基本不等式 专项练习-2024届高三数学一轮复习

专项练习1.4 基本不等式 A基础训练 1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）. （1） 不等式 与 成立的条件是相同的.( ) （2） 函数 的最小值是2.( ) （3） 函数 的最小值为4.( ) （4） 已知 , 均为实数，则“ 且 ”是“ ”的充要条件.( ) 2.设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80　　 B．77　 C．81　　 D．82 3.已知x>2，则x＋的最小值是(　　) A．1 　 B．2 C．2 　 D．4 4.已知0<x<2，则y＝2x的最大值为(　　) A．2 　 B．4 C．5 　 D．6 5.已知函数y＝x＋(x>2)，则此函数的最小值等于(　　) A. B. C．4 D．6 6.当0<x<4时，则y＝x(8－2x)的最大值为________． 7.已知函数y＝(x>0)，则y的最大值为(　　) A．2＋4 B．2 C．2－4 D．4 8.已知正数a，b满足＋＝1，则8a＋b的最小值为(　　) A．54 B．56 C．72 D．81 9．（多选题）下列说法正确的有(　　) A．若x<，则2x＋的最大值是－1 B．若x>－2，则≥4 C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2 D．若x<1，则有最大值－5 10. 某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排 宽的绿化，绿化造价为200元 ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元 .设矩形区域的一边长为 ，总造价为 （元）. （1） 将 表示为关于 的函数； （2） 当 取何值时，总造价最低？并求出最低总造价. B提高训练 11.已知非负实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 12.已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________． 13．已知a＞0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________ ；a＋b的取值范围是________． 14．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________；若≥a恒成立，则实数a的取值范围是________． 同步练习1.3 基本不等式答案 A基础训练 1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）. （1） 不等式 与 成立的条件是相同的.( × ) （2） 函数 的最小值是2.( √ ) （3） 函数 的最小值为4.( × ) （4） 已知 , 均为实数，则“ 且 ”是“ ”的充要条件.( × ) 2.设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80　　 B．77　 C．81　　 D．82 解析C　[xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.] 3.已知x>2，则x＋的最小值是(　　) A．1 　 B．2 C．2 　 D．4 解析D　[∵x>2，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．故选D.] 4.已知0<x<2，则y＝2x的最大值为(　　) A．2 　 B．4 C．5 　 D．6 解析B　[因为0<x<2，所以y＝2x＝2≤2＝4， 当且仅当x2＝4－x2时取等号，因为0<x<2，解得x＝.故选B.] 5.已知函数y＝x＋(x>2)，则此函数的最小值等于(　　) A. B. C．4 D．6 答案　D 解析　∵x>2，∴x－2>0， ∴y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6(当且仅当x－2＝， 即x＝4时取等号)， ∴y＝x＋(x>2)的最小值为6. 6.当0<x<4时，则y＝x(8－2x)的最大值为________． 答案　8 解析　因为y＝x(8－2x)＝[2x·(8－2x)]≤2＝8， 当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时，等号成立， 所以y＝x(8－2x)的最大值为8. 7.已知函数y＝(x>0)，则y的最大值为(　　) A．2＋4 B．2 C．2－4 D．4 答案　C 解析　函数y＝＝－3x－＋2 ＝－＋2， ∵x>0，∴3x＋≥2＝4， 当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立， 故y＝－＋2≤－4＋2， 则y的最大值为2－4. 8.已知正数a，b满足＋＝1，则8a＋b的最小值为(　　) A．54 B．56 C．72 D．81 答案　C 解析　8a＋b＝(8a＋b) ＝＋＋40≥2＋40＝72， 当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号． 9．（多选题）下列说法正确的有(　　) A．若x<，则2x＋的最大值是－1 B．若x>－2，则≥4 C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2 D．若x<1，则有最大值－5 10. 某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排 宽的绿化，绿化造价为200元 ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元 .设矩形区域的一边长为 ，总造价为 （元）. （1） 将 表示为关于 的函数； [答案]易得绿化的面积为 ， 中间区域的面积为 ， 故 ， 由 可得 ，故 , . （2） 当 取何值时，总造价最低？并求出最低总造价. [答案]由基本不等式可得 ，当且仅当 时等号成立，又 ，故当 时，总造价最低，且最低总造价为 元. B提高训练 11.已知非负实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　因为非负实数a，b满足a＋b＝1， 所以(a＋1)＋(b＋2)＝4， 所以[(a＋1)＋(b＋2)]＝1， 所以＋ ＝[(a＋1)＋(b＋2)] ＝ ≥ ＝1. 当且仅当即时取等号． 综上，＋的最小值为1. 12.已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________． 答案　72 解析　∵8a＋4b＝ab，a>0，b>0， ∴＋＝1， ∴8a＋b＝(8a＋b) ＝＋＋40≥2＋40＝72， 当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号． 13．已知a＞0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________ ；a＋b的取值范围是________． [9，＋∞)　[6，＋∞)　[因为a＞0，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2，于是ab－2－3≥0，解得≤－1(舍去)或≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)． 因为a＞0，b>0，所以a＋b＋3＝ab ≤， 变形，得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号，即a＋b的取值范围是[6，＋∞)．] 14．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________；若≥a恒成立，则实数a的取值范围是________． 　(－∞，9]　[因为x＋y＝1，所以xy≤＝， 所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－×2＝，当且仅当x＝y＝时取等号，即x2＋y2的最小值为. 若a≤恒成立，则a≤， 因为＝(x＋y)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时等号成立，所以的最小值为9，即a≤9， 故实数a的取值范围是(－∞，9].] 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$