专题4 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的综合应用问题 课件2023-2024学年北师大版数学九年级上册

第二章　一元二次方程 专题4　一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的综合应用问题 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 专题解读 典例讲练 目录 CONTENTS 数学 九年级上册 BS版 0 1 专题解读 ◎问题综述 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是一元二次方 程中的两种重要工具，前者用来判断根的存在情况，属于定性 判断；后者用来研究根之间的关系，属于定量计算.两者一般结 合使用，先判断根的情况，再计算.由于没有直接求出方程的两 根，因此大大减少了计算量，熟练运用这两种工具可以有效提 高解题效率. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ◎要点归纳 1. 我们把 叫做一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的根的判别式，通常用“ ”表示.一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的根的情况可由Δ＝ b2－4 ac 来判断. （1）若 ，则方程有两个不相等的实数根； （2）若 ，则方程有两个相等的实数根； （3）若 ，则方程没有实数根. b2－4 ac 　 Δ　 Δ＞0　 Δ＝0　 Δ＜0　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 如果方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的两个根是 x1， x2，那么 x1 ＋ x2＝ 　－ 　， x1· x2＝ 　 　. 一元二次方程的根与系数的关系中常见的变形公式： （1） ＋ ＝（ x1＋ x2）2－2 x1 x2； （2） ＋ ＝ ； （3） ＋ ＝ ； － 　 　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （4） ＋ ＝ ； （5）（ x1＋ m ）（ x2＋ m ）＝ x1 x2＋ m （ x1＋ x2）＋ m2. 注意：运用一元二次方程根与系数的关系时要检查两个隐含条 件：（1）确定方程一定是一元二次方程；（2）确定方程有实 数根. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 0 2 典例讲练 类型一　不解方程，判断根的情况 关于 x 的一元二次方程 x2＋（ k －3） x ＋1－ k ＝0的根的情 况是 ⁠. 有两个不相等的实数根　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】由于一元二次方程的根的情况与判别式Δ存在一个 等价关系，所以只需要判断判别式与0的大小关系即可. 【解析】Δ＝（ k －3）2－4（1－ k ） ＝ k2－6 k ＋9－4＋4 k ＝ k2－2 k ＋5 ＝（ k －1）2＋4. ∵（ k －1）2＋4＞0，∴Δ＞0. ∴方程总有两个不相等的实数根. 故答案为有两个不相等的实数根. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】判断含参的一元二次方程的根的情况，一般有以下几 种情况： ①Δ＞0⇔原方程有两个不相等的实数根； ②Δ＝0⇔原方程有两个相等的实数根； ③Δ＜0⇔原方程没有实数根. 所以，关键是确定判别式与0的大小关系. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. （2023·河南）关于 x 的一元二次方程 x2＋ mx －8＝0的根的情 况是（　A　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 A 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 直线 y ＝ x ＋ a 不经过第二象限，则关于 x 的方程 ax2＋2 x ＋1 ＝0实数解的个数是（　D　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 D 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型二　根据方程根的情况，求待定系数的取值范围 若关于 x 的方程（ k －1）2 x2＋（2 k ＋1） x ＋1＝0有实数 根，则 k 的取值范围是（　D　） A. k ＞ 且 k ≠1 B. k ≥ 且 k ≠1 C. k ＞ D. k ≥ 【思路导航】先分两类讨论：①二次项系数为0；②二次项系数 不为0.再根据根的情况，由判别式列不等式求解. D 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】①当（ k －1）2＝0时， k ＝1，原方程变为3 x ＋1＝0.解 得 x ＝－ ，符合题意.②当（ k －1）2≠0时， k ≠1，原方程为 一元二次方程.∵原方程有实数根，∴Δ