第2章 有理数及其运算 中档题拓展训练 2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第2章 有理数及其运算 中档题拓展训练【13个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学七年级上册 考点梳理 一．正数和负数 二．数轴 三．相反数 四．绝对值 五．非负数的性质：绝对值 六．有理数大小比较 七．有理数的加法 八．有理数的加减混合运算 九．有理数的乘法 一十．非负数的性质：偶次方 一十一．有理数的混合运算 一十二．近似数和有效数字 一十三．科学记数法—表示较大的数 考点精讲精练 一．正数和负数 · 正数和负数 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． · 有理数 1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数． 2、有理数的分类： ①按整数、分数的关系分类：有理数； ②按正数、负数与0的关系分类：有理数． 注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 1．（2024•邗江区二模）下列各数中，是负数的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•杨浦区期中）下列说法不正确的是　　 A．0既不是正数也不是负数 B．任何有理数都有倒数 C．任何有理数都有相反数 D．负数的绝对值是它的相反数 3．（2024•祥符区一模）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作元，那么亏损30元，记作　　 A．元 B．元 C．元 D．元 4．（2024春•上海期中）若李明家里去年收入3万元，记作万元，则去年支出2万元，记作 　　万元． 5．（2023秋•武义县期末）佛手是金华市一大特产，现有10筐佛手，以每筐10千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 0.3 筐数 1 2 4 3 （1）这10筐佛手中，与标准质量差值为0.15千克的有 　　筐，最重的一筐重 　　千克． （2）若佛手每千克售价45元，则出售这10筐佛手总收入多少元？ 二．数轴 · 数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 6．（2024•宽城区一模）如图，比数轴上点表示的数大2的数是　　 A． B．0 C．1 D．2 7．（2024•龙湾区二模）如图，与数轴上点表示的数相加，和为零的数是　　 A． B．0 C．1 D．2 8．（2024•庐江县二模）如图，直径为1的圆上有一点，且点与数轴上表示的点重合，将这个圆在数轴上无滑动的滚动，当点再次与数轴上的某个点重合，那么这个点的位置可能是　　 A．3与4之间 B．6与7之间 C．与之间 D．与之间 9．（2024•市中区一模）如图，数轴上的单位长度为1，有三个点，，．若，两点表示的数互为相反数，则图中点表示的数是　　 A．2 B．1 C． D． 10．（2024春•思明区校级期中）如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是　　 A． B． C． D． 11．（2024•周村区一模）若点在数轴上表示的数是3，将点向左平移7个单位长度，正好与点重合，则点表示的数是 　　． 12．（2023秋•金牛区期末）数轴上两个点之间的距离是5，其中一个点表示的数为3，则另一个点表示的数为 　　． 13．（2023秋•沭阳县期末）数在数轴上的位置如图，则　　． 14．（2024春•馆陶县期中）在数轴上表示1，的两个点的位置如图所示，请写出一个符合条件的的值 　　． 15．（2023秋•思明区校级期末）数轴上三点，，分别表示，，，若点在数轴上，且，满足条件的点表示的数是 　　． 16．（2024•雁塔区模拟）如图，数轴上点所表示的数的倒数为 　　． 17．（2023秋•九江期末）数轴上两点、，在左边，原点是线段上的一点，已知，且．点、对应的数分别是、，点为数轴上的一动点，其对应的数为． （1）　　，　　； （2）若，求的值； （3）若点以每秒2个单位长度的速度从原点向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．请间在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 18．（2023秋•紫金县期末）已知数轴上，，三点对应的数分别为、3、5，点为数轴上任意一点，其对应的数为．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． （1）若，则　　； （2）若，求的值； （3）若点从点出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点以每秒1个单位的速度向左运动，点以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为秒，试判断：的值是否会随着的变化而变化？请说明理由． 19．（2023秋•唐河县期末）一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司．一快递小哥骑三轮摩托车从公司出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表（我们约定向东为正，向西为负，单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司的哪个方向上？距离公司多少千米？ （2）在第 　　次记录时快递小哥距公司地最远； （3）如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，那么快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费多少元？ 三．相反数 · 相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 20．（2024春•北京期中）的相反数是　　 A． B． C． D． 21．（2024•浙江模拟）　　 A． B．2024 C． D． 四．绝对值 · 绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 22．（2024•渠县校级模拟）的绝对值是　　 A．— B． C． D．2024 23．（2023秋•锦江区校级期末）有理数、、在数轴上的位置如图，则的化简结果为 　　． 五．非负数的性质：绝对值 · 非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 24．（2024•道里区校级开学）已知，求的值． 六．有理数大小比较 · 有理数大小比较 （1）有理数的大小比较 比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小． （2）有理数大小比较的法则： ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【规律方法】有理数大小比较的三种方法 1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 3．作差比较： 若a﹣b＞0，则a＞b； 若a﹣b＜0，则a＜b； 若a﹣b＝0，则a＝b． 25．（2024•南昌一模）下列各数中，最大的数是　　 A． B．0 C．2 D．4 26．（2023秋•高港区期末）有理数、在数轴上的位置如图所示，则 　　0（填“”或“”或“” ． 27．（2023秋•桑植县期末）如图所示数轴，则数，，，中最小的是 　　． 28．（2023秋•历下区期末）比较下列两数的大小：　　．（填“”、“ ”或“” 七．有理数的加法 · 有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 29．（2023秋•双流区期末）若，，且，那么的值是 　　． 30．（2023秋•大荔县期末）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若到的距离刚好是3，则点叫做的“幸福点”；若到、的距离之和为6，则叫做和的“幸福中心”． （1）若点表示的数为，则的幸福点所表示的数应该是 　　； （2）如图，、为数轴上两点，点所表示的数为4，点所表示的数为，若点就是和的幸福中心，则所表示的所有数中，整数之和是多少？ 八．有理数的加减混合运算 · 有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 31．（2024春•汉阳区期中）如图，将半径为1的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则线段的中点表示的数是　　 A． B． C． D． 32．（2024•西城区校级一模）小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高6分，第三次比第二次低10分，第四次又比第三次高12分．那么这四次测验的平均成绩是 A．90分 B．85分 C．87.5分 D．81分 33．（2024•河北一模）某仓库5月份前6天，每天粮食相对于前一天（单位：袋）变化如图，增加粮食记作“”，减少粮食记作“”． （1）通过计算说明前6天，仓库粮食总共的变化情况； （2）在号中，如果前四天的仓库粮食变化情况是后三天变化精况的一半，求7号这天仓库粮食变化情况． 九．有理数的乘法 34．（2024•西安模拟）计算的结果是　　 A． B．2 C． D． 一十．非负数的性质：偶次方 · 非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 35．若，则　　． 一十一．有理数的混合运算 · 有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 36．（2023秋•坡头区期末）在应用有理数减法法则计算时，其中需要把“”变成“”的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 37．（2023秋•武义县期末）已知算式4□的值为0，则“□”内应填入的运算符号为　　 A． B． C． D． 38．（2024•镇海区校级二模）对于整数，，定义一种新的运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．已知，其中是负数，则　　 A． B． C． D． 39．（2023秋•双流区期末）定义一种新的运算：如果，则有▲，那么2▲的值是 　　． 40．（2023秋•东阳市期末）计算： （1）； （2）． 41．（2023秋•卫辉市期末）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 42．（2024春•道里区校级月考）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 43．（2023秋•新吴区期末）计算： （1）； （2）． 44．（2023秋•锡山区期末）在数轴上，把原点记作点，表示数的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点、点重合），将线段与线段的长度之比定义为点关于点的值，记作，即，例如：点表示的数为1，点表示的数为3，因为，，所以． （1）当点是线段的中点时，点关于点的值　　； （2）若点表示的数为，点表示的数为，，求点关于点的值； （3）点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数，点表示的数为，点、点分别表示数、，若，，，请直接写出、需满足条件：　　． 45．（2024春•南岗区校级期中）计算题： （1）； （2）； （3）； （4）． 46．（2024春•沭阳县期中）定义一种新运算“★”： 1★； 3★； 观察上述各式的运算方法，解答下列问题： （1）请按照以上新运算“★”的运算方法，写出★的运算表达式； （2）若★，求的值． 47．（2024•广西模拟）计算： 一十二．近似数和有效数字 · 近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 48．（2024春•庐阳区校级期中）对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则．如：，． （1）如果，则的取值范围为 　　； （2）如果，则　　． 一十三．科学记数法—表示较大的数 · 科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 49．（2024•常州模拟）常州作为新崛起的新能源之都，澎湃起势年常州新能源产业产值超7600亿元，整车产量近68万辆，投资热度全国第一．数字7600用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 50．（2024•本溪二模）辽宁地处松辽平原，在北纬38度到43度的黄金农业纬度带上，是全国13个粮食主产省之一．去年的粮食总产量达到51270000000斤，创历史新高．将数据51270000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 第2章 有理数及其运算 中档题拓展训练【13个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学七年级上册 参考答案与试题解析 考点梳理 一．正数和负数 二．数轴 三．相反数 四．绝对值 五．非负数的性质：绝对值 六．有理数大小比较 七．有理数的加法 八．有理数的加减混合运算 九．有理数的乘法 一十．非负数的性质：偶次方 一十一．有理数的混合运算 一十二．近似数和有效数字 一十三．科学记数法—表示较大的数 考点精讲精练 一．正数和负数 1．（2024•邗江区二模）下列各数中，是负数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】绝对值；相反数；正数和负数 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：．，是正数； ．，是正数； ．，是负数； ．，是正数． 故选：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 2．（2024春•杨浦区期中）下列说法不正确的是　　 A．0既不是正数也不是负数 B．任何有理数都有倒数 C．任何有理数都有相反数 D．负数的绝对值是它的相反数 【答案】 【考点】倒数；绝对值；相反数；正数和负数 【专题】实数 【分析】．根据正数和负数的概念进行判断； ．0没有倒数； ．根据相反数的概念进行判断； ．根据负数的绝对值的概念进行判断． 【解答】解：．0既不是正数也不是负数，故不符合题意； ．0没有倒数，故符合题意； ．任何有理数都有相反数，故不符合题意； ．负数的绝对值是它的相反数，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了正数和负数，相反数、绝对值，倒数，掌握0没有倒数是解题的关键． 3．（2024•祥符区一模）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作元，那么亏损30元，记作　　 A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】 【考点】正数和负数 【专题】实数；推理能力 【分析】根据正负数来表示相反意义，盈利50元，记作：元，亏损30元，则记作；元即可求解． 【解答】解：盈利50元，记作：元， 亏损30元，记作：元． 故选：． 【点评】本题考查正负数的意义，解题的关键是掌握正负数的意义的运用． 4．（2024春•上海期中）若李明家里去年收入3万元，记作万元，则去年支出2万元，记作 　　万元． 【答案】 【考点】正数和负数 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若李明家里去年收入3万元，记作万元，则去年支出2万元，记作万元． 故答案为： 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 5．（2023秋•武义县期末）佛手是金华市一大特产，现有10筐佛手，以每筐10千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 0.3 筐数 1 2 4 3 （1）这10筐佛手中，与标准质量差值为0.15千克的有 　2　筐，最重的一筐重 　　千克． （2）若佛手每千克售价45元，则出售这10筐佛手总收入多少元？ 【答案】（1）2；10.3； （2）共收入4518元． 【考点】正数和负数 【专题】运算能力 【分析】（1）根据表格及题意可直接进行解答； （2）先求出这10筐佛手的总质量，然后再进行求解即可． 【解答】解：（1）这10筐佛手中，与标准质量差值为0.15千克的有2筐，最重的一筐重千克， 故答案为：2，10.3； （2） （元； 答：共收入4518元． 【点评】本题主要考查有理数混合运算的应用，熟练掌握有理数混合运算的应用是解题的关键． 二．数轴 6．（2024•宽城区一模）如图，比数轴上点表示的数大2的数是　　 A． B．0 C．1 D．2 【答案】 【考点】数轴；有理数的加法 【专题】几何直观；实数 【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解． 【解答】解：由数轴可知点表示的数是，所以比大2的数是； 故选：． 【点评】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键． 7．（2024•龙湾区二模）如图，与数轴上点表示的数相加，和为零的数是　　 A． B．0 C．1 D．2 【答案】 【考点】有理数；相反数；数轴 【专题】实数；符号意识 【分析】互为相反数的两个数之和为0． 【解答】解：由题给数轴可知，点表示的数是，互为相反数的两个数之和为零，因此，与数轴上点表示的数相加，和为零的数是2， 故选：． 【点评】本题主要考查了有理数的加法，题目难度不大，掌握数轴上数的表示和互为相反数的两个数之和为零是解答该题的关键． 8．（2024•庐江县二模）如图，直径为1的圆上有一点，且点与数轴上表示的点重合，将这个圆在数轴上无滑动的滚动，当点再次与数轴上的某个点重合，那么这个点的位置可能是　　 A．3与4之间 B．6与7之间 C．与之间 D．与之间 【答案】 【考点】数轴 【专题】实数；运算能力 【分析】直接求出圆的周长，进而利用点位置得出答案． 【解答】解：该圆在数轴上无滑动的滚动，滚动一周行进的距离为圆的周长（前进或者后退的距离），该圆的直径为1，周长为，所以点再次与数轴上的点重合，可能是或，分别为2.14或 取3、，位于2和3 或和之间， 故选：． 【点评】本题主要考查了数轴，正确得出圆的周长是解题的关键． 9．（2024•市中区一模）如图，数轴上的单位长度为1，有三个点，，．若，两点表示的数互为相反数，则图中点表示的数是　　 A．2 B．1 C． D． 【答案】 【考点】数轴；相反数 【专题】数形结合；推理能力 【分析】根据相反数的概念可知它们到原点的距离相等且在原点两侧，从而可以确定点对应的数，再由在的左侧且到的距离为两个单位长度，从而可以确定表示的数． 【解答】解：，两点表示的数互为相反数，且，两点之间的距离为4，点在点的左侧， 点表示的为， 又在的左侧两个单位， 点表示的数为． 故选：． 【点评】此题主要考查的是相反数的概念以及数轴上点的表示，解决此题的关键是理解相反数的概念，同时理解数轴上左边的数小在右边的数大． 10．（2024春•思明区校级期中）如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】数轴 【专题】推理能力；平面直角坐标系；几何直观 【分析】利用数轴的特征和圆的周长公式解答即可． 【解答】解：直径为单位1的圆的周长为，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点， 点表示的数是． 故选：． 【点评】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴上的点的特征是解题的关键． 11．（2024•周村区一模）若点在数轴上表示的数是3，将点向左平移7个单位长度，正好与点重合，则点表示的数是 　　． 【答案】． 【考点】数轴 【专题】作图题；数据分析观念 【分析】在数轴上找出点，向左平移7个单位长度，到达点，可得点表示的数． 【解答】解：将点向左平移7个单位长度，如图所示， ， 点表示的数是， 故答案为：． 【点评】本题考查了数轴，关键是借助数轴找到点表示的数． 12．（2023秋•金牛区期末）数轴上两个点之间的距离是5，其中一个点表示的数为3，则另一个点表示的数为 　8或　． 【答案】8或． 【考点】数轴 【专题】计算题；数感 【分析】设未知数为，由题意列出代数式求解即可，注意多解问题． 【解答】解：设另一个点表示的数为． 由题意得． ． 或． 故答案为：8或． 【点评】该题一题多解，好题！ 13．（2023秋•沭阳县期末）数在数轴上的位置如图，则　　． 【答案】． 【考点】绝对值；数轴 【专题】运算能力 【分析】根据数轴上的点与实数的一一对应关系得到，然后利用绝对值的意义即可求解． 【解答】解：， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是明确绝对值的意义以及数轴上的点与实数的一一对应关系． 14．（2024春•馆陶县期中）在数轴上表示1，的两个点的位置如图所示，请写出一个符合条件的的值 　0　． 【答案】0（答案不唯一，只需即可）． 【考点】数轴 【分析】根据数轴上在1的右边进行解答即可． 【解答】解：在1的右边， ， ， 故答案可以为：0（答案不唯一，只需即可）． 【点评】本题考查数轴上点的性质． 15．（2023秋•思明区校级期末）数轴上三点，，分别表示，，，若点在数轴上，且，满足条件的点表示的数是 　或9　． 【答案】或9． 【考点】数轴 【专题】实数；运算能力 【分析】设点表示的数为，根据数轴上两点间的距离公式得，，，则，再分，，，四种情况分别对方程去绝对值符号，求解即可． 【解答】解：设点表示的数为， 则，，， 由，得， ①当时， 则， 解得：（舍去）； ②当时， 则， 解得：； ③当时， 则， 解得：（舍去）； ④当时， 则， 解得：． 综上，或9，即点表示的数是或9． 故答案为：或9． 【点评】本题主要考查数轴上两点间的距离公式、解含绝对值的一元一次方程，学会利用分类讨论思想解一元一次方程是解题关键． 16．（2024•雁塔区模拟）如图，数轴上点所表示的数的倒数为 　　． 【答案】． 【考点】倒数；数轴 【专题】计算题；运算能力 【分析】如图，数轴上点所表示的数为，可得其倒数． 【解答】解：如图，数轴上点所表示的数为， 数轴上点所表示的数的倒数为， 故答案为：． 【点评】本题考查了数轴、倒数，关键是掌握倒数的定义． 17．（2023秋•九江期末）数轴上两点、，在左边，原点是线段上的一点，已知，且．点、对应的数分别是、，点为数轴上的一动点，其对应的数为． （1）　　，　　； （2）若，求的值； （3）若点以每秒2个单位长度的速度从原点向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．请间在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1），3； （2）的值为 或7； （3）的值为定值，不随时间变化而变化． 【考点】数轴 【分析】（1）根据，且，求出和即可解答； （2）分三种情况分析，当点在点左侧时，当点位于、两点之间时，当点位于点右侧时，依次令，即可解答； （3）表示出秒后的各点，再计算，得出固定结果，即可说明． 【解答】（1），且， ，， ，， 故答案为：，3； （2）①当点在点左侧时，，不合题意，舍去． ②当点位于、两点之间时， 因为， 所以， 所以． ③当点位于点右侧时， 因为， 所以， 所以． 故的值为 或7． （3）秒后，点的值为，点的值为，点的值为， 所以 ． 所以的值为定值，不随时间变化而变化． 【点评】本题考查了数轴，线段的和差关系及动点的应用是解题关键． 18．（2023秋•紫金县期末）已知数轴上，，三点对应的数分别为、3、5，点为数轴上任意一点，其对应的数为．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． （1）若，则　1　； （2）若，求的值； （3）若点从点出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点以每秒1个单位的速度向左运动，点以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为秒，试判断：的值是否会随着的变化而变化？请说明理由． 【考点】数轴 【专题】数形结合；分类讨论；实数；数据分析观念；运算能力 【分析】（1）观察数轴，可得答案； （2）根据点在点左侧或点在点右侧，分别列式求解即可； （3）分别用含的式子表示出和，再计算，即可得答案． 【解答】解：（1）由数轴可得：若，则； 故答案为：1； （2）， 若点在点左侧，则， ， 若点在点右侧，则， ， 的值为或5． （3）， ， ， 的值不会随着的变化而变化． 【点评】本题考查了数轴在有理数加减运算中的简单应用，数形结合及分类讨论是解题的关键． 19．（2023秋•唐河县期末）一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司．一快递小哥骑三轮摩托车从公司出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表（我们约定向东为正，向西为负，单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司的哪个方向上？距离公司多少千米？ （2）在第 　五　次记录时快递小哥距公司地最远； （3）如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，那么快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费多少元？ 【答案】（1）最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司的西边，距离公司3千米； （2）五； （3）快递小哥工作一天需要花汽油费25.92元． 【考点】数轴；正数和负数 【专题】数感；实数 【分析】（1）利用有理数的加减法，求七个数的和，得出的数是正数，表示在公司东，是负数，就在公司西； （2）从第一个数开始，绝对值最大的就是最远距离； （3）首先算出走过的路，即各数的绝对值的和，乘以每千米耗油量，再乘以单价即可． 【解答】解：（1）（千米）， 答：最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司的西边，距离公司3千米； （2）（千米）（千米），（千米），（千米），（千米），（千米），（千米）， 第五次快递小哥距公司最远． 故答案为：五； （3）（千米），（升，（元， 答：快递小哥工作一天需要花汽油费25.92元． 【点评】本题考查的是绝对值的性质，有理数的加减和乘法，大小比较等知识，关键就是要求学生对有理数相关知识的要熟练掌握． 三．相反数 20．（2024春•北京期中）的相反数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】相反数 【专题】二次根式；运算能力 【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，实数的性质求解即可． 【解答】解：的相反数是； 故选：． 【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键． 21．（2024•浙江模拟）　　 A． B．2024 C． D． 【答案】 【考点】相反数 【专题】运算能力 【分析】根据“负负得正”即可得到答案． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题主要考查化简多重符号，熟练掌握“负负得正”是解题的关键． 四．绝对值 22．（2024•渠县校级模拟）的绝对值是　　 A．— B． C． D．2024 【答案】 【考点】绝对值 【专题】实数；数感 【分析】根据绝对值的意义解答即可． 【解答】解：的绝对值是2024， 故选：． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握一个负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 23．（2023秋•锦江区校级期末）有理数、、在数轴上的位置如图，则的化简结果为 　　． 【答案】． 【考点】数轴；绝对值 【专题】运算能力；实数；几何直观 【分析】在原点的左侧，并且比离原点的距离远，因此．的绝对值大于的绝对值，的相反数是正的，因此，，，所以根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数得，，，去括号合并同类项得出结果． 【解答】解：由数轴可得， ，， ，，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了数轴，绝对值，去括号和合并同类项有关知识，是一道综合性强的题目． 五．非负数的性质：绝对值 24．（2024•道里区校级开学）已知，求的值． 【考点】非负数的性质：绝对值 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：， ，， ，， ， 故答案为：2． 【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0． 六．有理数大小比较 25．（2024•南昌一模）下列各数中，最大的数是　　 A． B．0 C．2 D．4 【答案】 【考点】有理数大小比较 【专题】数感；实数 【分析】根据负数小于零，正数大于零，正数大于负数解答即可． 【解答】解：负数小于零，正数大于零，正数大于负数，， 最大， 故选：． 【点评】本题考查了实数的大小比较，学生要牢记正负数的概念及大小比较即可求出本题答案． 26．（2023秋•高港区期末）有理数、在数轴上的位置如图所示，则 　　0（填“”或“”或“” ． 【答案】． 【考点】有理数大小比较；数轴 【专题】数感；实数 【分析】先判断与的绝对值的大小关系，再根据有理数加法运算法则即可求解． 【解答】解：由数轴可知，且， ， 故答案为：． 【点评】本题考查利用数轴判断式子的正负，以及有理数的加法运算，熟练掌握数轴的表示方法是关键． 27．（2023秋•桑植县期末）如图所示数轴，则数，，，中最小的是 　　． 【答案】． 【考点】数轴；有理数大小比较 【专题】推理能力；实数 【分析】根据，在数轴上的位置确定，的符号及它们的绝对值即可得出答案． 【解答】解：由图可知，且， ， 最小的是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查实数的大小比较，关键是要能根据，在数轴上的位置确定出，在数轴上的位置． 28．（2023秋•历下区期末）比较下列两数的大小：　　．（填“”、“ ”或“” 【答案】． 【考点】有理数大小比较 【专题】实数；数感 【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小．即可解答． 【解答】解：因为， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数大小比较，解决本题的关键是掌握有理数大小比较的法则． 七．有理数的加法 29．（2023秋•双流区期末）若，，且，那么的值是 　3或1　． 【答案】3或1． 【考点】有理数的加法；绝对值 【专题】运算能力；实数 【分析】先根据已知条件和绝对值的性质，求出，，再根据，对，的值进行取舍，然后把符合条件的，值代入，进行计算即可． 【解答】解：，， ，， ， ，， 当，时，； 当，时，； 的值为3或1， 故答案为：3或1． 【点评】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和有理数的加法法则． 30．（2023秋•大荔县期末）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若到的距离刚好是3，则点叫做的“幸福点”；若到、的距离之和为6，则叫做和的“幸福中心”． （1）若点表示的数为，则的幸福点所表示的数应该是 　或1　； （2）如图，、为数轴上两点，点所表示的数为4，点所表示的数为，若点就是和的幸福中心，则所表示的所有数中，整数之和是多少？ 【答案】（1）和1．（2）7． 【考点】数轴；有理数的加法 【专题】运算能力；实数 【分析】（1）根据“幸福点”定义可得的幸福点所表示的数即可； （2）根据题意列出绝对值方程，分类讨论符合条件的值，最后相加即可． 【解答】解：（1）根据幸福点的定义可知：的幸福点所表示的数应该是：和1； 故答案为：和1． （2）设点表示的数为，由题意得：丨丨丨丨， 丨丨丨丨， 当时，丨丨丨丨，不符合题意； 当时，丨丨丨丨，符合题意； 当时，丨丨丨丨，不符合题意； 当时，丨丨丨丨，若点就是和的幸福中心，则所表示的所有数中整数有：，，0，1，2，3，4． 满足条件的整数之和为：． 【点评】本题考查了有理数的加法，分类讨论是解答本题的关键． 八．有理数的加减混合运算 31．（2024春•汉阳区期中）如图，将半径为1的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则线段的中点表示的数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】有理数的加减混合运算；数轴 【专题】实数；运算能力 【分析】根据圆的周长就是线段长，再依据数轴上两点间距离公式求出中点表示的数即可． 【解答】解：圆的周长为，即， 中点表示的数为：． 故选：． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握圆的周长计算是关键． 32．（2024•西城区校级一模）小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高6分，第三次比第二次低10分，第四次又比第三次高12分．那么这四次测验的平均成绩是 A．90分 B．85分 C．87.5分 D．81分 【答案】 【考点】有理数的加减混合运算 【专题】一次方程（组及应用；运算能力 【分析】分别计算得到每次测验的成绩，再计算四次测验的平均成绩即可． 【解答】解：第一次8（5分）， 第二次（分， 第三次（分， 第四次（分， 这四次测验的平均成绩是（分． 故选：． 【点评】本题考查了有理数的加减的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键． 33．（2024•河北一模）某仓库5月份前6天，每天粮食相对于前一天（单位：袋）变化如图，增加粮食记作“”，减少粮食记作“”． （1）通过计算说明前6天，仓库粮食总共的变化情况； （2）在号中，如果前四天的仓库粮食变化情况是后三天变化精况的一半，求7号这天仓库粮食变化情况． 【答案】（1）前6天，仓库粮食减少7袋； （2）7号粮食减少2袋． 【考点】有理数的加减混合运算；正数和负数 【专题】计算题；运算能力 【分析】（1）由题意得，，计算可得； （2）设7号粮食变化袋，由题意得，，解得的值即为7号这天仓库粮食变化情况． 【解答】解：（1） 答：前6天，仓库粮食减少7袋； （2）设7号粮食变化袋，由题意得， ， 解得： 答：7号粮食减少2袋． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，关键是根据题意正确列式计算． 九．有理数的乘法 34．（2024•西安模拟）计算的结果是　　 A． B．2 C． D． 【答案】 【考点】有理数的乘法 【专题】运算能力；实数 【分析】根据有理数乘法运算法则计算即可． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数乘法运算法则是关键． 一十．非负数的性质：偶次方 35．若，则　9　． 【考点】16：非负数的性质：绝对值；：非负数的性质：偶次方 【专题】11：计算题 【分析】根据非负数的性质可求出、的值，再将它们代入中求解即可． 【解答】解：、满足，，；，；则． 故答案为：9． 【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 一十一．有理数的混合运算 36．（2023秋•坡头区期末）在应用有理数减法法则计算时，其中需要把“”变成“”的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】 【考点】有理数的混合运算 【专题】实数；运算能力 【分析】根据有理数的减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数即可求得． 【解答】解：， 需要把“”变成“”的号的是②③． 故选：． 【点评】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数减法运算法则是关键． 37．（2023秋•武义县期末）已知算式4□的值为0，则“□”内应填入的运算符号为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】有理数的混合运算 【专题】运算能力；实数 【分析】利用有理数的运算法则，逐一计算后，判断即可． 【解答】解：、，符合题意； 、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数加减混合运算法则是关键． 38．（2024•镇海区校级二模）对于整数，，定义一种新的运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．已知，其中是负数，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】有理数的混合运算 【专题】计算题；新定义；运算能力 【分析】先判断的奇偶性，列式计算结果为是偶数，求转化为求，将的取值分情况讨论，再结合，确定的取值． 【解答】解：一定为偶数， 是偶数， ①当为奇数时， ， 是负数， 为负奇数， ， ， 解得，舍去； ②当为偶数时， ， 是负数， 为负偶数， ， ， 解得，符合题意． 的值为． 故选：． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，对相应的运算法则的掌握． 39．（2023秋•双流区期末）定义一种新的运算：如果，则有▲，那么2▲的值是 　　． 【答案】． 【考点】有理数的混合运算 【专题】运算能力；实数 【分析】根据题中给出的新定义的运算法则直接运算即可． 【解答】解：▲， ▲， 故答案为：． 【点评】本题考查了新定义下的运算，按照题中给出的新定义的运算法则正确计算是解答本题的关键． 40．（2023秋•东阳市期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6；（2）32． 【考点】有理数的混合运算 【专题】实数；运算能力 【分析】（1）先将有理数的减法转化为加法，再根据有理数加法交换律和结合律简便计算即可； （2）先算乘方，运用乘法分配律计算括号内，然后根据有理数的加减法计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 41．（2023秋•卫辉市期末）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）2；（3）；（4）． 【考点】有理数的混合运算 【专题】运算能力；计算题 【分析】（1）运用乘法分配律对小括号里面的进行简便计算； （2）先算乘方和小括号里面的，再按有理数混合运算的运算顺序进行计算即可； （3）先算乘方和括号里面的，再按有理数混合运算的运算顺序进行计算即可； （4）先对乘方和绝对值进行计算，再用乘法分配律对小括号里面的进行简便计算，最后按有理数混合运算的运算顺序进行计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是能简算的要用简便方法进行计算． 42．（2024春•道里区校级月考）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）12；（2）；（3）；（4）8． 【考点】有理数的混合运算 【专题】运算能力；实数 【分析】（1）根据有理数的加法解答； （2）根据有理数的减法解答； （3）根据有理数的乘除法运算法则解答； （4）根据有理数的乘方，有理数的乘除法解答． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 43．（2023秋•新吴区期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）5；（2）． 【考点】有理数的混合运算 【专题】运算能力；实数 【分析】（1）先乘方去绝对值后，再按照有理数混合运算法则运算即可； （2）先乘方去括号后，再按照有理数混合运算法则运算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解答本题的关键． 44．（2023秋•锡山区期末）在数轴上，把原点记作点，表示数的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点、点重合），将线段与线段的长度之比定义为点关于点的值，记作，即，例如：点表示的数为1，点表示的数为3，因为，，所以． （1）当点是线段的中点时，点关于点的值　1　； （2）若点表示的数为，点表示的数为，，求点关于点的值； （3）点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数，点表示的数为，点、点分别表示数、，若，，，请直接写出、需满足条件：　　． 【答案】（1）1． （2）①点关于点的值或． （3）或． 【考点】数轴；有理数的混合运算 【专题】运算能力；计算题 【分析】（1）由点是线段的中点得表示的数为，故关于点的值． （2）①当点、在点的同侧时，由题意得，，故 ．②当点、在点的异侧时，由题意得，，故 ．． （3）由点与所表示的数互为相反数得．由，，得，即或，然后再计算即可． 【解答】解：（1）点是线段的中点， 表示的数为， 关于点的值． 故答案为：1． （2）①当点、在点的同侧时， 由题意得，， ， ． ②当点、在点的异侧时， 由题意得，， ， ．． 答：点关于点的值或． （3）点与所表示的数互为相反数， ， ，， ，， ，， 要使，，， 则， ， ，， 故答案为：或． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，按照的定义计算，是解题关键． 45．（2024春•南岗区校级期中）计算题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）6；（3）；（4）41． 【考点】有理数的混合运算 【专题】计算题；运算能力 【分析】（1）先去掉小括号，再按照从左到右的顺序进行计算，即可解答； （2）运用乘法交换律进行简便计算； （3）先算乘方，再运用乘法交换律进行简便计算； （4）同时算乘法和除法，再算减法即可求出结果． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是能简算的要进行简便计算． 46．（2024春•沭阳县期中）定义一种新运算“★”： 1★； 3★； 观察上述各式的运算方法，解答下列问题： （1）请按照以上新运算“★”的运算方法，写出★的运算表达式； （2）若★，求的值． 【答案】（1）★； （2）． 【考点】有理数的混合运算 【专题】新定义；运算能力；实数 【分析】（1）根据题目中给出的式子可得★； （2）根据（1）中的结果和★，可以得到，然后求解即可． 【解答】解：（1）由题目中的式子可得， ★； （2）★， ， 解得． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 47．（2024•广西模拟）计算： 【考点】：有理数的混合运算 【专题】11：计算题 【分析】根据乘方和乘法分配律可以解答本题． 【解答】解： ． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 一十二．近似数和有效数字 48．（2024春•庐阳区校级期中）对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则．如：，． （1）如果，则的取值范围为 　　； （2）如果，则　　． 【答案】（1）； （2）0． 【考点】近似数和有效数字 【专题】新定义；实数；运算能力 【分析】（1）根据题意可以得到，然后求解即可； （2）根据题意可以得到，且为非负整数，然后求解即可． 【解答】解：（1）， ， 解得， 故答案为：； （2）， ，且为非负整数， 解得， 故答案为：0． 【点评】本题考查近似数和有效数字、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 一十三．科学记数法—表示较大的数 49．（2024•常州模拟）常州作为新崛起的新能源之都，澎湃起势年常州新能源产业产值超7600亿元，整车产量近68万辆，投资热度全国第一．数字7600用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】科学记数法—表示较大的数 【专题】实数；数感 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 50．（2024•本溪二模）辽宁地处松辽平原，在北纬38度到43度的黄金农业纬度带上，是全国13个粮食主产省之一．去年的粮食总产量达到51270000000斤，创历史新高．将数据51270000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】科学记数法—表示较大的数 【专题】数感；实数 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$