6.3.2二项式系数的性质导学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.2　二项式系数的性质 【教学目标】 1.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点) 2.理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点) 【核心素养】 1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养． 2.借助二项式系数的性质解题，提升数学运算的素养． 【知识清单】 知识点　二项式系数的性质 (1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与 的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C. (2)增减性与最大值：当k＜时，二项式系数C随k的增加而 ．由对称性知当k>时，C随k的增加而 ，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数 与 相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和 ①C＋C＋C＋…＋C＝2n； ②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝ ． 【牛刀小试】 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C. (　　) (2)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同． (　　) 2.已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　) A．11 B．10 C．9 D．8 3.(2－x)10的展开式中的各项系数和为________． 【方法点拨】 考点一 　求展开式的系数和 【例1】　设(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022·x2 022(x∈R). (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 022的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 021的值； 探究：(变设问)在本例条件不变的情况下，求下列各式的值． (1) a2＋a4＋a6＋…＋a2 022； (2) a1＋2a2＋3a3＋…＋2 022a2 022. 【变式训练1】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|的值． 考点二 二项式系数性质的应用 【例2】　已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 【变式训练2】已知的展开式中前3项的系数为等差数列． (1)求展开式中含x2的项； (2)求展开式中系数最大的项． 考点三　利用二项式定理证明整除问题或求余数 【例3】　(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除； (2)求C＋C＋…＋C除以9的余数． 【变式训练3】(1)用二项式定理证明：32n＋3－24n＋37能被64整除； 【方法规律总结】 1.二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 2． 二项式系数与系数的最大值 （1）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． （2）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得． （3）求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r＋1项系数最大，应用解出r，即得系数的最大项． 3．利用二项式定理解决整除问题的基本思路 利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除．因此，一般先将被除式化为含有相关除式的二项式，再展开，此时常采用“配凑法”“消去法”，结合整除的有关知识来处理． 4．利用二项式定理求余数的注意点 求余数时，要注意余数的范围，即余数大于零且小于除数．利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意进行转化． 【核心素养提升】 1．怎样确定二项式系数的最大值？ [提示]　n为偶数时，展开式的中间一项的二项式系数C最大；n为奇数时，展开式中间两项的二项式系数C，C最大． 2．在项的系数均为正的前提