4.3对数课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第4章 指数函数与对数函数 4.3 对数 人教A版2019高中数学必修第一册 对 数 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。 对数的发明 在4.2.1的问题1中，我们假设经过年后的游客人次为2001年的倍，那么通过指数幂运算，我们能从中求出年后B地景区的游客人次约为2001年的倍数.反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决呢？ 上述问题实际上就是从，，，…中分别求出，即已知底数和幂的值，求指数.这就是本节要学习的对数. 对数的概念 ①对数的定义 一般地，如果 ，那么 叫做以 为底 的对数.   记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数.             例如，因为42=16，那么2就是以4为底16的对数， 记作 因为34=81，所以4就是以3为底81的对数， 记作         对数的概念 【问题】为什么规定   【1】如果 ，则会出现N为某些数值时， 不存在的情况，比如，假设 存在，设 ，则 ，无解.           【2】如果 ，且 ，则 不存在；若 ，且 ，则 有无数个值，不能确定.为此，规定 且 .                 【3】如果 ，且 ，则 不存在；若 ，且 ，则 有无数个值，不能确定.为了避免 不存在或者不唯一确定的 情况，规定 .                 10 通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把为底记为.另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并把为底记为. 对数的基本性质和与指数的关系. 【1】 根据对数的定义，可以得到对数和指数的关系： 当 时，     【2】 对数的基本性质： ① 负数和0没有对数 ②   ③   证明：① 由 ，得 .当 时，         即负数和0没有对数. ② 设 ， ，则 ， 故x=0, 即         设 ， ，则 ， 故x=1, 即         概念辨析 例1：把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. 【解】(1)                       对数的基本性质和与指数的关系. 【规律总结】 （1）指数式和对数式的关系 指数式 和对数式 是同一种数量关系的不同表达形式（如下表）.     （2）对数恒等式     底数 指数 幂 底数 对数 真数     问题探究 典例解析 对数的运算 【探究】设 ，因为 ，所以       根据对数和指数之间的关系可得： 这样，我们就得到了对数的一个运算性质：   同样的，还有：       前提 对数的运算 【对数运算性质的理解】 【1】逆向应用对数运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简. 【2】对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式 才成立.如 是存在的，但 与 均不存 在， 所以不能写成         【3】对数的运算性质(1)可以推广到若干个正因数积的对数，即以下式子成立：   对数的运算 【对数运算性质的推广】 【1】 【2】 【3】       典例解析 （2）log510－log52＝log55＝1 (3) log2（47×25）= log2219 =19 例4：利用 表示 . 【解】             探究四：结合对数的定义，你能推导出对数的换底公式吗? 问题探究 数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数。现在，利用计算器，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数。这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数。   对数换底公式 【定义】设 ，则 ，于是有       根据对数运算性质(3)有： ，即：     这个式子叫做对数的换底公式，简称为换底公式. ★ 换底公式的意义：把不同底数问题转化为同底数问题，也可以反过来用 ★ 换底公式的条件：公式中每一个对数式都有意义 ★ 换底公式换的底：依据具体问题需要而变 在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算 2 的值。 由换底公式可得2=， 利用计算工具，可得=， 由此可得，大约经过7年，B地景区的 游客人次就达到2001年的2倍，类似地， 可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍， …所需要的年数。 1,求下列各式的值. 【解】                 练习: P126 练习 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震， 它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川 发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 例5.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震M之间的关系为 典例解析 解:设里氏9.0级和里氏8.0级地震的能量分别为E1和E2 设里利用计算工具可得， 虽然里氏9.0级和里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出的能量却是后者的约32倍。 1.对数的运算法则。 2.利用定义及指数运算证明对数的运算法则。 3.对数运算法则的应用。 4.换底公式的证明及应用。 课堂小结 积、商、幂的对数运算法则： 如果a>0，a1，M>0，N>0,那么： (a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; 2．常用对数与自然对数 e 1．思考辨析 (1)logaN是loga与N的乘积．(　　) (2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　) (3)对数运算的实质是求幂指数．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有(　　) A．log2M＝a　　　　　　 B．logaM＝2 C．log22＝M D．log2a＝M B　[∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B.] [探究问题] 1．你能推出对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？ 解：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得alogaN＝N. 2．如何解方程log4(log3x)＝0? 解：由log4(log3x)＝0=log41，得log3x＝1，∴x＝3. 例2　求下列各式中的x的值： (1)log64x＝－eq \f(2,3)； (2)logx 8＝6； (3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x. [解]　(1)x＝(64)eq \s\up12(－\f(2,3))＝(43)eq \s\up12(－\f(2,3))＝4－2＝eq \f(1,16). (2)x6＝8，所以x＝(x6)f(1,6)eq \s\up12() ＝8f(1,6)eq \s\up12() ＝(23) f(1,6)eq \s\up12() ＝2f(1,2)eq \s\up12() ＝eq \r(2). (3)10x＝100＝102，于是x＝2. (4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2， 所以x＝－2. 例3．求下列各式的值 （1）log84＋log82；（2）log510－log52 （3）log2（47×25） 解：（1）log84＋log82＝log88＝1. 跟踪训练2．求值： (1)log23·log35·log516； (2)(log32＋log92)(log43＋log83)． eq \x(\a\al([规律方法]　,1.在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式.,2.常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝\f(m,n)logab，logab＝\f(1,logba)等.)) [解]　(1)原式＝eq \f(lg 3,lg 2)·eq \f(lg 5,lg 3)·eq \f(lg 16,lg 5)＝eq \f(lg 16,lg 2)＝eq \f(4lg 2,lg 2)＝4. (2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,lg 9))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 3,lg 4)＋\f(lg 3,lg 8))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,2lg 3))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 3,2lg 2)＋\f(lg 3,3lg 2)))＝eq \f(3lg 2,2lg 3)·eq \f(5lg 3,6lg 2)＝eq \f(5,4). $$