一元线性回归模型及其应用同步练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

数据分析——一元线性回归模型及其应用 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．(2023·天津卷)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r＝0.824 5，下列说法正确的是(　　) 　　　　　 A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.824 5 2．(2023·大连二模)某产品的宣传费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如下表所示： 宣传费用x/万元 2 3 4 5 销售额y/万元 24 30 42 50 根据上表可得经验回归方程＝9x＋a，则宣传费用为6万元时，销售额最接近(　　) A．55万元 B．60万元 C．62万元 D．65万元 3．(2023·大庆一检)我国西北某地区开展改造沙漠的巨大工程，该地区对近5年投入的沙漠治理经费x(单位：亿元)和沙漠治理面积y(单位：万亩)的相关数据统计如下表所示． 治理经费x/亿元 3 4 5 6 7 治理面积y/万亩 10 12 11 12 20 根据表中所给数据，得到y关于x的经验回归方程为＝2x＋a，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示： x/月份 1 2 3 4 5 y/万盒 5 6 5 6 8 若x，y线性相关，经验回归方程为＝0.7x＋，则以下判断正确的是(　　) A．x增加1个单位，则y一定增加0.7个单位 B．x减少1个单位，则y必减少0.7个单位 C．当x＝6时，y的预测值为8.1万盒 D．经验回归直线＝0.7x＋经过点(2，6) 二、 多项选择题 5．(2023·邯郸期末)对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其样本相关系数的结论正确的是(　　) 　　　 A．r1＜0 B．r2＞1 C．r1＋r2＞0 D．|r1|＞|r2| 6．(2023·无锡期末)已知由样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)组成的一个样本，得到经验回归方程为＝2x－0.4，且＝2，去除两个样本点(－2，1)和(2，－1)后，得到新的经验回归方程为＝3x＋.在余下的8个样本数据和新的经验回归方程中(　　) A．相关变量x，y具有正相关关系 B．新的经验回归方程为＝3x－3 C．随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小 D．样本(4，8.9)的残差为－0.1 三、 填空题 7．已知变量x和变量y的3对随机观测数据(2，2)，(3，－1)，(5，－7)，则成对样本数据的样本相关系数是____． 8．(2023·宿州一模)一组样本数据：(1，b1)，(2，b2)，(3，b3)，(4，b4)，(a，b5).由最小二乘法求得经验回归方程为＝3x－4，若b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝25，则实数a的值为____． 9．(2023·连云港期初)为了研究高三(1)班女生的身高x(单位：cm)与体重y(单位：kg)的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x＋.已知i＝1 600，＝460，＝0.85，该班某女生的身高为170cm，据此估计其体重为____kg. 四、 解答题 10．(2020·全国Ⅱ卷理)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得i＝60，i＝1 200，(xi－)2＝80，(yi－)2＝9 000，(xi－)(yi－)＝800. (1) 求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)； (2) 求样本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01，参考数据：≈1.414)； (3) 根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 11．(2024·济南期初摸底)随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响. 为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个大商场2018～2022年的线下销售额如下： 年份编号x 1 2 3 4 5 年份 2018 2019 2020 2021 2022 销售额y(单位：万元) 1 513 1 465 1 202 1 060 860 参考数据：i＝6 100，iyi＝16 589，≈1 736. (1) 由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额y与年份编号x的关系，请用相关系数加以说明； (2) 建立y关于x的经验回归方程，并预测2024年该商场的线下销售额． B组　滚动小练 12．(2024·黄冈期初)已知数列{an}是正项等比数列，数列{bn}满足bn＝log2an.若a2a5a8＝212，则b1＋b2＋b3＋…＋b9＝(　C　) A．24 B．32 C．36 D．40 13．(2024·保定期初)如图，在三棱锥P-ABC中，异面直线AC与PB所成的角为60°，E，F分别为棱PA，BC的中点，若AC＝2，PB＝4，则EF＝(　C　) A． B．2 C．或 D．2或 14．(2024·永州一模)在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足c cos A－a cos C＝a＋b. (1) 求角C的大小； (2) 若c＝5，△ABC的内切圆半径r＝，求△ABC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数据分析——一元线性回归模型及其应用 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．(2023·天津卷)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r＝0.824 5，下列说法正确的是(　C　) 　　　　　 A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.824 5 【解析】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，故A错误；散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，故B错误，C正确；由于r＝0.824 5是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，也可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.824 5，故D错误． 2．(2023·大连二模)某产品的宣传费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如下表所示： 宣传费用x/万元 2 3 4 5 销售额y/万元 24 30 42 50 根据上表可得经验回归方程＝9x＋a，则宣传费用为6万元时，销售额最接近(　B　) A．55万元 B．60万元 C．62万元 D．65万元 【解析】＝×(2＋3＋4＋5)＝3.5，＝×(24＋30＋42＋50)＝36.5，由经验回归方程过点(，)，得36.5＝9×3.5＋a，解得a＝5，即y＝9x＋5.当x＝6时，y＝9×6＋5＝59，所以最接近的是60万元． 3．(2023·大庆一检)我国西北某地区开展改造沙漠的巨大工程，该地区对近5年投入的沙漠治理经费x(单位：亿元)和沙漠治理面积y(单位：万亩)的相关数据统计如下表所示． 治理经费x/亿元 3 4 5 6 7 治理面积y/万亩 10 12 11 12 20 根据表中所给数据，得到y关于x的经验回归方程为＝2x＋a，则a＝(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】因为＝＝5，＝＝13，且经验回归方程过定点(，)，所以13＝2×5＋a，解得a＝3. 4．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示： x/月份 1 2 3 4 5 y/万盒 5 6 5 6 8 若x，y线性相关，经验回归方程为＝0.7x＋，则以下判断正确的是(　C　) A．x增加1个单位，则y一定增加0.7个单位 B．x减少1个单位，则y必减少0.7个单位 C．当x＝6时，y的预测值为8.1万盒 D．经验回归直线＝0.7x＋经过点(2，6) 【解析】＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝×(5＋6＋5＋6＋8)＝6，代入经验回归方程＝0.7x＋中，得6＝0.7×3＋，＝3.9，故经验回归方程为＝0.7x＋3.9.由点分布在经验回归直线附近或在直线上，x增加1个单位，则y可能增加0.7个单位，x减少1个单位，则y可能减少0.7个单位，故A，B错误；对于C，当x＝6时，＝0.7×6＋3.9＝8.1，故C正确；对于D，经验回归直线必经过点(，)，即点(3，6)，故D错误． 二、 多项选择题 5．(2023·邯郸期末)对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其样本相关系数的结论正确的是(　AC　) 　　　 A．r1＜0 B．r2＞1 C．r1＋r2＞0 D．|r1|＞|r2| 【解析】由散点图可知，样本相关系数r1的图象表示y与x负相关，故－1＜r1＜0，故A正确；样本相关系数r2的图象表示y与x正相关，故1＞r2＞0，故B错误；因为样本相关系数r2的点较样本相关系数r1的点密集，故|r2|＞|r1|，故r1＋r2＞0，故C正确，D错误． 6．(2023·无锡期末)已知由样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)组成的一个样本，得到经验回归方程为＝2x－0.4，且＝2，去除两个样本点(－2，1)和(2，－1)后，得到新的经验回归方程为＝3x＋.在余下的8个样本数据和新的经验回归方程中(　ABD　) A．相关变量x，y具有正相关关系 B．新的经验回归方程为＝3x－3 C．随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小 D．样本(4，8.9)的残差为－0.1 【解析】i＝20，x的新平均数为×20＝2.5，＝2×2－0.4＝3.6，y的新平均数为×10×3.6＝4.5，所以4.5＝3×2.5＋，所以＝－3，新的经验回归方程为＝3x－3，x，y具有正相关关系，故A正确；B正确；由经验回归方程知，随着自变量x值增加，因变量y值增加速度恒定，故C错误；当x＝4时，＝9，8.9－9＝－0.1，故D正确． 三、 填空题 7．已知变量x和变量y的3对随机观测数据(2，2)，(3，－1)，(5，－7)，则成对样本数据的样本相关系数是__－1__． 【解析】由题知＝＝，＝＝－2，(xi－)(yi－)＝×4＋×1＋×(－5)＝－14，(xi－)2＝＋＋＝，(yi－)2＝42＋12＋(－5)2＝42，则由相关系数公式得r＝＝－1. 8．(2023·宿州一模)一组样本数据：(1，b1)，(2，b2)，(3，b3)，(4，b4)，(a，b5).由最小二乘法求得经验回归方程为＝3x－4，若b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝25，则实数a的值为__5__． 【解析】＝＝5，＝＝，由经验回归方程过中心点得＝3－4⇒a＝5. 9．(2023·连云港期初)为了研究高三(1)班女生的身高x(单位：cm)与体重y(单位：kg)的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x＋.已知i＝1 600，＝460，＝0.85，该班某女生的身高为170cm，据此估计其体重为__54.5__kg. 【解析】＝i＝160，＝＝46，故46＝0.85×160＋，解得＝－90，故经验回归方程为＝0.85x－90，则当x＝170时，＝0.85×170－90＝54.5(kg). 四、 解答题 10．(2020·全国Ⅱ卷理)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得i＝60，i＝1 200，(xi－)2＝80，(yi－)2＝9 000，(xi－)(yi－)＝800. (1) 求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)； 【解答】 样区野生动物平均数为i＝×1 200＝60，地块数为200，故该地区这种野生动物数量的估计值为200×60＝12 000. (2) 求样本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01，参考数据：≈1.414)； 【解答】样本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相关系数为r＝＝＝≈0.94. (3) 根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 【解答】由(2)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计． 11．(2024·济南期初摸底)随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响. 为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个大商场2018～2022年的线下销售额如下： 年份编号x 1 2 3 4 5 年份 2018 2019 2020 2021 2022 销售额y(单位：万元) 1 513 1 465 1 202 1 060 860 参考数据：i＝6 100，iyi＝16 589，≈1 736. (1) 由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额y与年份编号x的关系，请用相关系数加以说明； 【解答】 由已知数据可得＝3，＝＝＝1 220，所以iyi－5＝16 589－5×3×1 220＝－1 711，所以r＝≈≈－0.985 6.因为|r|非常接近1，所以可用线性回归模型拟合销售额y与年份编号x的关系． (2) 建立y关于x的经验回归方程，并预测2024年该商场的线下销售额． 【解答】由已知数据可得＝12＋22＋32＋42＋52＝55，所以＝＝＝－171.1，＝－＝1 220－(－171.1)×3＝1 733.3，所以y关于x的经验回归方程为＝－171.1x＋1 733.3.令x＝7，得＝－171.1×7＋1 733.3＝535.6(万元)，所以预测2024年该商场的线下销售额为535.6万元. B组　滚动小练 12．(2024·黄冈期初)已知数列{an}是正项等比数列，数列{bn}满足bn＝log2an.若a2a5a8＝212，则b1＋b2＋b3＋…＋b9＝(　C　) A．24 B．32 C．36 D．40 【解析】因为{an}是正项等比数列，a2a5a8＝212，所以a＝212＝(24)3，则a5＝24，所以b1＋b2＋b3＋…＋b9＝log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝log2(a1a2a3…a9)＝log2a＝log2(24)9＝log2236＝36. 13．(2024·保定期初)如图，在三棱锥P-ABC中，异面直线AC与PB所成的角为60°，E，F分别为棱PA，BC的中点，若AC＝2，PB＝4，则EF＝(　C　) A． B．2 C．或 D．2或 【解析】设G是AB的中点，连接FG，EG.由于E，F分别为棱PA，BC的中点，所以FG∥AC，FG＝AC＝1，EG∥PB，EG＝PB＝2，所以∠EGF是异面直线AC与PB所成的角或其补角．当∠EGF＝60°时，在△EFG中，由余弦定理得EF＝＝；当∠EGF＝120°时，在△EFG中，由余弦定理得EF＝＝，所以EF为或. 14．(2024·永州一模)在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足c cos A－a cos C＝a＋b. (1) 求角C的大小； 【解答】 在△ABC中，由c cos A－a cos C＝a＋b，得sin C cos A－sin A cos C＝sin A＋sin B，即sin C cos A－sin A cos C＝sin A＋sin (A＋C)，故－2sin A cos C＝sin A.由于A∈(0，π)，所以sin A≠0，故cos C＝－.又C∈(0，π)，故C＝. (2) 若c＝5，△ABC的内切圆半径r＝，求△ABC的面积． 【解答】由C＝，可得c2＝a2＋b2＋ab，而c＝5，故a2＋b2＝25－ab，则(a＋b)2＝25＋ab.由△ABC的内切圆半径r＝，可得(a＋b＋c)·r＝ab sin C，即(a＋b＋5)＝ab，即a＋b＝2ab－5，故(2ab－5)2＝25＋ab，解得ab＝，故△ABC的面积S＝ab sin C＝××＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$