09空间角(一)学案-2024届高三数学一轮复习

空间角(一) 【课标要求】 理解线线角，线面角的概念，能用几何法和向量方法解决直线与直线、直线与平面的夹角问题 【学习目标】 1.明白直线与直线、直线与平面的夹角的定义，并知道其范围； 2.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面的夹角。 【自主复习】 1.已知向量,分别是直线和平面的方向向量和法向量，若，则直线与平面所成的角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为(　　) A.－ B.－ C. D. 3.如图已知三个平面AOB,BOC,AOC交于点O，且∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°，求直线OA与平面BOC所成的角的余弦值 4.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________. 问题1:线面角用向量怎么刻画？ 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 .（注意此公式中最后的形式是：） 问题2：两直线夹角的范围？ 山东省潍坊市 高二数学一轮复习学案 编号09 班级 小组 姓名 使用时间 ( 1 ) ( - 1 - ) 学科网（北京）股份有限公司 【合作探究】 考向一：求异面直线所成的角 例1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为(　　) A.　　 B. C.　　 D. 考向二：求线面角 例2. (2020·新高考山东卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC； (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 【归纳总结】 向量法求夹角： 建系：选择三条两两垂直的直线建立的空间直角坐标系。 找方向向量/法向量：确定异面直线上两个点的坐标，用坐标表示两异面直线的方向向量；确定平面上至少三个点的坐标，用坐标求出平面的法向量。 计算：利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值。 结论：两异面直线所成角的范围是，利用求得异面直线的夹角； 直线与平面所成的角范围是，利用求得直线与平面所成的夹角。 【当堂检测】 1.在四面体ABCD中，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥BC，BD＝AD＝1，BC＝2，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 2. (2023·湖北九师联盟联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，A1D1的中点，则直线BE与DF所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【巩固训练】 1.如图，在三棱柱ABC -A1B1C1 中，侧面BCC1B1 为正方形，平面BCC1B1 ⊥ 平面ABB1A1，AB =BC = 2， M，N分别为A1B1 ，AC 的中点． ( Ⅰ ) 求证：MN ∥ 平面BCC1B1 ； ( Ⅱ ) 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：AB ⊥ MN；条件②：BM =MN． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 2．如图，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点. (1)求证：平面BEF⊥平面PAC； (2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由. 【高考链接】(2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝. (1)证明：BD⊥PA； (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值. $$