6.3.1二项式定理导学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3　二项式定理 6.3.1　二项式定理 【教学目标】 1.能用计数原理证明二项式定理． 2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(重点) 3.能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点) 【核心素养】 1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养． 2.借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算素养． 【知识清单】 知识点 二项式定理 (a＋b)n＝ ，n∈N*. (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共 有 项． (3)二项式系数：各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数． 知识点2　二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第 项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝ ． 【牛刀小试】 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　) (2)在二项式定理公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　) 2.C·2n＋C·2n－1＋…＋C·2n－k＋…＋C等于(　　) A．2n B．2n－1 C．3n D．1 3.(1)(1－x)10展开式中x3项的系数为(　　) A．－720 B．720 C．120 D．－120 (2)(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为______，第3项的二项式系数为________． 【方法点拨】 考点一 二项式的展开式 【例1】　(1)求的展开式； (2)化简(x－2)5＋5(x－2)4＋10(x－2)3＋10(x－2)2＋5(x－2). 探究：将本例(1)改为求的展开式． 【变式训练1】(1)用二项式定理展开； (2) 化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC. 考点二 求展开式中的特定项 【例2】　已知展开式中第3项的系数比第2项的系数大162. (1)求n的值； (2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数． 探究：1．(变设问)在本例条件不变的情况下，求二项展开式的常数项． 2． (变设问)在本例条件不变的情况下，求二项展开式的所有有理项． 【变式训练2】 1.在的展开式中，含x－2的项的二项式系数为________． 2．在二项式(n≥2，n∈N*)的展开式中，前3项的系数和为49. (1)求正整数n的值； (2)求出展开式中常数项． 考点三 二项式定理的灵活应用 【例3】　(1)＋的展开式中的常数项为(　　) A．32 B．34 C．36 D．38 (2)(x＋y)(2x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A．80 B．120 C．240 D．320 【变式训练3】 (1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________． (2)(x2＋2)的展开式中的常数项为________． 【方法规律总结】 1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1.(2)求含xk的项(或xpyq的项).(3)求常数项．(4)求有理项． 2．求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项). (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解． (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 3．两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．(3)分别求解再相乘，求和即得． 4．三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性． 【核心素养提升】 1．你能写出本节课所学的公式吗？ [提示]　①二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn. ②二项展开式的通项：第k＋1项Tk＋1＝Can－kbk. 2．你能写出(a－b)n的展开式的通项吗？ [提示]　Tk＋1＝(－1)kCan－kbk. 3．(a＋b)n与(