2.2基本不等式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

§ 2.2 基本不等式 （第1课时） 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 重要不等式: 问题1　如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？ 复习回顾 问题2　现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用 分别替换上式中的a，b，能得到什么样结论？ 新知探究 代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 算术平均数 几何平均数 基本不等式 均值不等式 （当且仅当a=b时，等号成立） 探究: 知识梳理 1.基本不等式：如果a>0，b>0，则___________，当且仅当 时，等号成立. 2.其中，______叫做正数a，b的算术平均数，____叫做正数a，b的几何平均数. 3.两个正数的算术平均数 它们的几何平均数. a＝b 不小于 问题3　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 方法一　(作差法) 方法二　(性质法) AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD： 你能利用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ①如何用a, b表示OD? OD= ______ ②如何用a, b表示CD? CD= ______ 基本不等式的几何证明： ③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD 几何意义： 1.在圆中： 半径不小于半弦 2.在直角三角形中： 斜边上的中线 不小于斜边上的高 基本不等式： 当且仅当a=b时，等号成立. 当且仅当a=b时，等号成立. 重要不等式： 注意：（1）不同点： （2）相同点： （3） 联系 ： 当且仅当a=b时，等号成立。 由重要不等式可以推出基本不等式。 新知归纳 两个不等式的适用范围不同。 利用基本不等式求最值 ①正数 ②不等式常呈现为和积关系 或倒数关系 ③注意能否取到等号 正 数 倒数 关系 例1、 解：因为x>0,所以 利用基本不等式证明不等式 ①正数 ②不等式常呈现为和积关系 或倒数关系 ③注意能否取到等号 证明： 例2 已知x,y都是正数，求证： (1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值 (2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值 解： ∵x，y都是正数 (1)当xy等于定值P时 当且仅当 x=y,等号成立. 即：当x=y时，和x+y有最小值 (2)当x+y等于定值S时 当且仅当 x=y,等号成立. 即：x=y时，积xy有最大值 积一定，和有最小值 和一定，积有最大值 积定和最小， 和定积最大 问题4　你能写出基本不等式的几种变形吗？ 由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值. 因为x>0， 当且仅当x＝ ，即x＝2时等号成立，因此所求的最小值为4. 课堂练习 延伸探究 1.当x<0时，求 x ＋ 的最大值. 因为x<0，则－x>0， 故原式的最大值为－4. 因为x>1，故有x－1>0， 当且仅当x－1＝ ，即x＝3时等号成立.因此所求的最小值为5. (1)三个关键点：一正、二定、三相等. ①一正：各项必须为正； ②二定：各项之和或各项之积为定值； ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备. (2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换. 注意点： （1）重要不等式：对于任意实数a,b,都有 __________ 当且仅当_______时，等号成立 （2）基本不等式 形式：______________________ 成立的前提条件：___________ 等号成立的条件：___________ 代数意义：_________________； 几何意义：_________________。 （3）最值问题： 课堂小结 当且仅当a=b是等号成立 几何解释 代数证明 几何解释 代数证明 形 数 课堂小结 1、主要内容： 2、两个结论： 积定和最小 和定积最大 Lavf57.62.100 $$