第一章空间向量与立体几何练习题-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 一、单选题 1．已知直四棱柱，底面为矩形，，，且，若点到平面的距离为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方体中，分别为棱，，的中点，则与MN所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 3．下列命题中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B．直线l的方向向量，平面的法向是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 4．已知是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（　　） A． B． C． D． 5．已知向量，则与共线的单位向量为（    ） A． B． C． D． 6．下面四个结论正确的是（    ）， A．空间向量，若，则 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D．任意向量满足 7．如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点，是棱上的动点，则（    ） A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 8．如图，正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）    A．当在表面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当在线段中点时，平面截正方体所得截面的面积为 C．当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为 9．在正方体中，则（    ） A．直线与直线所成角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．二面角的余弦值为 D．如果，那么点到平面的距离为 三、解答题 10．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．    (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 11．已知向量，， (1)求的值； (2)求； (3)求的最小值. 12．如图，三棱锥中的三条棱两两互相垂直，，点满足．若，求异面直线与所成角的余弦值． 13．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点，点在上，且. (1)判断直线是否与平面平行，并说明理由； (2)求点到平面的距离. 14．如图，在正方体中，点分别在棱上， (1)证明：; (2)求点到平面的距离; (3)求平面与平面夹角的余弦值. 15．如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，. (1)证明：面面 (2)是棱上的中点，若过点的平面与平行，且交于点，求面与面夹角的余弦值. 16．如图，平面平面，且．    (1)求证：平面平面; (2)若，求二面角的正弦值． 17．已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，平面. (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值. 长水实验中学文山校区高二数学自助餐 编号： SX–选修一第01号 使用时间： 2023-12-06 组编人：冯光发 审核人签字：第一章 空间向量与立体几何 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法求解即得. 【详解】直四棱柱，建立如图所示的空间直角坐标系， 由底面为矩形，，，且， 得，令，则， ，设平面的法向量， 则，令，得，而， 由点到平面的距离为，得，解得， 于是，，而， 向量在向量方向上的投影长为， 所以点到直线的距离为. 故选：D 2．A 【分析】建立空间直角坐标系，设出正方体边长为2，从而利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体边长为2，则， 故， 则与MN所成角的余弦值为.    故选：A 3．ABC 【分析】由可判断A；由可判断B；由可判断C；根据线面角的向量公式直接计算可判断D. 【详解】A选项：因为，且不重合，所以，A正确； B选项：因为，所以，B正确； C选项：因为，所以，C正确； D选项：记直线l与平面所成角为，则， 因为，所以，D错误. 故选：ABC 4．BC 【分析】根据空间的基底概念进行判断即可. 【详解】对于A选项，因，故不能构成一个基底，选项A错误； 对于B选项，三个向量中，任何一个都不能用其它两个线性表示，故可以构成一个基底，选项B正确； 对于C选项，三个向量中，任何一个都不能用其它两个线性表示，故可以构成一个基底，选项C正确； 对于D选项，因，故不能构成一个基底，选项D错误. 故选：BC. 5．AD 【分析】与共线的单位向量为或，从而求出答案. 【详解】，则与共线的单位向量为或， 其中，. 故选：AD 6．ABC 【分析】根据空间向量的概念及其向量共面定理，基底，数量积等的概念，即可