期末冲刺 03 计算类十大经典题型分类强化练-2023-2024学年七年级数学下学期期末复习重难点突破（苏科版）

期末冲刺03计算类十大经典题型分类强化练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、幂的运算：法则的正用与逆用。 1 二、二元一次方程组的解法 2 三、解不等式（组） 2 四、方程与不等式组的巧妙融合 2 五、二元一次方程组的特殊解法 3 六、难点：乘法公式与图形的融合——数形结合思想 4 七、将错就错来改错——看错类：解二元一次方程组 5 八、期末经典题型：因式分解 5 九、难点：定义类新运算 6 十、易错考点：化简求值——灵活运用乘法公式，注意符号的变化 7 一、幂的运算：法则的正用与逆用。 1．计算： (1) (2) 2．计算 (1)已知，，求：的值． (2)，求：的值． 3．计算： (1)； (2) 4．已知，，，．先计算、、、的值，再比较它们的大小，并用“”连接起来． 二、二元一次方程组的解法 5．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．计算： (1)解方程组：； (2)． 三、解不等式（组） 7．解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解． 8．解不等式组，并在数轴上表示其解集． 9．解方程组或不等式组 (1)； (2)． 四、方程与不等式组的巧妙融合 10．若关于x，y的二元一次方程组 (1)若，求a的取值范围； (2)若x，y满足方程，求a的值． 11．已知关于、的方程组． (1)求方程组的解(用含的代数式表示)； (2)若方程组的解满足条件，且．求的取值范围． 12．已知关于x，y的二元一次方程组（m是常数）． (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)若方程组的解满足，求m的取值范围． 五、二元一次方程组的特殊解法 13．已知有理数m，n满足，且，求k的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于m，n的方程组，得到m，n用含k的代数式表示，再代入，就可以求k的值； 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，利用得到的式子与的等量关系，求k的值； 丙同学：先解方程组，再求k的值． 请选择其中一名同学的思路，解答此题． 14．在解二元一次方程组时，我们常常也会采用了一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即③，其次把方程①代入③得：即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为．请你解决以下问题： (1)你能否尝试用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知满足方程组； （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求出这个方程组的所有整数解． 15．阅读下列材料： 解方程组： 解：由①得 x﹣y＝1  ③， 将③代入②，得 4×1﹣y＝5， 解这个一元一次方程，得 y＝﹣1 从而求得． 这种思想被称为“整体思想”．请用“整体思想”解决下面问题： (1)解方程组：； (2)在（1）的条件下，若x，y是△ABC两条边的长，且第三边的长是奇数，求△ABC的周长． 六、难点：乘法公式与图形的融合——数形结合思想 16．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图，可得等式：． (1)由图可得等式： ． (2)利用（）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，，求的值； (3)利用图中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：． 17．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积． 例如，由图1，可得等式：．    (1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． (3)如图3，将两个边长分别为c和d的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 七、将错就错来改错——看错类：解二元一次方程组 18．甲、乙两位同学在解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①，解得；乙看错了②，解得，求a、b值． 19．解方程组时，一学生把 c 看错而得到，而正确的解是，求a，b，c 的值． 八、期末经典题型：因式分解 20．因式分解： (1) (2) 21．将下列各式分解因式： (1)； (2)． 22．分解因式： (1)； (2)． 23．因式分解： (1) (2) 九、难点：定义类新运算 24．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：______，______； (2)若，则x的取值范围为______； (3)已知，求x的取值范围． 25．定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)如果，求的取值范围； (2)如果，求的值． 26．当a，b都是实数，且满足，就称点为“完美点”． (1)判断点是否为“完美点”，并说明理由． (2)已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点是“完美点”，请说明理由． 27．若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为______； (2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 十、易错考点：化简求值——灵活运用乘法公式，注意符号的变化 28．先化简，再求值：，其中 29．先化简，再求值：，其中，． 30．先化简，再求值：，其中． 31．先化简，再求值：，其中，． 32．先化简，再求值：，其中． 33．先化简，再求值：，其中． 34．先化简，再求值：，其中，． 35．先化简，再求值：，其中满足． 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末冲刺03计算类十大经典题型分类强化练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、幂的运算：法则的正用与逆用。 1 二、二元一次方程组的解法 2 三、解不等式（组） 4 四、方程与不等式组的巧妙融合 5 五、二元一次方程组的特殊解法 7 六、难点：乘法公式与图形的融合——数形结合思想 10 七、将错就错来改错——看错类：解二元一次方程组 12 八、期末经典题型：因式分解 12 九、难点：定义类新运算 14 十、易错考点：化简求值——灵活运用乘法公式，注意符号的变化 18 一、幂的运算：法则的正用与逆用。 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： 2．计算 (1)已知，，求：的值． (2)，求：的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， ； （2） ， 原式． 3．计算： (1)； (2) 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1） ； （2） ． 4．已知，，，．先计算、、、的值，再比较它们的大小，并用“”连接起来． 【答案】，，，， 【详解】.解：， ， ， ， ． 二、二元一次方程组的解法 5．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 把代入，得：，解得：； 把代入①，得：； ∴方程组的解为：； （2）， ，得：，解得：； 把代入②，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （3） ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （4）原方程组整理得： ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 6．计算： (1)解方程组：； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 由②得， 将③代入①中得：， ， 将代入③中得：， 故方程组的解为：； （2）解：将方程组化简得： ， 由②－①得：， ， 将代入①中得：， ， ， 故方程组的解为：． 三、解不等式（组） 7．解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解． 【答案】不等式组的解集是：，解集在数轴上表示如解析图，不等式组的整数解为：、． 【详解】由， 解不等式，得： ， 解不等式，得： ， 把它们的解集在数轴上表示如图所示：      ∴不等式组的解集是：， ∴原不等式组的整数解为：、． 8．解不等式组，并在数轴上表示其解集． 【答案】解集为，数轴见解析 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 在数轴上表示为    不等式组的解集为． 9．解方程组或不等式组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ，得：， 解得， 将代入①，得：， 解得， ∴方程组的解为； （2） 解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为． 四、方程与不等式组的巧妙融合 10．若关于x，y的二元一次方程组 (1)若，求a的取值范围； (2)若x，y满足方程，求a的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ①＋②,得：， 即， ∵， ∴， 解得； （2）由（1）可得：， ∵， ∴，解得． 11．已知关于、的方程组． (1)求方程组的解(用含的代数式表示)； (2)若方程组的解满足条件，且．求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ①×3＋②，得：， 解得：， 把代入②，得：， 解得：， 则方程组的解是． （2）根据题意，得， 解得：． ∴的取值范围是． 12．已知关于x，y的二元一次方程组（m是常数）． (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)若方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 根据题意，得 ②＋③，得， 解得：．     代入③，得．     把代入①，得，     ∴． （2）②－①，得，     ∵， ∴，     ∴． 五、二元一次方程组的特殊解法 13．已知有理数m，n满足，且，求k的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于m，n的方程组，得到m，n用含k的代数式表示，再代入，就可以求k的值； 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，利用得到的式子与的等量关系，求k的值； 丙同学：先解方程组，再求k的值． 请选择其中一名同学的思路，解答此题． 【答案】见解析 【详解】解：选择丙同学， ， 解得， 将代入， 求得， 14．在解二元一次方程组时，我们常常也会采用了一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即③，其次把方程①代入③得：即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为．请你解决以下问题： (1)你能否尝试用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知满足方程组； （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求出这个方程组的所有整数解． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）-4；（Ⅱ）和 【详解】（1）解：将方程②变形：， 即③． 把方程①代入③得：， 解得， 把代入方程①，得， 所以方程组的解为； （2）（Ⅰ）由①得：③， 将③代入方程②得：， ；              （Ⅱ）由（Ⅰ）得， 与是整数， 或或或， 由（Ⅰ）可求得， 和符合题意， 故原方程组的所有整数解是和． 15．阅读下列材料： 解方程组： 解：由①得 x﹣y＝1  ③， 将③代入②，得 4×1﹣y＝5， 解这个一元一次方程，得 y＝﹣1 从而求得． 这种思想被称为“整体思想”．请用“整体思想”解决下面问题： (1)解方程组：； (2)在（1）的条件下，若x，y是△ABC两条边的长，且第三边的长是奇数，求△ABC的周长． 【答案】(1) (2)16或18或20 【详解】（1）解： 由①得：2x﹣3y＝2③， 将③代入②得：1+2y＝9，即y＝4， 将y＝4代入③得：x＝7， 则方程组的解为． （2）解：∵△ABC两条边长是7和4， ∴第三边长小于11并且大于3， ∵第三边的长是奇数， ∴第三边长是5或7或9， ∴△ABC的周长是7+4+5＝16 或7+4+7＝18 或7+4+9＝20． ∴△ABC的周长为16或18或20． 六、难点：乘法公式与图形的融合——数形结合思想 16．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图，可得等式：． (1)由图可得等式： ． (2)利用（）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，，求的值； (3)利用图中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ； （3）如图所示： 17．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积． 例如，由图1，可得等式：．    (1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． (3)如图3，将两个边长分别为c和d的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)45； (3)20． 【详解】（1）大正方形的面积可表示为，也可表示为．由此可得结论：． （2）∵，， ∴． （3）∵，， ∴ ． 七、将错就错来改错——看错类：解二元一次方程组 18．甲、乙两位同学在解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①，解得；乙看错了②，解得，求a、b值． 【答案】， 【详解】解：把代入方程②得③． 把代入方程①得④， 联立方程③④可得方程组， 解得：． ∴，． 19．解方程组时，一学生把 c 看错而得到，而正确的解是，求a，b，c 的值． 【答案】a=4，b=5，c=﹣2 【详解】解：据题意得， 解这个方程组，得：， 把代入cx－7y=8， 得3c+14=8，解得：c=﹣2． ∴a=4，b=5，c=﹣2． 八、期末经典题型：因式分解 20．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）， ， ． 21．将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 22．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 九、难点：定义类新运算 24．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：______，______； (2)若，则x的取值范围为______； (3)已知，求x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴． 故答案为：， （2）解：∵ ∴ 解得： 故答案为：． （3）解：分两种情况， 当，即时， 由可得： 解得（舍去）； 当，即时， 由可得： 解得 综上所述，x的取值范围． 25．定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)如果，求的取值范围； (2)如果，求的值． 【答案】(1)的取值范围为： (2)的值为或 【详解】（1）解：∵ ∴， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∴的取值范围为：． （2）解：， ①当时，， ∴， 去括号得，， 合并同类项，移项得，， 系数化为得，， ∵当时，， ∴，符合题意； ②当时，， ∴， 去括号得，， 合并同类项，移项得，， 系数化为得，， ∵当时，， ∴，符合题意； 综上所述，的值为或． 26．当a，b都是实数，且满足，就称点为“完美点”． (1)判断点是否为“完美点”，并说明理由． (2)已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点是“完美点”，请说明理由． 【答案】(1)A（2，3）不是完美点．理由见解析 (2)m=．理由见解析 【详解】（1）解：A（2，3）不是完美点．理由如下： 令， 解得 ， ∵， ∴A（2，3）不是完美点． （2）解：解关于x，y的方程组， 解得， 解关于a，b的方程组， 解得， ∵， ∴， ∴m=， ∴当m=时，点B（x，y）是完美点． 27．若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为______； (2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【答案】(1) (2)（或） (3) 【详解】（1）∵， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为， 故答案为：； （2）∵方程的“相伴系数对”为， ∴该方程为， ∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， 解得， ∴， 即； （3）将关于、的二元一次方程变形 ∴“相伴系数对”为， ∵该方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， ∴， ∴ ∴． 十、易错考点：化简求值——灵活运用乘法公式，注意符号的变化 28．先化简，再求值：，其中 【答案】，-2 【详解】解：原式=                                          当时，原式． 29．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【详解】解：原式 当，时，上式 30．先化简，再求值：，其中． 【答案】；7 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 31．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【详解】解： ， 当，时， 原式． 32．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ； ， ， 解得：； 当，时， 原式． 33．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】 当时 原式 34．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 当，时， 原式． 35．先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【详解】解： ， ∵，，， ∴，解得，， ∴原式． 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$