列说法： ①第6次操作后得到的代数式串为、、、、、、、；②；③；④． 其中，正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【考点】规律型：数字的变化类；整式的加减 【专题】规律型；运算能力 【分析】根据定义规定的规律依次判断即可． 【解答】解：由题中规律可得，，，，． 故6次操作后代数式串为、、、、、、、，故①正确； 由规律得，， 中2022为偶数，故②不正确； 依规律推算得，，故③正确， 由规律得，， 即，，， ， ．故④正确； 故选：． 【点评】本题考查了数字规律的探究，新定义的理解并应用是解题关键． 22．如图，在2022个“〇”中依次填入一列数，，，，，使得其中任意四个相邻“〇”中，所填之数的和都等于21，已知，，则的值为　　 A． B．1 C． D．19 【答案】 【考点】规律型：数字的变化类 【专题】规律型；运算能力；数感 【分析】根据任意四个相邻“〇”中，所填数字之和都等于21，可以发现题目中数字的变化规律，从而可以求得的值，本题得以解决． 【解答】解：任意四个相邻“〇”中，所填数字之和都等于21， ，，，， ，，，， 同理可得，，，，， ，， ，， ，，，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出的值． 23．（2021•嘉善县一模）已知一列数，，，，具有如下规律：，是正整数）．若，则的值为　　 A．1 B．5 C．7 D．11 【答案】 【考点】规律型：数字的变化类 【专题】创新题型；能力层次 【分析】根据题干公式寻找规律． 【解答】解：由，是正整数）可得： ． 故选：． 【点评】考查数字变化规律，解题关键是根据题中规律拆项． 24．（2016秋•岱岳区期中）当分别取、、2012、、、、0、1、、、、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于　　．（温馨提示：注意寻找计算的突破口） 【考点】37：规律型：数字的变化类 【分析】设为负整数，将代入得：，将代入得：，故此可知当互为负倒数时，两分式的和为0，然后求得当时，分式的值即可． 【解答】解：设为负整数． 当时，分式的值，当时，分式的值， 当时与当时，两分式的和． 当的值互为负倒数时，两分式的和为0． 所得结果的和， 故答案为：． 【点评】本题主要考查的是分式的加减，发现当的值互为负倒数时，两分式的和为0是解题的关键． 25．（2018•伊金霍洛旗一模）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中与之间的关系式是　　． 【考点】37：规律型：数字的变化类 【分析】由题意可得各三角形中下边第三个数是上边两个数字的和，而上边第一个数的数字规律为：1，2，，，第二个数的数字规律为：2，，，，由此得出下边第三个数的数字规律为：，继而求得答案． 【解答】解：观察可知：各三角形中左边第一个数的数字规律为：1，2，，， 右边第二个数的数字规律为：2，，，， 下边第三个数的数字规律为：，，，， 最后一个三角形中与之间的关系式是． 故答案为． 【点评】此题考查了规律型：数字的变化类．注意根据题意找到规律是关键． 26．（2015秋•馆陶县期中）观察下面的每列数，按其规律在横线上填写适当的数，并说明理由． （1），，，　　，　 　． （2），，，，　 　，　 　． 【考点】37：规律型：数字的变化类 【分析】（1）观察不难发现，相邻的两个数，后面的数比前面的数大5，然后依次写出即可； （2）由已知发现分母依次为：，，，，；分子为：2，3，4，5，6，7；符号为“”，由此可知结果． 【解答】解：（1），，，，． 故答案为：，； （2）由已知发现分母依次为：，，，，； 分子为：2，3，4，5，6，7； 所以两个数依次为：，， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了数字的变化规律，发现分子分母及符号的变化规律是解答此题的关键． 27．（2018春•武侯区校级期中）如果记．如，（2），那么（1）（2）（3）　2017.5　． 【答案】2017.5 【考点】代数式求值；规律型：数字的变化类 【专题】运算能力；解题思想；推理能力；解题方法 【分析】根据条件可以计算出，，得到；同样，，得到；可以发现． 【解答】解：方法一（特殊到一般） 根据法则，可以进一步得到，，得到； 同样，，得到；． 所以原式． 方法二（规律） ， 所以原式． 故答案为：2017.5 【点评】本题是实际一道找规律的题目，注意题干中的提示，自变量是一对倒数．所以选择“一对倒数”去分别计算．发现每一对算式的结果等于1（定值）． 28．（2015秋•太和县期中）观察算式：；；；；，，根据以上规律：　　． 【考点】37：规律型：数字的变化类 【分析】观察算式可知：1个奇数1等于，从1开始两个连续奇数的和等于，三个连续奇数的和等于，四个连续奇数的和等于，五个连续奇数的和等于，，由此得出个连续奇数的和是，由此求得答案即可． 【解答】解：； ； ； ； ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查数字的变化规律，找出从1开始个连续奇数的和是，得出规律解决问题． 29．（2023•浠水县校级二模）观察数串的规律：，，，，，，，，，，，则第100个位置上排的数是　　． 【考点】规律型：数字的变化类 【专题】规律型 【分析】这串数规律是：分母为2的分数有1个，分母为3的分数有2个，，则分母为的分数有个． 【解答】解：，， 第100个位置上排的数的分母为：，分子为：9． 故第100个位置上排的数是． 故答案为：． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化．解题关键是确定第100个位置上的数的分母和分子． 30．（2024•合肥一模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：． 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　　； （2）写出你猜想的第个等式：　　（用含的等式表示），并证明． 【答案】（1）；（2）． 【考点】规律型：数字的变化类；列代数式 【专题】规律型；推理能力 【分析】按照所给的等式，逐项的探究规律，即可解答此题． 【解答】解：（1）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：． 第六个等式为：， 故答案为：； （2）第个等式为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了数字的变化规律，观察等式并找到规律是解题关键． 31．（2024春•于洪区期中）观察下列算式，探究并说明其中的规律： ，，，， （1）请你写出一个具有类似结构的算式 　　； （2）设满足上述规律的两个因数分别为，，，，且，，都是正整数）． ①正整数，满足的条件为 　　； ②用所学的整式乘法说明上述规律中方法的正确性； （3）请你用文字语言表达规律：　　． 【答案】（1）；答案不唯一；（2）①；②；证明过程见解析；（3）十位数字相同，个位数字的和等于10的两个两位数相乘，结果等于十位数字乘以比它大1的数字的积的100倍，再加上个位数字之积的和． 【考点】规律型：数字的变化类 【专题】规律型；应用意识 【分析】（1）观察已知算式：十位数字相同，个位数字的和等于10的两个两位数相乘，结果等于十位数字乘以比它大1的数字的积的100倍，再加上个位数字之积的和，即可得出答案； （2）①按照（1）中的规律可知； ②根据多项式乘多项式的运算法则即可得出答案； （3）按照（1）中的规律即可得出答案． 【解答】解：（1）观察已知算式：十位数字相同，个位数字的和等于10的两个两位数相乘，结果等于十位数字乘以比它大1的数字的积的100倍，再加上个位数字之积的和， ， 故答案为：． （2）①按照（1）中的规律可知． 故答案为：． ② （3）十位数字相同，个位数字的和等于10的两个两位数相乘，结果等于十位数字乘以比它大1的数字的积的100倍，再加上个位数字之积的和． 【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类，认真观察算式中存在的规律是解题的关键． 四．规律型：图形的变化类 32．（2024春•东光县期中）将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是　　 A．52 B．67 C．84 D．101 【答案】 【考点】规律型：图形的变化类 【专题】推理能力；规律型；猜想归纳 【分析】根据图形的变换规律，即可得到第⑨个图形中，棋子数量为，从而可得答案． 【解答】解：第①个图形中，棋子数量为； 第②个图形中，棋子数量为； 第③个图形中，棋子数量为； 以此类推， 第个图形中，棋子数量为； 第⑨个图形中共有棋子的颗数是， 故选：． 【点评】本题考查图形的变化规律问题，需要找出图形之间的联系，得出运算规律，再利用规律解决问题．解决问题的关键是得到第个图形中，棋子数量为． 33．（2021•北碚区校级模拟）汉字文化正在走进人们的日常消费生活．下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点依此规律则，图⑧中共有圆点的个数是　　 A．63 B．75 C．88 D．102 【答案】 【考点】规律型：图形的变化类 【专题】压轴题；规律型；猜想归纳；推理能力 【分析】观察并比较每两个相邻的“汉字”的相同与不同之处，得出每两个相邻的“汉字”中后一个“汉字”前半部分与前一个“汉字”的前半部分圆点数量相等，后一个“汉字”的后半部分的圆点数总是前一个“汉字”后半部分顶部加上图案序号多2个的圆点与底部添加两个圆点，进而解决该题． 【解答】解：在图①中，圆点个数为个． 在图②中，圆点个数为个． 在图③中，圆点个数为个． 在图④中，圆点个数为个． ． 以次类推，在图⑧中，圆点个数为 ． 故选：． 【点评】本题主要考查学生的观察与比较分析的能力，运用特殊到一般的数学思想解决此类规律题． 34．（2020•新野县三模）如图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分如图（1），画2条直线，最多能把白纸分成4部分如图（2），画3条直线，最多能把白纸分成7部分如图（3），当在一张白纸上画20条直线，最多能把白纸分成　　部分． A．190 B．191 C．210 D．211 【答案】 【考点】规律型：图形的变化类 【专题】运算能力；规律型 【分析】根据题意可得，；，；，；，，以上式子相加整理可得一般式，进而可得结果． 【解答】解：根据题意得： ，；，；，；，， 以上式子相加整理得，． 条直线最多能把白纸分为：部分． 故选：． 【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律． 35．（2021秋•罗定市期中）如图，在△中，，，，是、2、的中点，则△中最短边的长度为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】规律型：图形的变化类 【专题】规律型；数感；运算能力；推理能力 【分析】根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度，进而可得结论． 【解答】解：在△中，，，，是、2、的中点，可知： △中最短边的长度为， △中最短边的长度为， △中最短边的长度为， 所以△中最短边的长度为， 所以， 则△中最短边的长度为． 故选：． 【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． 36．（2021春•仙桃期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，都在轴正半轴上，点，，，，都在直线上，，△，△，△，，都是等边三角形，且，则点的横坐标是 　48　． 【答案】48． 【考点】规律型：图形的变化类 【专题】规律型；一次函数及其应用；运算能力 【分析】设△的边长为，根据直线的解析式得出，再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出，，从而得出，由点的坐标为，得到，，，，，，即可解决问题． 【解答】解：过作轴于，过作轴于，过作轴于，如图所示： 设△的边长为， 则， ， ， ， ， ，，，， ，，， 点，，，是直线上的第一象限内的点， ， ， 又△为等边三角形， ， ，， ， ， 点的坐标为， ，，，，， ， ， 点的横坐标为， 故答案为：48． 【点评】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、规律型、以及三角形外角的性质，解直角三角形等，解题的关键是找出规律． 37．（2022秋•城阳区校级月考）用同样大小的黑色棋子按如图表示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第100个图形需棋子 　301　枚． 【答案】301． 【考点】规律型：图形的变化类 【专题】数据分析观念；运算能力；规律型；计算题 【分析】认真观察给出的第一个图，第二个图，第三个图，试猜想第个图，找到与点数的关系，再按照这个规律求出第100个图所需棋子枚数． 【解答】解：第一个图，点数4， 第二个图，点数， 第三个图，点数， 猜想 第四个图，点数， 第五个图，点数， ． 第个图，点数， 第100个图形需棋子：（枚， 故答案为：301． 【点评】本题考查了图形变化，解题的关键是读懂题意，能发现变化中的规律，利用规律解决问题． 38．（2023•明水县模拟）根据如图所示的（1），（2），（3）三个图所表示的规律，依次下去第30个图中平行四边形的个数是 　2790　． 【答案】2790． 【考点】规律型：图形的变化类 【专题】规律型；推理能力 【分析】首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可． 【解答】解：第一个图中平行四边形的个数是个， 第二个图中平行四边形的个数是， 第三个图中平行四边形的个数是， 第个图中平行四边形的个数是， 因此第30个图中平行四边形的个数是个； 故答案为：2790． 【点评】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为，进一步解决问题． 39．（2021•西城区校级开学）现有一块圆形蛋糕，用刀把它竖着切开．用表示刀切下去出现的最多的蛋糕块数，2，3，．显然，1刀切下去蛋糕分为两块，记为（1）；2刀切下去蛋糕最多被分为4块，记为（2）；那么（3）　7　；与的等量关系为 　　；　　（用含的式子表示）． 【答案】7；；． 【考点】列代数式；规律型：图形的变化类 【专题】规律型；运算能力；数感 【分析】根据题意可得当切1刀时，块数为；当切2刀时，块数为；当切3刀时，块数为；当切4刀时，块数为；当切5刀时，块数为；，进而可得出切刀时所得的块数． 【解答】解：当切1刀时，块数为； 当切2刀时，块数为； 当切3刀时，块数为； 当切4刀时，块数为； 当切5刀时，块数为； 当切刀时，块数． 当切刀时，块数． 故答案为：7；；． 【点评】本题考查规律型：图形的变化类，列代数式，解决本题的关键是得到分成的最多平面数的规律． 40．（2015•青羊区模拟）用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第2015个图形需　12096　根火柴棒． 【考点】38：规律型：图形的变化类 【分析】由图可知：第一个图形用了12根火柴；即；第二个图形用了18根火柴；即；由此得出搭第个图形需根火柴．进一步代入求得答案即可． 【解答】解：搭第1个图形需12根火柴； 搭第2个图形需根； 搭第3个图形需根； 搭第个图形需根； 搭第2015个图形需根火柴棒． 故答案为：12096． 【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形的变化规律：后面的图形总比前面的图形多6根火柴棒，由此规律解决问题． 41．（2024•赤峰一模）用棋子摆成的“”字形图案，如图所示： （1）填写下表： 图案序号 1 2 3 4 每个图案中棋子的个数 5 8 （2）若某个“”字形图案的棋子的个数为2024个，求该“”字形图案的序号； （3）直接写出第20个“”字形图案共有棋子个数 　62个　并计算前20个“”字形图案中棋子的总个数． 【答案】（1）674； （2）62个；670个． 【考点】规律型：图形的变化类 【专题】运算能力；创新意识；规律型 【分析】（1）通过观察已知图形可得：每个图形都比其前一个图形多3枚棋子，得出规律为摆成第个图形需要个棋子，将2024代入解答即可； （2）将代入（2）中规律计算；由（2）中规律求解即可． 【解答】解：（1）首先观察图形，得到前面三个图形的具体个数， 因为第①个图案有5枚棋子， 第②个图案有枚棋子， 第③个图案有枚棋子， 依此规律可得第个图案需枚棋子． ， 解得：， 该“”字形图案的序号为674； （2）第20个“”字形图案共有棋子（个． 前20个“”字形图案中棋子的总个数为： （个． 故答案为：62个． 【点评】此题考查图形的变化规律，解答本题的关键是找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题． 42．（2024•瑶海区校级一模）春节期间，某单位在小广场上展出一批花卉，如图所示是这些花卉的排列图案，其中小黑点表示花卉．第①层需要1盆；第②层需要4盆；第③层需要7盆；第④层需要10盆；以此类推．按照以上规律，解决下列问题： （1）第⑤层需要花卉 　13　盆，五层共需要花卉 　　盆； （2）第层需要花卉 　　盆；（用含的代数式表示） （3）若将按此规律排列的图案中的4条射线，，，上的花卉全部换成盆景，当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有多少盆花卉？ 【答案】（1）13；35；（2）；（3）当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有150盆花卉． 【考点】列代数式；规律型：图形的变化类 【专题】规律型；运算能力 【分析】（1）根据花盆的数量规律进行解答即可； （2）根据已知给出的花盆数进行解答即可； （3）设当盆景共用去205盆时，该图案共有层，根据盆景总数为，求出，然后再求出结果即可． 【解答】解：（1）第①层需要1盆； 第②层需要盆； 第③层需要盆； 第④层需要盆； 第⑤层需要花卉盆， 五层共需要花卉（盆； 故答案为：13；35． （2）第①层需要1盆； 第②层需要盆； 第③层需要盆； 第④层需要盆； 第⑤层需要花卉盆， ， 第层需要花卉盆． 故答案为：． （3）设当盆景共用去205盆时，该图案共有层，此时共需盆景（盆， 由题意得：， 解得：． 当盆景共用去205盆时，该图案共有52层，（盆， 答：当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有150盆花卉． 【点评】本题主要考查了图形规律探索，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得出规律，列出方程． 五．整式的加减 43．（2023秋•无锡期中）如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，若要求出两个阴影部分周长的差，只要知道下列哪个图形的面积　　 A．正方形① B．正方形② C．正方形③ D．大长方形 【答案】 【考点】整式的加减 【专题】整式；运算能力 【分析】要求两个阴影部分周长的差，则需要从“代数”的角度解决此问题，故设，，正方形①的边长为，正方形②的边长为，正方形③的边长为．进而推断出以及，那么，两个阴影部分的周长之差为，所以只需要知道正方形②的边长，即知道正方形②的面积就可以知道两个阴影部分的周长． 【解答】解：如图， 设，，正方形①的边长为，正方形②的边长为，正方形③的边长为， ，，，，，，，， ， ， ， 只要知道正方形②的边长，就可以求出两个阴影部分周长的差． 只要知道正方形②的面积，就可求出两个阴影部分周长的差． 故选：． 【点评】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算是解决本题的关键． 44．（2023秋•北碚区校级期中）一个三位正整数，当的百位数字减去6等于十位数字减去个位数字时，我们称这个三位数是“吉利数”．记的百位数字为，十位数字为，个位数字为，并规定：．若是最小的“吉利数”，则　　；若有两个“吉利数” ，，其中，，且，则的最大值为 　　． 【答案】；1431． 【考点】列代数式；整式的加减 【专题】运算能力；整式 【分析】根据“吉利数”的定义可得出当时，最小；再根据定义可得出，，，，之间的关系，用，表达，，的，并由此表达，再根据“整数”的限制可得出，的值即可． 【解答】解：是最小的“吉利数”， 的百位数字为，十位数字为，个位数字为， ， 当，时，， 即的最小值为105， ； 有两个“吉利数” ，，其中，，且， ①；②；③， 由①②③可得，， ； ，， 分别将，代入上式，可得当，时，的值为整数， 当，时，的值为整数，此时，舍； 的最大值为1431； 故答案为：；1431． 【点评】此题为新定义题型，根据题干中所给的新定义及运算规则来完成相关计算．该类题型主要考查学生对新知识的接受和应用能力． 45．（2024春•南岗区校级期中）某同学做一道题，已知两个多项式、，求的值．他误将“”看成“”，经过正确计算得到的结果是，其中． （1）请你帮助这位同学求出正确的结果； （2）若是最大的负整数，求的值． 【答案】（1）；（2）14． 【考点】有理数；整式的加减 【专题】运算能力；整式 【分析】（1）根据题意，求出代数式即可； （2）先求出代数式，根据题意，则求出的值，把代入，即可． 【解答】解：（1），， ， ． （2），， ， 是最大的负整数， ， ． 【点评】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式的运算即可． 46．（2024春•沙坪坝区校级月考）已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设． （1）用、、的代数式表示； （2）当的长度变化时，如果始终保持不变，则、应满足的关系是什么？ （3）在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值． 【答案】（1）； （2）； （3）时，大正方形面积最小，此时边长为． 【考点】整式的加减；列代数式 【专题】运算能力；整式 【分析】（1）先用、、分别表示出阴影部分的长和宽，进而分别表示出阴影的面积，然后作差求解即可； （2）根据差与无关可知代数式的值与无关，即可求出、的关系； （3）根据题意可得出拼得的正方形的面积为，根据正方形的面积可知，是完全平方数，结合为正整数即可得出答案． 【解答】解：（1）记长方形的面积为，六边形的面积为， 则，，，， ，， ， ， ， 即：； （2）由（1）可知，， 当的长度变化时，要使得始终保持不变，即上面代数式的值与无关， ，即、满足的关系是：． （3）拼成的大正方形的面积为：10张边长为，宽为的矩形的面积张边长为的正方形的面积张边长为的正方形的面积， 拼成的大正方形的面积为：， ， ， 是边长的平方， 是完全平方数，而为正整数， 当时，， 当取更大的完全平方数时，正方形的面积也变大， 故时，大正方形面积最小，此时面积为，则边长为． 【点评】本题考查列代数式、整式的混合运算以及几何应用、算术平方根，理解题意，正确列出代数式，以及能得出是完全平方数是解答的关键． 47．（2024•裕华区校级二模）定义：，，为实数，若，则称与是关于的对称数． （1）2与4是关于 　3　的对称数，与 　　是关于3的对称数； （2）若，，且与是关于的对称数，试求出的值． 【答案】（1）3；； （2）． 【考点】整式的加减 【专题】新定义；运算能力；整式 【分析】（1）根据对称数的定义进行求解即可； （2）根据对称数的定义进行求解即可． 【解答】解：（1），， 与4是关于3的对称数； 由题意得： ， 与是关于3的对称数； 故答案为：3；； （2），，且与是关于的对称数， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查整式的加减，新定义，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 六．整式的加减—化简求值 48．（2023秋•台州期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1． 【考点】整式的加减—化简求值 【专题】整式；运算能力 【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再将已知数据代入求出答案即可． 【解答】解： ， 当，时，原式． 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再将已知数据代入求出答案是解题关键． 49．（2023秋•北流市期末）我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”． （1）下列数对中，是“和积等数对”的是　 　①③　；（填序号） ①； ②，； ③，． （2）若是“和积等数对”，求的值； （3）若是“和积等数对”，求代数式的值． 【考点】整式的加减—化简求值 【专题】计算题；新定义；运算能力 【分析】（1）根据“和积等数对”的定义即可得到结论； （2）根据“和积等数对”的定义列方程即可得到结论； （3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【解答】解：（1）， 数对是“和积等数对”， ， ，不是“和积等数对”， ， 数对，是“和积等数对”， 故答案为：①③； （2）是“和积等数对”， ， 解得：； （3） ， 是“和积等数对” ， 原式 ． 【点评】本题属于新定义内容，考查解一元一次方程，整式的加减—化简求值，理解“积差等数对”的定义，掌握解一元一次方程的步骤以及合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键． 50．（2023秋•临海市期末）先化简，再求值；，其中． 【答案】，． 【考点】整式的加减—化简求值 【专题】运算能力；整式 【分析】先去括号，再合并同类项，最后将代入进行计算即可． 【解答】解：， 当时，原式． 【点评】本题考查了整式加减的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$