1.1 菱形的性质与判定（第三课时） 课件 2023--2024学年北师大版九年级数学上册

第一章　特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定（第三课时） 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 课前预习 典例讲练 目录 CONTENTS 数学 九年级上册 BS版 课前预习 0 1 菱形的两个面积公式. （1）S＝ ⁠； （2）S＝ ⁠. 注：在对角线互相垂直的四边形中，一条对角线将四边形分成 有公共底边的两个三角形，这两个三角形的高的和恰好是四边 形的另一条对角线的长.由三角形的面积公式可得，对角线互相 垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半. 底×高　 　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 典例讲练 0 2 如图，两张宽度都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，两纸条边 缘的夹角α＝30°，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积 为 ⁠. 2　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】过点 A 作 A E⊥ BC 于点E， A F⊥ C D于点F，则可 得到 A E， A F的长，再证▱ ABC D是菱形，得到 A D＝ C D，利 用30°角求得 C D的长，最后由菱形的面积公式即可求解. 【解析】如图，过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E ， AF ⊥ CD 于点 F ，则 AE ＝ AF ＝1.∵ AD ∥ BC ， AB ∥ CD ，∴四边形 ABCD 是平行四 边形.∴▱ ABCD 的面积＝ BC · AE ＝ CD · AF . ∴ BC ＝ CD . ∴▱ ABCD 是菱形.∴ AD ＝ CD . ∵∠ ADC ＝α＝ 30°，∠ AFD ＝90°，∴ CD ＝ AD ＝2 AF ＝2. ∴菱形 ABCD 的面积＝ CD · AF ＝2×1＝2. 故答案为2. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性 质、含30°角的直角三角形的性质等知识，证明四边形 ABCD 为 菱形是解决本题的关键. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，已知菱形 ABC D的周长为20， AC ∶ B D＝1∶2，则菱形 ABC D的面积是 ⁠. 20　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在四边形 ABC D中，已知 A D∥ BC ，点E为 BC 的中点， BC ＝2 A D，E A ＝ED＝2， AC 与ED相交于点F. （1）当 AB 与 AC 具有什么位置关系时，四边形 A E C D是菱形？ 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）在（1）的条件下求出此时菱形 A E C D的面积. 【思路导航】（1）先得到 AB ∥DE，当四边形 A E C D为菱形 时，对角线 AC ⊥DE，因此只要 AB ⊥ AC ，就可以得到菱形 A E C D；（2）利用菱形的面积公式计算即可. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：（1）当 AB ⊥ AC 时，四边形 AECD 是菱形.理由如下： ∵点 E 为 BC 的中点， BC ＝2 AD ， ∴ BE ＝ EC ＝ AD . 又∵ AD ∥ BC ， ∴四边形 ABED 和四边形 AECD 均为平行四边形. ∴ AB ∥ ED . ∵ AB ⊥ AC ，∴ DE ⊥ AC . ∴四边形 AECD 是菱形. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）如图，过点 A 作 AG ⊥ BE 于点 G . 由（1）知 EA ＝ AD ＝ EC ＝ BE ， AB ＝ ED . ∵ EA ＝ ED ＝2， ∴ AE ＝ BE ＝ AB ＝ EC ＝2. ∴△ ABE 是等边三角形. ∴∠ AEB ＝60°. ∴ AG ＝ . ∴ ＝ EC · AG ＝2× ＝2 . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】掌握平行四边形和菱形的性质和判定是解决本题的关 键，在求菱形的面积时，若没有告诉对角线的长度，作底边上 的高是关键，用底乘高得到菱形的面积. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在▱ ABC D中， A E⊥ BC ， A F⊥ C D，垂足分别为E， F，且 B E＝DF. （1）求证：▱ ABC D是菱形； （1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ B ＝∠ D . ∵ AE ⊥ BC ， AF ⊥ CD ， ∴∠ AEB ＝∠ AFD ＝90°.在△ AEB 和△ AFD 中， ∴△ AEB ≌△ AFD （ A S A ）. ∴ AB ＝ AD