衔接作业(3) 实际问题与一元二次方程-【金牌题库】2024年八年级数学暑假作业（人教版）

衔接作业(3) 　 实际问题与一元二次方程 知识点一:列一元二次方程解实际问题的一般 步骤 1. 列方程解实际问题的实质 列方程解实际问题,就是先把实际问题抽 象为数学问题(即转化),然后通过解决数学问 题来解决实际问题. 2. 列一元二次方程解实际问题的一般步骤 (1)审:是指审清题意。 明确哪些是已知 量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系. (2)设:是指设元,也就是设未知数,设元又 分直接设元和间接设元. 所谓直接设元就是问 什么设什么;如果直接设元列方程比较难或列 出的方程比较复杂,这时可以考虑间接设元,间 接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但 更便于列出方程,因此间接设元也是常用的一 种方法. (3)列:列方程,这是关键一步,一般先找出 能够表达应用题全部含义的一个等量关系,然 后列代数式表示这个等量关系,就得到含有未 知数的等式,即方程. (4)解:解方程,求出未知数的值. (5)验:检验方程的解是否正确及能否使实 际问题有意义. (6)答:回答问题,一定要遵循“问什么答 什么怎样问就怎么答”的原则. 例 1:注意:为了使同学们更好地解答本题, 我们提供了一种解题思路,你可以依照这种思 路按下面的要求填空,完成本题的解答. 某村种的水稻 2015 年平均每公顷产 8 000 kg,2017 年平均每公顷产 9 680kg,求该村水稻 每公顷产量的年平均增长率. 解题方案: 设该村水稻每公顷产量的年平均增长率 为 x. (1)用含 x 的代数式表示: ①2016 年种的水稻平均每公顷的产量为 　 　 　 　 　 　 . ②2017 年种的水稻平均每公顷的产量为 　 　 　 　 　 　 . (2)根据题意,列出相应方程　 　 　 　 　 　 . (3)解这个方程,得　 　 　 　 　 　 . (4)检验:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . (5)答:该村水稻每公顷产量的年平均增长 率为　 　 　 %. 答案:(1) ①8 000(1+x) kg　 ②8 000(1+ x) 2kg (2)8 000(1+x) 2 = 9 680 (3)x1 = 0. 1,x2 = -2. 1 (4)x1 = 0. 1,x2 = -2. 1 都是原方程的解,但 x2 = -2. 1 不符合题意,所以只取 x= 0. 1 (5)10 知识点二:列一元二次方程常见的实际问题 常见问题 列方程的依据 1. 行程问题 路程=速度×时间 2. 平 均 增 长率(降低 率)问题 a 为起始量,b 为终止量,n 为增长(或降低)的次数, 平均增长率公式:a(1+x) n = b(x 为平均增长率), 平均降低率公式:a(1-x) n = b(x 为平均降低率) 3. 传播问题 传播的第二轮可以抽象为一元二次方程,设 a 为传染 源数,x 为每个传染源传播的个数,则传播两轮后感 染总个数为 a(1+x) 2 4. 销售利 润问题 利润=售价-进价; 利润率= 利润 进价 ×100% = 售价-进价 进价 ×100%; 售价=进价×(1+利润率); 总利润=总售价-总成本=单价利润×总销售量 5. 几何图形 问题 几何图形的面积、周长公式和图形之间的等量关系 6. 存款利息 问题 本息和=本金+利息;利息=本金×利率×期数 7. 数字问题 两位整数=十位数字×10+个位数字; 三位整数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字 例 2:如图所示,要建一个面积为 150m2 的长方 形养鸡场,为了节约材料,养鸡场的一 边靠着原有的一面墙,墙长为 a m,另 三边用竹篱笆围成,如果竹篱笆的长 为 35 m,求养鸡场的长与宽. 解:设养鸡场与墙平行的一边长为 xm,则 其邻边长为 1 2 (35-x)m. 根据题意,得 1 2 (35-x) x= 150. 整理,得 x2 - 35x+ 300 = 0. 解得 x1 = 20,x2 = 15. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 45 当 a<15 时,无解;当 15≤a<20 时,有一解, 即养鸡场的长是 15m,宽是 10 m;当 a≥20 时, 有两解,即养鸡场的长是 20m,宽是 7. 5m 或长 是 15m,宽是 10m. 答:当 a<15 时,无法建出一个满足题意的 养鸡场;当 15≤a<20 时,养鸡场的长是 15m,宽 是 10m;当 a≥20 时,养鸡场的长是 20m,宽是 7. 5m 或长是 15m,宽是 10m. 例 3:一个两位数等于其各位数字之积的 3 倍,其十位数字比个位数字小 2,求这个两位数. 解:设个位数字为 x,则十位数字为 x-2,这 个两位数为 10(x-2) +x. 根据题意,得 10(x-2) +x= 3x(x-2) . 整理,得 3x2 -17x+20 = 0. 解这个方程,得 x1 = 4,x2 = 5 3 (舍去) . 当 x= 4 时,10(x-2) +x= 24. 答:这个两位数是 24. 一、选择题。 1. 方程 x2 -2x= 0 的根是 (　 　 ) A. x1 = x2 = 0 B. x1 = x2 = 2 C. x1 = 0,x2 = 2 D. x1 = 0,x2 = -2 2. (天津最新中考题)若 x1,x2 是方程 x2 -6x-7 = 0 的两个根,则 (　 　 ) A. x1 +x2 = 6 B. x1 +x2 = -6 C. x1·x2 = 7 6 D. x1·x2 = 7 3. 已知 m,n 是方程 x2 +2 2 x+1 = 0 的两根,则 代数式 m2 +n2 -3mn的值为 (　 　 ) A. 3 B. -3 C. 4 D. 5 4. 我们解一元二次方程 3x2 - 6x = 0 时,可以运 用因式分解法,将此方程化为 3x( x- 2) = 0, 从而得到两个一元一次方程:3x = 0 或 x-2 = 0,进而得到原方程的解为 x1 = 0,x2 = 2. 这种 解法体现的数学思想是 (　 　 ) A. 转化思想 B. 函数思想 C. 数形结合思想 D. 公理化思想 5. 已知 x1,x2 是一元二次方程 x2 +2x-k-1 = 0 的 两根,且 x1x2 = -3,则 k 的值为 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. (黑龙江最新中考题)如图,在长为 100 m,宽 为 50 m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的 小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的 面积是 3 600 m2,则小路的宽是 (　 　 ) A. 5 m　 B. 70 m　 C. 5 m 或 70 m　 D. 10 m 二、填空题。 1. 方程(x-3)(x-9)= 0 的根是　 　 　 　 　 . 2. 关于 x 的方程 2x2 -ax+1 = 0 的一个根是 1,则 它的另一个根为　 　 　 　 　 . 3. 一元二次方程( x-2) ( x- 4) = 0 的较大的根 是　 　 　 　 　 　 . 4. (绥化最新中考题)已知一元二次方程 x2 + x = 5x+6 的两根为 x1 与 x2 ,则 1 x1 + 1 x2 的值为 　 　 　 　 . 5. (岳阳最新中考题)已知关于 x 的一元二次方 程 x2 +2mx+m2 -m+2 = 0 有两个不相等 ∙∙∙∙∙ 的实数 根,且 x1 + x2 + x1 · x2 = 2,则实数 m = 　 　 　 　 . 6. (金华最新中考题)如图是一块矩形菜地 AB- CD,AB=a(m),AD= b(m),面积为 S(m2 ) . 现 将边 AB 增加 1 m. (1)如图 1,若 a = 5,边 AD 减少 1 m,得到的 矩形面积不变,则 b 的值是　 　 　 　 . (2)如图 2,若边 AD 增加 2 m,有且只有一个 a 的值,使得到的矩形面积为 2S(m2 ),则 S 的值是　 　 　 　 . 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 55 三、解答题。 1. 用适当的方法解下列方程: (1)x2 -2x-3 = 0; (2)(x+1) 2 = 2x(x+1); (3)2y2 -4 2 y= 0; (4)(y-2) 2 -12 = 0. 2. (大连最新中考题)为了让学生养成热爱图书 的习惯,某学校抽出一部分资金用于购买书 籍. 已知 2020 年该学校用于购买图书的费用 为 5 000 元,2022 年用于购买图书的费用是 7 200 元,求 2020-2022 年买书资金的平均增 长率. 3. 我国水资源比较缺乏,人均水量约为世界人 均水量的四分之一,其中西北地区缺水尤为 严重. 一村民为了蓄水,他把一块矩形白铁皮 四个角各切去一个同样大小的小正方形后制 成一个无盖长方体水箱用于接雨水. 已知白 铁皮的长为 280 cm,宽为 160 cm(如图) . (1)若水箱的底面积为 16 000 cm2,请求出切 去的小正方形边长; (2)若(1)中的水箱盛满水,这时水量是多少 升? (注:1 升= 1 000 cm3) (东营最新中考题)如图,老李想用长为 70 m 的 栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一 个矩形羊圈 ABCD,并在边 BC 上留一个 2 m 宽 的门(建在 EF 处,另用其他材料) . (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一 个面积为 640 m2 的羊圈? (2)羊圈 650 m2 吗? 如果能,请你给出设计方 案;如果不能,请说明理由. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 65 二、1. 29℃ 　 2. 89　 3. 88　 4. 130　 5. 1 三、1. (1)332 千克. 　 (2)49 800 元. 　 2. (1)乙被录用　 (2)甲被录用 中考连接 解:(1)x= 15. 9+16. 9+19. 2+21. 8+23. 0+23. 5 6 = 20. 05(万辆),∵ 20. 05 >20,∴ 该车企 2022 年下半年的月均销量超过 20 万辆. (2)2022 年下半 年月销量的特点:月销量呈递增趋势;12 月的销量最大;有三个月的销 量超过了 20 万辆;中位数为 20. 5 万辆;月均销量超过 20 万辆等. 建议: 充分了解客户需求,及时处理客户反馈,提供优质的售后服务. P39-40 一、1. A　 2. B　 3. C　 4. C　 5. B 二、1. 4. 6　 2. 5. 5　 3. 8　 4. 众数　 5. 3 球 三、解:(1)由条形统计图可知,客户所评分数按从小到大排列后,第 10 个数据是 3 分,第 11 个数据是 4 分,∴ 客户所评分数的中位数为: 3+4 2 = 3. 5 ( 分 ) . 由 统 计 图 可 知, 客 户 所 评 分 数 的 平 均 数 为: 1×1+2×3+3×6+4×5+5×5 20 = 3. 5(分) . ∴ 客户所评分数的平均数或中 位数都不低于 3. 5 分,∴ 该部门不需要整改. (2)设监督人员抽取的 问卷所评分数为 x 分,则有 3. 5×20+x 20+1 >3. 55,解得 x>4. 55. ∵ 调意度 从低到高为 1 分,2 分,3 分,4 分,5 分,共 5 档,∴ 监督人员抽取的问 卷所评分数为 5 分,∵ 4<5,∴ 加入这个数据,客户所评分数按从小到 大排列之后,第 11 个数据不变依然是 4 分,即加入这个数据之后,中 位数是 4 分. ∴ 与(1)相比,中位数发生了变化,由 3. 5 分变成 4 分. 中考连接　 (1)m= 166,n= 165　 (2)甲组 　 (3)170　 172 P41-42 一、1. D　 2. D　 3. D　 4. A　 5. B 二、1. 甲　 2. a2 s2 　 3. 2. 8　 4. ①②③ 三、1. (1)x-甲 = 100,x - 乙 = 100;s 2 甲 = 5 3 ,s2乙 = 10 3 . (2)由 x-甲 = x - 乙,s 2 甲 <s 2 乙 可知,二人加工零件的直径平均数相同,但甲 的方差小于乙的方差,故甲加工的零件质量更稳定. 2. 解:(1)甲:众数 8,方差 1,乙:中位数 9,平均数 8;(2)因为他们的 平均数相等,而甲的方差小,发挥比较稳定,所以选择甲参加射击比 赛;(3)变小. 中考连接　 解:(1)75　 75　 6　 (2)服装店应选择 A 供应商供应服装. 理由如下:由于 A,B 平均值一样,B 的方差比 A 的大,故 A 更稳定,所以 选 A 供应商供应服装. P43-45 一、1. D　 2. C　 3. C　 4. C　 5. D　 6. D 二、1. 5　 2. m=n　 3. 19 2 　 4. 105° 　 5. 8　 6. ( 3 2 ) 2 022 三、1. (1)3　 (2)3 2. (1)矩形的周长为 6 2 ;(2)正方形的面积为 4. 5. 3. (1)89 分　 八(1) 　 (2)八(1)班　 4. (1)略　 (2)8 5. 解:(1)是. 理由:∵ AM2 +BN2 = 1. 52 +22 = 6. 25,MN2 = 2. 52 = 6. 25, ∴ AM2 +NB2 =MN2 ,∴ AM,MN,NB 为边的三角形是一个直角三角形, ∴ 点 M,N 是线段 AB 的勾股分割点. (2)BN= 8 或 10. 6. (1)m= 2　 y= 2x　 (2)15　 (3) - 1 2 或 2 或 3 2 7. 解:(1)设购进 A 种 T 恤衫 x 件,购进 B 种 T 恤衫 y 件,根据题意列 出方程组为: x +y= 120 45x+60y= 6 000{ ,解得 x= 80 y= 40{ ,∴ 全部售完获利 = (66- 45) ×80+(90-60) ×40 = 1 680+1 200 = 2 880(元) . (2) ①设第二次购 进 A 种 T 恤衫 m 件,则购进 B 种 T 恤衫(150-m)件,根据题意 150- m≤2m,即 m≥50,∴ W= (66-45-5)m+(90-60-10) (150-m) = -4m +3 000(150≥m≥50),②服装店第二次获利不能超过第一次获利, 理由如下:由①可知,W= -4m+3 000(150≥m≥50),∵ -4<0,一次函 数 W 随 m 的增大而减小,∴ 当 m= 50 时,W 取最大值,W大 = -4×50+ 3 000 = 2 800(元),∵ 2 800<2 880,∴ 服装店第二次获利不能超过第 一次获利. P46-48 一、1. D　 2. B　 3. B　 4. B　 5. C　 6. C 二、1. 2 2 　 2. y= -3x+2　 3. 12 cm2 　 4. 23　 5. 14. 4　 6. 6 或 7 三、1. (1)2 5 　 (2)14-4 6 　 2. 8　 3. 50 3海里 4. 解:(1)∵ O(0,0),A( 5,1 000),∴ OA 所在直线的表达式为 y = 200x. (2)设 BC 所在直线的表达式为 y= kx+b,∵ B(0,1 000),C(10, 0),∴ 1 000 = 0+b, 0 = 10k+b,{ 解得 k= -100, b= 1 000.{ ,∴ y = - 100x+ 1 000. 甲、乙机器 人相遇时,即 200x= -100x+1 000,解得 x= 10 3 ,∴ 出发后甲机器人行 走 10 3 分钟,与乙机器人相遇. (3)设甲机器人行走 t 分钟时到 P 地,P 地与 M 地距离 y= 200t,则乙机器人( t+ 1)分钟后到 P 地,P 地与 M 地距离 y= -100( t+1) + 1 000,由 200t = - 100( t+ 1) + 1 000,得 t = 3. ∴ y= 600. 答:P,M 两地间的距离为 600 米. 5. (1)略. (2) 15 2 　 6. (1)45° 　 (2) ①全等　 22. 5° 　 ②周长为 2. 　 在正方形旋转过程中,△MBN 的周长不发生变化. 　 7. 解:(1) 85　 87　 七;(2) 5 10 ×200+ 6 10 × 200 = 220(人),答:该校这两个年级测试 成绩达到“优秀”的学生总人数大约为 220 人;(3)我认为八年级的 学生掌握国家安全知识的总体水平较好,理由:因为七、八年级测试 成绩的平均数相等,八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的 方差,所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好. P50 一、1. A　 2. A　 3. A　 4. C　 5. C 二、1. -2　 2. x2 +2x-1 = 0　 3. 6　 4. 2　 -3　 1 5. (30-2x)(20-2x)= 144 三、1. (1)2x2 +3x-1=0　 2　 3　 -1　 (2)x2 -7x=0　 1　 -7　 0 2. (1)证明:∵ a+c= -b,∴ a+b+c= 0. 当 x = 1 时,ax2 +bx+c= a×12 +b× 1+c=a+b+c= 0. ∴ x= 1 必是方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的一个根. (2)当 x= -1 时,有 ax2 +bx+c=a×( -1) 2 +b×( -1) +c=a-b+c= 0. ∴ 当 a-b+c= 0 时,方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)必有一个根是 x= -1. 3. (1)x1 = 0,x2 = 1　 (2)x1 = -1+ 5 4 ,x2 = -1- 5 4 中考连接　 解:可选择②或③. 选择②时,x1 = -3+ 5 2 ,x2 = -3- 5 2 ;选择 ③时,x1 = -3+ 13 2 ,x2 = -3- 13 2 . P53 一、1. C　 2. C　 3. C　 4. A 二、1. -4　 2. k≤4 且 k≠0　 3. x-4 = -(5-2x) 　 4. 二 三、1. (1)m= 2　 (2)x1 = x2 = -1　 2. x1 = 1,x2 = 2 中考连接　 (1)k>- 2 5 且 k≠0　 (2)x1 = 3+ 14 ,x2 = 3- 14 P55-56 一、1. C　 2. A　 3. A　 4. A　 5. B　 6. A 二、1. x1 = 3,x2 = 9　 2. 1 2 　 3. x= 4　 5. 13 4 　 4. - 2 3 　 5. 3 6. (1)6　 (2)6+4 2 三、1. (1)x1 = 3,x2 = -1　 (2)x1 = -1,x2 = 1　 (3)y1 = 0,y2 = 2 2 (4)y1 = 2+2 3 ,y2 = 2-2 3 　 2. 20% 3. (1)切去的小正方形的边长为 40 cm. (2)16 000×40 = 640 000(cm3 ) . 640 000÷1 000 = 640(升) . 中考连接　 解:(1)设矩形 ABCD 边 AB= x m,则边 BC = 70-2x+2 = (72 -2x) m. 根据题意,得 x(72-2x)= 640. 化简,得 x2 -36x+320 = 0. 解得 x1 = 16,x2 = 20. 当 x= 16 时,72- 2x = 72- 32 = 40;当 x = 20 时,72- 2x = 72- 432. 答:当羊圈的长为 40 m,宽为 16 m 或长为 32 m,宽为 20 m 时,能围 成一个面积为 640 m2 的羊圈. (2)不能,理由如下:由题意,得 x(72-2x) = 650. 化简,得 x2 -36x+325 = 0. ∵ Δ= ( -36) 2 -4×325 = -4<0,∴ 一元二 次方程没有实数根. ∴ 羊圈的面积不能达到 650 m2 . 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 06