第11章 反比例函数（将军饮马模型在反比例函数中的运用） 2023-—2024学年苏科版数学八年级下册

2023-2024学年苏科版数学八年级下册 第11章 反比例函数 （将军饮马模型在反比例函数中的运用） 【考点1】求线段最小 【例1】如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（       ） A．1 B． C． D．4 【变式1】如图，一次函数y＝3x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点C在x轴上运动，连接AC，点Q为AC中点，若点C运动过程中，OQ的最小值为1，则点B的坐标为　　． 【变式2】在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为（其中k为常数且），则称点为点P的“k—关联点”．已知点A在函数的图像上运动，且A是点B的“3—关联点”，若，则的最小值为________________． 【考点2】利用将军饮马模型求两个线段和最小 【例2】如图，已知点．点P是反比例函数图象上一动点，已知点P到点的距离等于点P到直线距离的倍，轴交直线于点M，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 【变式2】在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例y的图象相交于A（3，5）、B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）若点P为y轴上的动点，当PB+PC取最小值时，求△BPC的面积． 【变式3】如图，已知直线与双曲线交于两点，且点坐标为（）. （1） 求双曲线解析式及点坐标； （2）将直线向下平移一个单位得直线，是轴上的一个动点，是上的一个动点，求的最小值。 【变式4】如图，一次函数的图像与反比例函数(k＞0)的图像交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1. （1）求反比例函数的解析式； （2）在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标. 【考点3】利用将军饮马模型求差最大 【例3】如图所示，已知A（0.2，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（　　） A．（0.5，0） B．（1，0） C．（1.5，0） D．（2.2，0） 【变式1】如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的，两点，与轴交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在轴上找一点，使最大，求的最大值及点的坐标． 【变式2】已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点． (1)求反比例函数的解析式，并确定这两个函数图象的另一个交点B的坐标； (2)画出草图，并据此直接写出使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围； (3)在的直线上是否存在一点P，使的值最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的点和点，过点A作轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在轴上取一点P，当取得最大值时，求P点的坐标． 【变式4】如图，直线y＝ax+b与双曲线y交于点A（2，n）和点B（﹣4，﹣2），过点A作AC⊥x轴，垂足为C． （1）求直线y＝ax+b和双曲线y的解析式； （2）连接BC，求△ABC的面积； （3）在x轴上找一点P，使|PA﹣PB|的值最大，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【考点4】利用将军饮马模型求周长最小 【例4】如图，菱形的边在轴上，顶点坐标为，顶点坐标为，点在轴上，线段轴，且点坐标为，若菱形沿轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是________． 【变式1】如图，点A（a，2）、B（﹣2，b）都在双曲线y=上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是y=x+，则k=__． 【变式2】如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝（x＞0）图象交于A（1，m），B（5，1）两点． （1）求一次函数及反比例函数的解析式： （2）直接写出关于x的不等式k1x+b＞的解集； （3）在x轴上是否存在点P，使得△ABP的周长最小？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【变式3】如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点D，轴于点C，． (1)求m，n的值及反比例函数的表达式． (2)连接，在线段上是否存在点E，使的面积等于3，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若P是y轴上的