精品解析：2024年江西省南昌市中考二模数学试题

南昌市2024年初三年级第二次调研检测试卷 数学 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试卷上或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 4 2. 2023年江西省会南昌成功“出圈”，成为新晋“网红”旅游城市，全年共接待游客约1.9亿人次，将1.9亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平面镜放在水平面上，光线，照射到镜面上，反射光线分别为，．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是等边三角形，点是边上的一个动点，点关于，的对称点分别是点，，连接．在点从点运动到点的过程中，的长度（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 单项式3a2b3的次数是_____． 8. 某招聘考试中，小慧的笔试成绩为80分，面试成绩为90分，然后按照笔试成绩占40%、面试成绩占60%，计算最终成绩，则小慧的最终成绩为_________分． 9. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱，问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x，y的二元一次方程组是______． 10. 已知，为关于的方程的两个实数根，若，则_________． 11. 如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于，两点，分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点，作射线．以点为圆心，长为半径作圆弧，恰好经点，与射线交于点，连接，．若，则四边形的面积为_________． 12. 如图，在中，，，，点在射线上，当为等腰三角形时，的度数为_________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解不等式组： 14 先化简，再求值：，其中． 15. “寻访非遗文化，感悟古色魅力”，为培养学生对非遗文化的保护与传承意识，南昌市某中学计划组织学生前往绳金塔历史文化街区开展活动，决定在A．宣纸刺绣、B．瓷板画、C．南昌轻音、D．竹篾编织四个艺术馆随机选择两个参观学习． （1）选中“颖拓艺术馆”是　　　　事件；（填“必然”或“随机”或“不可能”） （2）请用画树状图法或列表法，求出选中瓷板画和南昌轻音两个艺术馆的概率． 16. 为奖励在数学学科素养活动中表现突出的同学，学校准备购买甲，乙两种学具作为奖品，已知1件甲种学具比1件乙种学具的售价少10元，买3件甲种学具和4件乙种学具共需145元． （1）甲，乙两种学具的单价分别是多少元？ （2）根据学校实际情况，需要购买甲，乙两种学具共60件，所需费用不超过1100元，那么甲种学具至少需要购买多少件？ 17. 如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，点，均在格点上，以为直径画半圆，请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图1，点在格点上，请在图1中过点作出半圆的切线； （2）如图2，点格点上，请在图2中作出，使得． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为获得中学生对春节习俗的了解情况，某中学分别从八、九年级学生中随机抽取了20名学生进行测试（满分100分），并对数据（成绩，单位：分）进行整理、描述和分析． 部分信息如下： 八年级学生成绩的统计表和扇形统计图如下： 统计表 等级 成绩（分） 人数 A 2 B C 6 D E 60分以下 2 八年级学生成绩中C等级的数据分别是：72，75，77，74，75，78． 九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）如下： 平均数 中位数 众数 优秀率 80 80 77 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：　　　　，　　　　； （2）扇形统计图中C等级所对应圆心角的度数为　　　　； （3）根据信息推断，哪个年级的学生对春节习俗了解得更好？并选择一个统计量说明理由； （4）该中学八、九年级学生各有600名，估计八、九年级学生中对春节习俗的了解达到优秀的共有多少人？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点．四边形为矩形，与交于点，与相交于点． （1）若点纵坐标为2，求的值； （2）连接，若，求的值（用含的式子表示）． 20. 如图1是某品牌全电动家用升降机固定款，图2是其示意图，立柱垂直于地面，折线为吊臂，吊臂可绕点旋转，，为伸缩杆．经测量：，，，．（结果精确到小数点后一位） （1）如图2，当时，求的度数； （2）如图3，将吊臂绕点旋转使点的位置达到最高，此时，，三点共线，求点到地面的距离．（参考数据：，，，，） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是半圆的直径，点为圆心，，两点在半圆上，连接，．过点作半圆的切线交的延长线于点． （1）证明：； （2）若，，． ①求的长； ②求的值． 22. 已知抛物线的解析式：． （1）若抛物线经过原点． ①　　　　； ②将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线，则抛物线的解析式为　　　　； （2）在（1）条件下，将抛物线沿直线平移得到抛物线．抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，若，求抛物线的解析式； （3）设抛物线的顶点为点，抛物线与轴交于，两点，连接，，在围成的区域内（包含三条边），横、纵坐标都为整数的点恰好为4个，直接写出的取值范围． 六、解答题（本大题共12分） 23. 某兴趣小组开展综合实践探究活动： 已知为等边三角形，点，分别在边，上，且，，相交于点，连接．探究过程如下： 【初步感知】 （1）①如图1，当点为中点时，　　　　； ②如图2，当时，　　　　； （小智积极思考，提供如下解题思路： 延长至点，使得，连接，． ，，，． ． 又， ． 又，是等边三角形．……） 【类比探究】 （2）如图3，当时，求的值； 拓展延伸】 （3）①当时，直接写出的值（用含的式子表示）； ②当点在延长线上，点在延长线上时，且，直线，相交于点，连接，请直接写出的值（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南昌市2024年初三年级第二次调研检测试卷 数学 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试卷上或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题关键是掌握实数比较大小的方法．利用实数大小的比较方法，按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：， 最小的数是：． 故选：A． 2. 2023年江西省会南昌成功“出圈”，成为新晋“网红”旅游城市，全年共接待游客约1.9亿人次，将1.9亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，先确定a，n，再写成形如（，n为正整数）即可． 【详解】根据题意得1.9亿． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相除、完全平方公式、合并同类项、积的乘方等内容，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是正确的； D、，故该选项是错误的； 故选：C 4. 实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上有理数的位置，不等式的基本性质，计算判断即可．本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则，不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴原点在a，c的中间位置上，且， ∴，， ∴， ∴， ∴ 故选D． 5. 如图，平面镜放在水平面上，光线，照射到镜面上，反射光线分别为，．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和是是解题的关键．根据光的反射规律知，，结合平角定义求出的度数，从而求出的度数，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，，， ， ， ，，， ， ， ， 故选：B． 6. 如图，是等边三角形，点是边上的一个动点，点关于，的对称点分别是点，，连接．在点从点运动到点的过程中，的长度（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．连接，易证是顶角为120度的等腰三角形，腰长为的长，根据腰长先变小后变大，即可得出结果． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵点P关于的对称点分别为，， ∴，， ∴ ， ∴， 过点作， 则，， ∴的长随着的变化而变化， ∵为上的一个动点， ∴当时，的长最小，此时点为的中点， ∴点P从点A运动到点B的过程中，的长先变小后变大， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 单项式3a2b3的次数是_____． 【答案】5 【解析】 【详解】解：根据单项式的次数的定义知：该单项式的次数为：5 故答案为:5. 8. 某招聘考试中，小慧的笔试成绩为80分，面试成绩为90分，然后按照笔试成绩占40%、面试成绩占60%，计算最终成绩，则小慧的最终成绩为_________分． 【答案】86 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，分别求出笔试和面试得分，再相加即可． 【详解】根据题意，小慧的最终成绩为（分）． 故答案为：86． 9. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱，问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x，y的二元一次方程组是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设：甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱， 根据题意得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题列出二元一次方程组，正确找出数量关系，列出二元一次方程组是解答本题的关键． 10. 已知，为关于的方程的两个实数根，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根及根的判别式，先根据题意可知，求出k的取值范围，再根据一元二次方程的根及根与系数的关系代入等式，求出答案即可． 【详解】根据题意可知， 即， 解得． ∵，是方程的根， ∴，． ∵， 则， 解得． 故答案为：． 11. 如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于，两点，分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点，作射线．以点为圆心，长为半径作圆弧，恰好经点，与射线交于点，连接，．若，则四边形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，由作图易知是等边三角形，平分，先证明四边形是菱形，求出的长度，再根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可得结论． 【详解】解：如图，连接交于点． 由作图可知， 是等边三角形， ， 由作图可知平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，， ， 菱形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了基本尺规作图，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用相关知识解决问题． 12. 如图，在中，，，，点在射线上，当为等腰三角形时，的度数为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数．当为等腰三角形时，有以下三种情况：①当时，过点A作于F，先求出，在中利用锐角三角函数可求出，则，进而得的度数；②当时，又有两种情况：（ⅰ）当点E在线段上时，过点D作交延长线于G，先求出，在中利用锐角三角函数可求出，，则，进而得的度数；（ⅱ）当点E在的延长线上时，过点D作于M，先分别求出，，进而得，由此可得的度数；③当时，过点E作于H，根据等腰三角形性质得，根据平行线间的距离得，则，由此得，进而可得的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，过点A作于F，如图1所示：   在中，， ∴， 即平行线间的距离为， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，又有两种情况： （ⅰ）当点E在线段上时，过点D作交延长线于G，如图2所示： 由①可知：平行线间的距离为，即， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （ⅱ）当点E在的延长线上时，过点D作于M，如图3所示： 则， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，过点E作于H，如图4所示： ∵， ∴， 由①可知， ∴， ∴（此时点E与点C重合）， ∴． 综上所述：的度数为：或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，解不等式组，对于（1），根据，，，再计算即可；对于（2），求分别求出每个不等式的解集，即可得出答案． 【详解】（1）原式． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，再把的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 15. “寻访非遗文化，感悟古色魅力”，为培养学生对非遗文化的保护与传承意识，南昌市某中学计划组织学生前往绳金塔历史文化街区开展活动，决定在A．宣纸刺绣、B．瓷板画、C．南昌轻音、D．竹篾编织四个艺术馆随机选择两个参观学习． （1）选中“颖拓艺术馆”是　　　　事件；（填“必然”或“随机”或“不可能”） （2）请用画树状图法或列表法，求出选中瓷板画和南昌轻音两个艺术馆的概率． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】（1）根据事件的分类标准判断解答即可． （2）利用画树状图法解答即可． 本题考查了事件，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 根据题意，得选到“颖拓艺术馆”是不可能事件， 故答案为：不可能． 【小问2详解】 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中选中瓷板画和南昌轻音两个艺术馆的有2种， ∴选中瓷板画和南昌轻音两个艺术馆的概率． 16. 为奖励在数学学科素养活动中表现突出的同学，学校准备购买甲，乙两种学具作为奖品，已知1件甲种学具比1件乙种学具的售价少10元，买3件甲种学具和4件乙种学具共需145元． （1）甲，乙两种学具的单价分别是多少元？ （2）根据学校实际情况，需要购买甲，乙两种学具共60件，所需费用不超过1100元，那么甲种学具至少需要购买多少件？ 【答案】（1）甲种学具的单价是15元，乙种学具的单价是25元 （2）甲种学具至少需要购买40件 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲种学具的单价是元，则乙种学具的单价是元，根据买3件甲种学具和4件乙种学具共需145元，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值（即甲种学具的单价），再将其代入中，即可求出乙种学具的单价； （2）设购买件甲种学具，则购买件乙种学具，利用总价单价数量，结合总价不超过1100元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲种学具的单价是元． 依题意可列方程：， 解得：， ， 答：甲种学具的单价是15元，乙种学具的单价是25元． 【小问2详解】 解：设甲种学具需要购买件． 则， 解得：， 的最小值为40， 答：甲种学具至少需要购买40件． 17. 如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，点，均在格点上，以为直径画半圆，请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图1，点在格点上，请在图1中过点作出半圆切线； （2）如图2，点在格点上，请在图2中作出，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点E，连结，易证，从而证明直线是的切线； （2）取（1）中的格点C，连接并延长与网格交于点D，连接，由（1）易得，由网格特点有，易知垂直平分，进而，即可得到． 【小问1详解】 解：如图，取格点E，过点E，C作直线l，直线即为所求； 设网格的每个小正方形边长为1， 则由勾股定理有， ， 连结， ，， ， 由网格特点知，， ， 直线是的切线； 【小问2详解】 解：如图，取（1）中的格点C，连接并延长与网格交于点D，连接，即为所求． 由（1）可知，， ， 由网格特点知，， 垂直平分， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，切线的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，解题关键是利用网格构造条件，并运用相关知识证明得到结论． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为获得中学生对春节习俗的了解情况，某中学分别从八、九年级学生中随机抽取了20名学生进行测试（满分100分），并对数据（成绩，单位：分）进行整理、描述和分析． 部分信息如下： 八年级学生成绩的统计表和扇形统计图如下： 统计表 等级 成绩（分） 人数 A 2 B C 6 D E 60分以下 2 八年级学生成绩中C等级的数据分别是：72，75，77，74，75，78． 九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）如下： 平均数 中位数 众数 优秀率 80 80 77 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：　　　　，　　　　； （2）扇形统计图中C等级所对应圆心角的度数为　　　　； （3）根据信息推断，哪个年级的学生对春节习俗了解得更好？并选择一个统计量说明理由； （4）该中学八、九年级学生各有600名，估计八、九年级学生中对春节习俗的了解达到优秀的共有多少人？ 【答案】（1）4，6 （2） （3）九年级，理由见解析 （4）八、九年级学生中对春节习俗的掌握达到优秀的共有450人 【解析】 【分析】（1）根据抽取了20名学生和D等级的百分比可得的值，根据表格中的数据，可以求得的值； （2）乘C等级的百分比即可求解； （3）求出八年级学生的中位数，即可得答案； （4）根据样本估计总体，可以计算出八、九年级学生中对春节习俗的了解达到优秀的学生人数． 【小问1详解】 解：， ， 故答案：4，6； 小问2详解】 解：扇形统计图中C等级所对应圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：九年级的学生对春节习俗了解得更好，理由如下： 八年级的中位数为分，低于九年级的中位数80分， 九年级的学生对春节习俗了解得更好； 【小问4详解】 解：（人， 答：估计八、九年级学生中对春节习俗的了解达到优秀的共有450人． 【点睛】本题考查中位数和众数、扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，掌握统计图中各个数量之间的关系是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点．四边形为矩形，与交于点，与相交于点． （1）若点的纵坐标为2，求的值； （2）连接，若，求的值（用含的式子表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数关系式，以及反比例函数图象上点的坐标牲： （1）根据点A在直线的图象上求出点A的坐标，再代入中求出k的值即可； （2）证明为等腰直角三角形，得，设点坐标为，，得，得，整理得，再计算的值即可 【小问1详解】 解：设点坐标为 点在直线上， ． 在的图象上， ． 【小问2详解】 解：点为直线上一点， ∴ 又 为等腰直角三角形， ． ， ∴ ． ∵ ∴ ． 设点坐标为，， ． 点在反比例函数图象上， 化简得：， ． 20. 如图1是某品牌全电动家用升降机固定款，图2是其示意图，立柱垂直于地面，折线为吊臂，吊臂可绕点旋转，，为伸缩杆．经测量：，，，．（结果精确到小数点后一位） （1）如图2，当时，求的度数； （2）如图3，将吊臂绕点旋转使点的位置达到最高，此时，，三点共线，求点到地面的距离．（参考数据：，，，，） 【答案】（1） （2）点到地面的距离为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． （1）根据题意算出，得出，即可求出的度数； （2）分别过点，作，的平行线，两条线相交于点．根据，求出，，， 从而算出，，即可求解； 【小问1详解】 解：，，， ． ． ． 【小问2详解】 分别过点，作，的平行线，两条线相交于点． ，， ． ． ，， ，， ． ． ． 点到地面的距离为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是半圆的直径，点为圆心，，两点在半圆上，连接，．过点作半圆的切线交的延长线于点． （1）证明：； （2）若，，． ①求的长； ②求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】对于（1），先连接，根据切线的性质，同角的余角相等可得，再根据“等边对等角”得，进而得出答案； 对于（2）①，根据勾股定理求出答案；②先说明，可得， 根据“等边对等角”得，再根据得出答案． 【小问1详解】 连接． 为半圆的切线， ． 是半圆的直径， ， ． ， ， ． 【小问2详解】 ①设半圆的半径为． 为半圆的切线， ． 在中，． ， 解得， ． ②，， ． ． ， ． 是半圆的直径， ． ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理的推论，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正切等，解题的关键是构造直角三角形． 22. 已知抛物线的解析式：． （1）若抛物线经过原点． ①　　　　； ②将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线，则抛物线的解析式为　　　　； （2）在（1）的条件下，将抛物线沿直线平移得到抛物线．抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，若，求抛物线的解析式； （3）设抛物线的顶点为点，抛物线与轴交于，两点，连接，，在围成的区域内（包含三条边），横、纵坐标都为整数的点恰好为4个，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）抛物线的解析式为 （3） 【解析】 【分析】（1）①将代入，求出a即可；②根据题意写出抛物线的顶点坐标，平移后的顶点坐标即为的顶点坐标，根据的顶点坐标写出解析式． （2）根据条件求出和的长度，依题意设平移后的抛物线的解析式为，用m表示出抛物线与轴交点，之间的距离，从而建立方程求出m的值，即可得解． （3）依题意抛物线的顶点的坐标为，根据题意画出抛物线的两种临界情况，分别求出a，从而得到a的范围． 【小问1详解】 解：①抛物线经过原点， 将代入， 得到， ， 故答案为：； ②由①得抛物线解析式为， 抛物线的顶点为， 将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线， 抛物线的顶点为， 抛物线的解析式为， 故答案为：． 小问2详解】 解：抛物线与轴交于，两点， 令， 解得或2， ， ， 抛物线的顶点在直线上，将抛物线沿直线平移得到抛物线， 设抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 令，整理为， 设，为的两个解， 则，， 抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问3详解】 解：依题意抛物线解析式为， 点， 当围成的区域内（包含三条边），横、纵坐标都为整数的点恰好为4个时，如图，由抛物线的对称性可知，抛物线有和两种临界情况， 当抛物线在处时，由（1）可知， 当抛物线在处时，抛物线经过点，代入，解得， 综上所述，当围成的区域内（包含三条边），横、纵坐标都为整数的点恰好为4个时，． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题等，解题关键是根据题意画出相应图象，运用数形结合思想解决问题． 六、解答题（本大题共12分） 23. 某兴趣小组开展综合实践探究活动： 已知为等边三角形，点，分别在边，上，且，，相交于点，连接．探究过程如下： 【初步感知】 （1）①如图1，当点为中点时，　　　　； ②如图2，当时，　　　　； （小智积极思考，提供如下解题思路： 延长至点，使得，连接，． ，，，． ． 又， ． 又，是等边三角形．……） 【类比探究】 （2）如图3，当时，求值； 【拓展延伸】 （3）①当时，直接写出的值（用含的式子表示）； ②当点在延长线上，点在延长线上时，且，直线，相交于点，连接，请直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）①；② 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质即可求解； ②延长至点，使得，连接，，可证，进而可证，则，是等边三角形，易证，得，，可证，易得，，可知，即：，再证，，由，，得，即可求解； （2）类比（1）可知，过点作，则，可知，得，则，由，可知，则，得，进而可求解； （3）①类比（1）（2）求解即可； ②在上截取点，使得，连接，，过点作，类比（1）（2）求解即可． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴，， ∵点为中点，， ∴， ∴，分别平分，， ∴平分， ∴，， 则， 故答案为：； ②延长至点，使得，连接，． ∵，，， ． ． 又， ，则． 又， 是等边三角形． ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴，即：， ∵，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，． 由（1）可知，，，，，，，， ∴，， ∴， 过点作，则， ∴， ∴，则， ∵， ∴，则， ∴， ∴； （3）①类比（1）（2）延长至点，使得，连接，． 可知，，，，，，，，， 过点作，则， 类比（1）（2）可知，，， ∵，， ∴，则， ∴， ∴； ②在上截取点，使得，连接，． ∵，，，则， ． ． 又，， ， 又， 是等边三角形． ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， 设， ∵， ∴， 则， ∴，即：， ∵， ∴，，则， ∴，则， ， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等知识，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，证明是解决问题的关键． 第1页/共1页 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