6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学案 学习过程 （1） 情境引入 激发兴趣 在数学学习和日常生活中，我们经常会遇到类似“共有多少种情况”的计数问题.例如: (1) 一个由个元素组成的集合,共有多少个不同的子集? (2) 由个数字组成的密码锁,如图所示,如果忘记了密码,最多要测试多少次才能打开密码锁? (3) 有位同学和 位老师站成一排照相,如果老师要站在正中间,如图所示,则有多少种不同的站法? 你能回答上述问题吗?对于比较简单的计数问题,我们可以通过列举法(画树状图、列表格等)求得结果,例如上述的问题(1)；但是，如果问题比较复杂，那么只借助列举法可能就难以求得问题的答案了，例如上述的问题（2）和（3）.有没有其他方法可以帮助我们计数呢?答案是肯定的. 【学生活动】问题(1)学生可以利用初中学习的列举法来解决，其子集按所含元素个数来分析，有个类型．而问题(2)和(3)学生也可以用画树状图的方法来解决,但比较复杂,与初中时遇到的问题有所不同. （2） 问题探究 抽象方法 思考１：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 探究１：你能说一说这个问题的特征吗？ 首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示．因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同.这两类号码数相加就得到号码的总数． 上述计数过程的基本环节是: (1) 确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类； (2) 分别计算各类号码的个数； (3) 各类号码的个数相加，得出所有号码的个数． 一般地，有如下分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法． 注意：两类不同方案中的方法互不相同． 故： 例 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1． 如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择? 探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？ 分类加法计数原理 完成一件事，如果有类办法，且：第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法． 思考：用前个大写英文字母和这个阿拉伯数字，以，，…，，，，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 探究：你能说一说这个问题的特征吗？ 上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成．因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的． 一般地，有如下分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法． 例　某班有男生名、女生名，从中任选男生和女生各名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情需要个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？ 分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成个步骤，且：做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法． 例 书架的第层放有本不同的计算机书，第层放有本不同的文艺书，第层放有本不同的体育书． (1) 从书架上任取本书，有多少种不同取法？ (2) 从书架的第层、第层、第层各取本书，有多少种不同取法？ 例　要从甲、乙、丙幅不同的画中选出幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？ （3） 知识迁移 类比内化 思考：乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计数原理也有这种类似的关系吗？ 乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理也可以看成是特定条件下的分类加法计数原理的简化，一方面，先分为“甲在左”“乙在左”“丙在左”三类，然后再计算每一类中的挂法，即“甲乙、甲丙”“乙甲、乙丙”“丙甲、丙乙”共有种挂法．另一方面，由于每一类的挂法都是种，因此可以简化为“分步”：第一步，选左边的画（选法种）；第