江苏盐城2024年中考数学总复习压轴特训—《新定义专题特训（二）》原卷+解析卷

江苏盐城2024年中考数学总复习压轴特训—《新定义专题特训（二）》 一．选择题 1、定义一种运算☆，其规则为a☆b=，根据这个规则，计算2☆3的值是（　　） ＋ A. B. C.5 D.6 2、定义[ ， ， ]为函数 ＝ EMBED Equation.DSMT4 2+ 的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（ ）； ②当m＞0时，函数图象截 轴所得的线段长度大于 ；③当m＜0时，函数在＞ 时，随 的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（　　） A、①②③④ B、①②④ C、①③④ D、②④ 3．规定一种新的运算“JQx→+∞”，其中A和B是关于x的多项式．当A的次数小于B的次数时，JQx→+∞＝0；当A的次数等于B的次数时，JQx→+∞的值为A、B的最高次项的系数的商．当A的次数大于B的次数时，JQx→+∞不存在．例：JQx→+∞＝0，JQx→+∞．若，则JQx→+∞的值为（ ） A．0 B． C． D．不存在 4．定义：在，D，E分别是两边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，则称为的中内弧.如图1，是的一条中内弧，如图2，在中，，D，E分别是AB，AC的中点.则所有中内弧所组成的图形（图中阴影部分表示）为（　　） A．B．C．D． 5．如图矩形与正方形的形状有差异，我们将矩形与正方形的接近程度称为矩形的“接近度”，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，我们将矩形的“接近度”定义为，若∠BOC＝60°时，则矩形的“接近度”为（　　） A． B．3 C． D． 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 6．在平面直角坐标系中，点A在直线l上，以A为圆心，为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段，和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线l的“理想矩形”.例如，右图中的矩形为直线l的“理想矩形”.若点，则直线的“理想矩形”的面积为（　　） A．12 B． C． D． 7．百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形.关于凹四边形ABCD （如图），以下结论： ① ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④存在凹四边形ABCD ，有 .其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 8．我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 二．填空题 9.若定义 表示 ， 表示 ，则运算÷的结果为__________. 10、对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b= 例如4﹡2，因为4>2,所以4﹡2 .若 是一元二次方程 的两个根，则 ﹡ = 　　　　　 11.规定：logab(a>0，a≠1，b>0)表示a，b之间的一种运算． 现有如下的运算法则：logaan＝n，logNM＝(a>0，a≠1，N>0，N≠1，M>0)， 例如：log223＝3，log25＝，则log1001000＝________． 12. 规定：若 ， ，则 ．例如 ， ，则 ．已知 ， ，且 ，则 的最小值是______． 13．定义：如果两条线段将一个三角形分成 个互相没有重合部分的等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（如图1所示）．如图2，已知在 中， ， ， ，则 的三分线中，较短的那条长为 ．（只需写出一种情况即可）． 第13题图 第14题图 第16题图 14．定义：如果将一个三角形绕着它的一个角的顶点旋转后，使这个角的一边与另一边重叠，再将所旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边相互重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个三角形的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在 中， ， 是 以点 为转似中心的顺时针的一个转似三角形，那么以点A为转似中心的逆时针的另一个转似三角形 （点 分别与 对应），其中 边的长为 15.定义：P为 内一点，连接 ，在 和 中，如果存在一个三角形与 相似，那么就称P为 的自相似点，根据定义求解问题：已知在 中， 是 边上的中线，如果 的重心P恰好是该三角形的自相似点，那么 的余切值为 ． 16.如图，点 为y轴上一点， ，过点M作y轴的垂线l，与反比例函数 的图象交于点P．把直线l下方反比例函数的图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“G图象”．过y轴上另一点 作y轴垂线，与“G图象”交于点A、B．若 ，求m与n的数量关系是_____________________． 三．解答题 17.请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al－Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al－Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图①，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB＋BD.下面是运用“截长法”证明CD＝AB＋BD的部分证明过程． 证明：如图②，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG. ∵M是的中点， ∴MA＝MC. … 图① 图② 图③ 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图③，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是________． 18.如果三角形三边的长a、b、c满足＝b，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”． (1)如图①，已知两条线段的长分别为a、c(a<c)，用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a、c的“匀称三角形”(不写作法，保留作图痕迹)； (2)如图②，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB延长线于点E，交AC于点F.若，判断△AEF是否为“匀称三角形”？请说明理由．＝ 19.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F(n)＝. .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝ (1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1； (2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值． 20.已知点P(x0，y0)和直线y＝kx＋b，则点P到直线y＝kx＋b的距离d可用公式d＝计算． 例如：求点P(－1，2)到直线y＝3x＋7的距离． 解：因为直线y＝3x＋7，其中k＝3，b＝7，所以点P(－1，2)到直线y＝3x＋7的距离为d＝. ＝＝＝ 根据以上材料，解答下列问题： (1)求点P(1，－1)到直线y＝x－1的距离； (2)已知⊙Q的圆心Q坐标为(0，5)，半径r为2，判断⊙Q与直线y＝x＋9的位置关系并说明理由； (3)已知直线y＝－2x＋4与y＝－2x－6平行，求这两条直线之间的距离． 21．在平面直角坐标系 中， 的半径为 ，对于直线 和线段 ，给出如下定义：若线段 关于直线 的对称图形是 的弦 （ ， 分别为 ， 的对应点），则称线段 是 关于直线 的“对称弦” (1)如图，点 ， ， ， ， ， 的横、纵坐标都是整数．线段 ， ， 中，是 关于直线 的“对称弦”的是 ； (2) 是 关于直线 的“对称弦”，若点 的坐标为 ，且 ，求点 的坐标； (3)已知直线 和点 ，若线段 是 关于直线 的“对称弦”，且 ，直接写出 的值． 22．在平面直角坐标系 中，对于图形 与图形 给出如下定义： 为图形 上任意一点，将图形 绕点 顺时针旋转 得到 ，将所有 组成的图形记作 ，称 是图形 关于图形 的“关联图形”． (1)已知 ， ， ，其中 ． 若 ，请在图中画出点 关于线段 的“关联图形”； 若点 关于线段 的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出 的取值范围； (2)对于平面上一条长度为 的线段和一个半径为 的圆，点 在线段关于圆的“关联图形”上，记点 的纵坐标的最大值和最小值的差为 ，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出 的取值范围（用含 和 的式子表示）． 23．定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线 （n为常数）对称，则称该函数为“ 函数”． (1)在下列函数中，是“ 函数”的有 （填序号）． ① ；② ；③ ；④ (2)若关于x的函数 是“ 函数”，且图象与直线 相交于A，B两点，函数 图象的顶点为P，当 时，求h，k的值． (3)若关于x的函数 是 函数，且过点 ，当 时，函数的最大值 与最小值 的差为2，求t的值．． 24．定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．如图1，四边形 中， ， ，则四边形 叫作“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（    ） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 ②等补四边形 中，若 ，则 ； ③如图1，在四边形 中， 平分 ， ， ．求证：四边形 是等补四边形． (2)探究发现 如图2，在等补四边形 中， ，连接 ， 是否平分 ？请说明理由． (3)拓展应用 如图3，在等补四边形 中， ，其外角 的平分线交 的延长线于点 ， ， ，求 的长． 25．定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线 为抛物线 的“衍生直线”．如图1，抛物线 与其“衍生直线”交于A，B两点（点B在x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点 ． (1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标； (2)如图2，抛物线 的“衍生直线”与y轴交于点 ，依次作正方形 ，正方形 ，…，正方形 （n为正整数），使得点 ， ， ，…， 在“衍生直线”上，点 ， ， ，…， 在x轴负半轴上． ①直接写出下列点的坐标： ______， ______， ______， ______； ②试判断点 ， ，…， 是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 26．定义：若一个三角形的面积是另一个三角形面积的 倍，就说这个三角形是另一个三角形的“ 倍三角形”，另一个三角形是这个三角形的“ 分之一三角形”．如图1， 的中线 把三角形分成面积相等的两部分，即 和 的面积都是 面积的一半，所以 是 或 的“2倍三角形”， 和 都是 的“2分之一三角形”． (1)①如图2， 是 的“2倍三角形”，那么 是 的“________分之一三角形”； ②若点 是 的重心，连接 ， ，则 是 的“________倍三角形”； (2)在 中， ，分别延长边 ， 到点 ， ，连接 ．已知 ， 是 的“16倍三角形”．求证： 与 是相似三角形； (3)如图3，在矩形 中， ，连接 ，过点 作 于点 ，点 ， 分别是线段 ， 上的动点，连接 ， ．已知 是 的“4倍三角形”，求 的最小值． 27．【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【问题探究】：（1）如图①，已知矩形 是“等邻边四边形”，则矩形 ____（填“一定”或“不一定”）是正方形； （2）如图②，在菱形 中， ， ，动点 、 分别在 、 上（不含端点），若 ，试判断四边形 是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；并直接写出四边形 的周长的最小值； 【尝试应用】：（3）现有一个平行四边形材料 ，如图③，在 中， ， ， ，点 在 上，且 ，在 边 上有一点 ，使四边形 为“等邻边四边形”，请直接写出此时 的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏盐城2024年中考数学总复习压轴特训—《新定义专题特训（二）》 一．选择题 1、定义一种运算☆，其规则为a☆b=，根据这个规则，计算2☆3的值是（　　） ＋ A. B. C.5 D.6 【答案】A 【解析】∵a☆b= ，∴2☆3= ．故选A． 2、定义[ ， ， ]为函数 ＝ EMBED Equation.DSMT4 2+ 的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（ ）； ②当m＞0时，函数图象截 轴所得的线段长度大于 ；③当m＜0时，函数在＞ 时，随 的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（　　） A、①②③④ B、①②④ C、①③④ D、②④ 【答案】B 【解析】根据定义可得函数 ＝2m 2+（1﹣m） +（﹣1﹣m），①当m＝﹣3时，函数解析式为 ＝﹣6 2+4 +2，∴ ， ∴顶点坐标是（ ），正确；②函数 ＝2m 2+（1﹣m） +（﹣1﹣m）与x轴两交点坐标为（1，0），（﹣ ，0），当m＞0时，1﹣（﹣ ）＝，正确； ③当m＜0时，函数 ＝2m 2+（1﹣m） +（﹣1﹣m）开口向下，对称轴 ，错误；④当m≠0时， ＝1代入解析式 ＝0，则函数一定经过点（1，0），正确． 故选B． 3．规定一种新的运算“JQx→+∞”，其中A和B是关于x的多项式．当A的次数小于B的次数时，JQx→+∞＝0；当A的次数等于B的次数时，JQx→+∞的值为A、B的最高次项的系数的商．当A的次数大于B的次数时，JQx→+∞不存在．例：JQx→+∞＝0，JQx→+∞．若，则JQx→+∞的值为（ ） A．0 B． C． D．不存在 【答案】C 【解析】＝÷＝• ＝，∴A的次数等于B的次数，∴JQx→+∞＝，故选：C． 4．定义：在，D，E分别是两边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，则称为的中内弧.如图1，是的一条中内弧，如图2，在中，，D，E分别是AB，AC的中点.则所有中内弧所组成的图形（图中阴影部分表示）为（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】：连接，过点A作交于点O，如图，∵，∴ ∵D，E分别是AB，AC的中点， ，∴，， ∴，.∵，∴，∴，∴以为直径的圆与相切，即此条弧是最下方符合题意的弧.连接. ∵，，∴，∴以点F为圆心，以为半径的圆与相切，即此条弧是最上方符合题意的弧，故答案为：C. 5．如图矩形与正方形的形状有差异，我们将矩形与正方形的接近程度称为矩形的“接近度”，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，我们将矩形的“接近度”定义为，若∠BOC＝60°时，则矩形的“接近度”为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】B 【解析】∵矩形ABCD，∴AO=CO=BO=DO，∠ABC=90°，∵∠BOC=60°，∴∠OAB=∠OBA=∠BOC=×60°=30°，在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC=a，则AC=2a，，∴，故答案为：B. 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 6．在平面直角坐标系中，点A在直线l上，以A为圆心，为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段，和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线l的“理想矩形”.例如，右图中的矩形为直线l的“理想矩形”.若点，则直线的“理想矩形”的面积为（　　） A．12 B． C． D． 【答案】B 【解析】过点A作轴于点F，连接AO、AC，如图. 点的坐标为，，，.点在直线上， ，解得.设直线与轴相交于点，当时，，点，，，，.在中，.在中，.所求“理想矩形” 面积为；故答案为：B. 7．百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形.关于凹四边形ABCD （如图），以下结论： ① ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④存在凹四边形ABCD ，有 .其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【解析】①如图1，连接AC并延长到点E. 即 所以结论①正确；②如图2，连接BD，作直线AC.∴点A在线段BD的垂直平分线上.∴点C在线段BD的垂直平分线上.∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上.∴直线AC是线段BD的垂直平分线.所以结论②正确；③如图③， 由①可知， 当 时，有 因再无其它已知条件证得BC=CD，所以结论③错误；④如图④，假设存在凹四边形ABCD，连接AC.当 时， ∴AB∥CD，BC∥DA.∴四边形ABCD是平行四边形.∵平行四边形是凸四边形，这与“四边形ABCD是凹四边形”的假设相矛盾. ∴不存在凹四边形ABCD，使得 所以结论④错误.故答案为：A. 8．我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【解析】设等边三角形的边长为a，则，满足奇异三角形的定义，等边三角形一定是奇异三角形，故①正确；在中，，∵， ∴，，若是奇异三角形，一定有， ∴，∴，得．∵，∴， ∴，故②错误； 在中，，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在中，；在中，．∵D是半圆的中点，∴，∴AD=BD， ∴，又∵，，∴．∴ΔACE是奇异三角形，故③正确；由③可得ΔACE是奇异三角形，∴． 当ΔACE是直角三角形时，由②可得或， （Ⅰ）当时，，即， ∵，∴，∴． （Ⅱ）当时，，即， ∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°，∴∠AOC的度数为60°或120°， 故④错误；故答案为：B． 二．填空题 9.若定义 表示 ， 表示 ，则运算÷的结果为__________. 【答案】 【解析】由题意可得： = = ．故选A． 10、对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b= 例如4﹡2，因为4>2,所以4﹡2 .若 是一元二次方程 的两个根，则 ﹡ = 　　　　　 【答案】3或-3 【解析】（1）当 ， ＝3时， ﹡ = ＝－3；（2）当 ， ＝2时， ﹡ = ＝3； 11.规定：logab(a>0，a≠1，b>0)表示a，b之间的一种运算． 现有如下的运算法则：logaan＝n，logNM＝(a>0，a≠1，N>0，N≠1，M>0)， 例如：log223＝3，log25＝，则log1001000＝________． 【答案】 　 【解析】根据新运算法则，得log1001000＝. ＝＝ 12. 规定：若 ， ，则 ．例如 ， ，则 ．已知 ， ，且 ，则 的最小值是______． 【答案】10 【解析】由新定义得： ， EMBED Equation.DSMT4 的图象开口向上，对称轴为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 当 时， 取最小值，最小值为： ，故答案为：10． 13．定义：如果两条线段将一个三角形分成 个互相没有重合部分的等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（如图1所示）．如图2，已知在 中， ， ， ，则 的三分线中，较短的那条长为 ．（只需写出一种情况即可）． 【答案】 【解析】如图2所示， 、 就是所求的三分线．设 ，则 ， ，此时 ， ，设 ， ， ， ， ， ，所以联立得方程组 ，解得 ，即较短的那条长为 ．故答案为： 第13题图 第14题图 第16题图 14．定义：如果将一个三角形绕着它的一个角的顶点旋转后，使这个角的一边与另一边重叠，再将所旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边相互重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个三角形的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在 中， ， 是 以点 为转似中心的顺时针的一个转似三角形，那么以点A为转似中心的逆时针的另一个转似三角形 （点 分别与 对应），其中 边的长为 【答案】 【解析】如图所示，由题意可得， ，∴ ，∵ ，∴ ，解得 ，故答案为： 15.定义：P为 内一点，连接 ，在 和 中，如果存在一个三角形与 相似，那么就称P为 的自相似点，根据定义求解问题：已知在 中， 是 边上的中线，如果 的重心P恰好是该三角形的自相似点，那么 的余切值为 ． 【答案】 【解析】如图，中线 交于点P，过点E作 于E，易证 不可能与 相似，∴ 与 相似，即 ，且 ，∴ ，即 ；∵P是重心，∴ ；∵ 是斜边上中线，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ；设 ，则 ，由勾股定理得 ；∵E为 中点， ，∴ ，由重心性质得： ；∵ 为中线，∴ ，即∴ ，由勾股定理得： ，在 中， ；故答案为： ． 16.如图，点 为y轴上一点， ，过点M作y轴的垂线l，与反比例函数 的图象交于点P．把直线l下方反比例函数的图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“G图象”．过y轴上另一点 作y轴垂线，与“G图象”交于点A、B．若 ，求m与n的数量关系是_____________________． 【答案】 或 【解析】设 关于 的对称点为 ，当 时， 时，如图， ， EMBED Equation.DSMT4 在 上，则 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ，将 代入 得 ， 即 ， ，当 时，如图，同理可得 ， EMBED Equation.DSMT4 在 上，则 ， AN＝2BN， ，将 代入 得 ， 即 ， ．故答案为： 或 ． 三．解答题 17.请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al－Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al－Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图①，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB＋BD.下面是运用“截长法”证明CD＝AB＋BD的部分证明过程． 证明：如图②，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG. ∵M是的中点， ∴MA＝MC. … 图① 图② 图③ 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图③，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是________． 解：(1)∵∠A＝∠C，CG＝AB.∴△MBA≌△MGC(SAS)，∴MB＝MG.又∵MD⊥BC，∴BD＝GD，∴CD＝CG＋GD＝AB＋BD. (2)2＋2.，所以△BCD周长为BC＋CD＋DE＋BE＝2＋2中点，由材料中折弦定理易得BE＝DE＋CD，在Rt△ABE中可得BE＝.【解法提示】折线BDC为⊙O的一条折弦，由题意知A为 18.如果三角形三边的长a、b、c满足＝b，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”． (1)如图①，已知两条线段的长分别为a、c(a<c)，用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a、c的“匀称三角形”(不写作法，保留作图痕迹)； (2)如图②，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB延长线于点E，交AC于点F.若，判断△AEF是否为“匀称三角形”？请说明理由．＝ 解：(1)作图如解图①. 图① 【作法提示】如解图所示，作线段AB＝c，延长AB至点C，使BC＝a，作线段AC的中垂线交AC于点E，根据定义可知b＝，所以b＝AE，以B为圆心，AE长为半径画弧，以A为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD、BD，则△ABD即为所作“匀称三角形”. (2)△AEF是“匀称三角形”．理由如下：如解图②， ，则b＝ 图② 连接AD,OD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC中点，∵O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DF切⊙O于D点，∴OD⊥DF，∴EF⊥AF，过点B作BG⊥EF于点G，易证Rt△BDG≌Rt△CDF(AAS)，∴BG＝CF，∵，∵BG∥AF(或Rt△BEG∽Rt△AEF)， ＝，∴＝ ∴＝4k＝EF，∴△AEF是“匀称三角形”．＝.在Rt△AEF中，设AE＝5k，则AF＝3k，由勾股定理得，EF＝4k，∴＝＝ 19.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F(n)＝. .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝ (1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1； (2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值． 解： (1)证明：∵m是一个完全平方数，∴m＝p×q，当p＝q时，p×q就是m的最佳分解 ∴F(m)＝＝1. (2)解：由题意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝x＋2(y≤9)，∴t＝10x ＝ ＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)，则所有的“吉祥数”为：13，24，35，46，57，68，79共7个，∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，∴F(13)＝.，∴“吉祥数”中F(t)的最大值为：F(35)＝，F(79)＝，F(68)＝，F(57)＝，F(46)＝，F(35)＝＝，F(24)＝ 20.已知点P(x0，y0)和直线y＝kx＋b，则点P到直线y＝kx＋b的距离d可用公式d＝计算． 例如：求点P(－1，2)到直线y＝3x＋7的距离． 解：因为直线y＝3x＋7，其中k＝3，b＝7，所以点P(－1，2)到直线y＝3x＋7的距离为d＝. ＝＝＝ 根据以上材料，解答下列问题： (1)求点P(1，－1)到直线y＝x－1的距离； (2)已知⊙Q的圆心Q坐标为(0，5)，半径r为2，判断⊙Q与直线y＝x＋9的位置关系并说明理由； (3)已知直线y＝－2x＋4与y＝－2x－6平行，求这两条直线之间的距离． .解：(1)∵直线y＝x－1，其中k＝1，b＝－1，∴点P(1，－1)到直线y＝x－1的距离为：d＝. ，∴这两条直线之间的距离为2＝2＝＝x＋9的位置关系为相切． (3)在直线y＝－2x＋4上任意取一点P，当x＝0时，y＝4，∴P(0，4)，∵直线y＝－2x－6，其中k＝－2，b＝－6，∴点P(0，4)到直线y＝－2x－6的距离为d＝＝2，又∵⊙Q的半径r为2，∴⊙Q与直线y＝＝＝x＋9的距离为d＝，b＝9，∴圆心Q(0，5)到直线y＝x＋9，其中k＝. (2)相切．理由如下：∵直线y＝＝＝＝ 21．在平面直角坐标系 中， 的半径为 ，对于直线 和线段 ，给出如下定义：若线段 关于直线 的对称图形是 的弦 （ ， 分别为 ， 的对应点），则称线段 是 关于直线 的“对称弦” (1)如图，点 ， ， ， ， ， 的横、纵坐标都是整数．线段 ， ， 中，是 关于直线 的“对称弦”的是 ； (2) 是 关于直线 的“对称弦”，若点 的坐标为 ，且 ，求点 的坐标； (3)已知直线 和点 ，若线段 是 关于直线 的“对称弦”，且 ，直接写出 的值． 解：（1）如图所示：∴ 关于直线 的“对称弦”的是线段 ； （2）设点 ， 关于直线 的对称点为 , ，∴直线 垂直平分 ， ，∵ 是 关于直线 的“对称弦”，∴ , 在 上，∵点 的坐标为 ，即点 在 上，∵直线 经过圆心 ，∴点 也在 上，∵ ，故点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，如图： 与 交于点 与点 ； ∵ ，即 是等边三角形，故点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ，同理，点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ，综上，点 的坐标为 或 ； （3）设点 关于直线 的对称点为 ,∴直线 垂直平分 ， ∵线段 是 关于直线 的“对称弦”， ∴ 在 上，由（2）可得点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，又∵ ，即 ；令直线 与 ， 轴交于点 ， ，过点 作 直线 交于点 ，点 作 轴交于点 ，如图：令 ，则 ，即点 ， ,令 ，则 ，即点 ， ，则 ，则 ， ∴ ，∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ，∴ ， ， 即点 的坐标为 ，∵ ， ； ∴ ，整理得： ，解得： 或 ，故 的值为 或 ． 22．在平面直角坐标系 中，对于图形 与图形 给出如下定义： 为图形 上任意一点，将图形 绕点 顺时针旋转 得到 ，将所有 组成的图形记作 ，称 是图形 关于图形 的“关联图形”． (1)已知 ， ， ，其中 ． 若 ，请在图中画出点 关于线段 的“关联图形”； 若点 关于线段 的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出 的取值范围； (2)对于平面上一条长度为 的线段和一个半径为 的圆，点 在线段关于圆的“关联图形”上，记点 的纵坐标的最大值和最小值的差为 ，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出 的取值范围（用含 和 的式子表示）． 解：（1） 如图所示：线段 即为所求； 如图：当 时，点 关于线段 的“关联图形”与 轴恰有公共点，∴ 时，点 关于线段 的“关联图形”与 轴有公共点；当 时，点 关于线段 的“关联图形”与 轴恰有公共点，∴ 时，点 关于线段 的“关联图形”与 轴有公共点；综上所述： 或 ； （2）如图，画出分析图，如图所示，线段 的长度为 ，圆 的半径为 ，点 分别绕点 顺时针旋转 得到 ，分析可知 且相似比为 ，可得圆 的半径均为 ，随意转动图，可得 ． 23．定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线 （n为常数）对称，则称该函数为“ 函数”． (1)在下列函数中，是“ 函数”的有 （填序号）． ① ；② ；③ ；④ (2)若关于x的函数 是“ 函数”，且图象与直线 相交于A，B两点，函数 图象的顶点为P，当 时，求h，k的值． (3)若关于x的函数 是 函数，且过点 ，当 时，函数的最大值 与最小值 的差为2，求t的值．． 解：（1）由定义知， 整个图象关于 成轴对称，符合题设的条件，其他都不符合新定义的要求．故答案为：④； （2）如图：根据题意， ，则 ， ， 函数的 图象与直线 相交于 、 两点，直线 与 轴交于点 ， 设 ， ，联立两个函数的表达式得： ，整理得： ， ， ，且 ， 则 ，根据该函数图象关于直线 对称得 ， ， ， ， 、 、 是等腰直角三角形， 点 到 的距离为 ， ，由 得 ， （舍去）， ； （3）由题意，得 ，解得 ， 此“ 函数”为 ， ①当 时，当 时， ，当 时， ， ，解得： ； ②当 ，即 时，当 时， ，当 时， ， 则 ，解得： ； ③当 时，当 时， ，当 时， ，则 ，解得： （舍去）； ④当 时，当 时， ，当 时， ，则 ， 解得： （舍去）；综上所述： 或 ． 24．定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．如图1，四边形 中， ， ，则四边形 叫作“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（    ） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 ②等补四边形 中，若 ，则 ； ③如图1，在四边形 中， 平分 ， ， ．求证：四边形 是等补四边形． (2)探究发现 如图2，在等补四边形 中， ，连接 ， 是否平分 ？请说明理由． (3)拓展应用 如图3，在等补四边形 中， ，其外角 的平分线交 的延长线于点 ， ， ，求 的长． 解：（1）① 平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补， 菱形不一定是等补四边形； 矩形对角互补，但邻边不一定相等， 矩形不一定是等补四边形； 正方形四个角是直角，四条边相相等， 正方形一定是等补四边形，故选：D； ② 等补四边形对角互补， ，设 ，∴ ，解得 ，∴ ，∴∠A=180O-∠C=90O，故答案为： ； ③证明：在 上截取 ，连接 ，如图1，在 和 中， ， ， ， ． ， ． ． ， ，又 ，四边形 是等补四边形； （2）解： 平分 ，理由如下，如图2，过点 分别作 于 ， 于 ，则 ， 四边形 是等补四边形， ， 又 ， ， ， ， ， 是 的平分线（在角的内部且到角两边距离相等的点在角平分线上），即 平分 ． （3）解：连接 ，∵等补四边形 中， ，由（2）知， 平分 ， ∵四边形 是等补四边形，∴ ，又 ， ∴ ，∵ 是 的平分线，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，即 ，解得 ． 25．定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线 为抛物线 的“衍生直线”．如图1，抛物线 与其“衍生直线”交于A，B两点（点B在x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点 ．    (1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标； (2)如图2，抛物线 的“衍生直线”与y轴交于点 ，依次作正方形 ，正方形 ，…，正方形 （n为正整数），使得点 ， ， ，…， 在“衍生直线”上，点 ， ， ，…， 在x轴负半轴上． ①直接写出下列点的坐标： ______， ______， ______， ______； ②试判断点 ， ，…， 是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 解：（1） 抛物线为 ， ， “衍生直线”的表达式为 ． “衍生直线” 与x轴交于点B， 点B的坐标为 ． 抛物线 与x轴交于点 ， ， 抛物线的表达式为 ． 令 ，解得 或 ，把 代入 ，得 ， 点A的坐标为 ； （2）解：①对于 ，令 ，则 ，∴ ，∴ ．∵四边形 为正方形，∴ ，∴ ．∵点 ， ， ，…， 在“衍生直线”上，即在直线 上，∴ ，∴ ．同理可求出 ，…， ． 故答案为： ， ， ， ；②点 ， ，…， 在同一条直线上． 令 ， ，∴ ，∴ ， 这条直线的表达式为 ． 26．定义：若一个三角形的面积是另一个三角形面积的 倍，就说这个三角形是另一个三角形的“ 倍三角形”，另一个三角形是这个三角形的“ 分之一三角形”．如图1， 的中线 把三角形分成面积相等的两部分，即 和 的面积都是 面积的一半，所以 是 或 的“2倍三角形”， 和 都是 的“2分之一三角形”． (1)①如图2， 是 的“2倍三角形”，那么 是 的“________分之一三角形”； ②若点 是 的重心，连接 ， ，则 是 的“________倍三角形”； (2)在 中， ，分别延长边 ， 到点 ， ，连接 ．已知 ， 是 的“16倍三角形”．求证： 与 是相似三角形； (3)如图3，在矩形 中， ，连接 ，过点 作 于点 ，点 ， 分别是线段 ， 上的动点，连接 ， ．已知 是 的“4倍三角形”，求 的最小值． 解:（1）①∵ 是 的“2倍三角形”，∴ 的面积是 面积的2倍，∴ 的面积是 面积的3倍，∴ 是 的“3分之一三角形”； ②如图所示，点D是 的中点，点O是是 的重心∵点D是 的中点 ∴设 ∴ ∵点O是 的重心∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 是 的3倍∴ 是 的“3倍三角形”； （2）如图所示，连接 ，∵ ∴ ∴ ∵ 是 的“16倍三角形”∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ，即 ∵ ， ∴ ∴ ， ∴ 又∵ ∴ ； （3） 如图所示，作点C关于 的对称点 ，点Q关于 的对称点 ，连接 ， ， ∵ 是 的“4倍三角形”，∴ 的面积是 面积的4倍∴ 的面积是 面积的4倍∴ 的面积是 面积的3倍 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ，即 ∴ ∵三角形ADE的面积是 面积的3倍∴ ∴ ∵点C关于 的对称点 ∴ ∵点C关于 的对称点 ，点Q关于 的对称点 ∴ ∴ ∴当点E，P， 三点共线时， 有最小值，即 的长度，∴当 时， 最小∵ ， ， ∴ ∴ 由对称性质可得， ∴ ∴ ．∴ 的最小值为 ，∴ 的最小值为 ． 27．【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【问题探究】： （1）如图①，已知矩形 是“等邻边四边形”，则矩形 ____（填“一定”或“不一定”）是正方形； （2）如图②，在菱形 中， ， ，动点 、 分别在 、 上（不含端点），若 ，试判断四边形 是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；并直接写出四边形 的周长的最小值； 【尝试应用】： （3）现有一个平行四边形材料 ，如图③，在 中， ， ， ，点 在 上，且 ，在 边 上有一点 ，使四边形 为“等邻边四边形”，请直接写出此时 的长． 解：（1） 矩形 是“等邻边四边形”， 四边形 的邻边相等， 矩形 一定是正方形；故答案为：一定； （2）如图②中，结论：四边形 是等邻四边形．理由：连接 ． 四边形 是菱形， ， ， ， 都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是等邻边四边形， ， ， 的值最小时，四边形 的周长最小，根据垂线段最短可知，当 时， 的值最小，此时 ， 四边形 的周长的最小值为 ； （3）如图③中，过点 作 于 ，过点 作 于 ，则四边形 是矩形． ， ， ， ， ， ， ①当 时，四边形 为“等邻边四边形”；②当 时，四边形 为“等邻边四边形”，设 ，在 中， ， ， ， ；③当 时，四边形 为“等邻边四边形”，此时点 与 重合， ，综上所述： 的长为 或 或3． 学科网（北京）股份有限公司 $$