衔接作业(1) 一元二次方程-【金牌题库】2024年八年级数学暑假作业（人教版）

新课衔接篇 衔接作业(1) 　 一元二次方程 知识点一:一元二次方程 1. 一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一 元),并且未知数的最高次数是 2(二次) 的方 程,叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程必须同时满足的条件 (1)是整式方程;(2) 只含有一个未知数; (3)未知数的最高次数是 2. 例如: 3 x2 + 1 = 0, 5 2 y-y2 = 8 都是一元二次方程,而 xy-x2 = 0(不 满足“只含有一个未知数”),x3 -4x = 0(不满足 “未知数的最高次数是 2”) 都不是一元二次 方程. 例 1:下列式子:①2x2 + x- 3;② 5x x2 +1 = 2; ③t2 -m= 1-4t-m;④( x+1) 2 = 2( x+1);⑤ax2 + bx+c = 0;⑥x2 + 2x = x2 - 1;⑦(a2 +a+ 1) x2 = 0; ⑧ x+1 = x- 1. 其中一定是一元二次方程的有 　 　 　 　 . (把所有正确选项的序号都填上) 解析:①2x2 +x- 3 虽然是只含有一个未知 数的整式,并且未知数的最高次数是 2,但它不 是等式,故不是方程;② 5x x2 +1 = 2 不是整式方程; ③t2 -m= 1-4t-m 是整式方程,可整理为 t2 +4t- 1 = 0,符合一元二次方程的概念,故是一元二次 方程;④(x+1) 2 = 2(x+1)整理为 x2 -1 = 0,是一 元二次方程;⑤ax2 +bx+c = 0 不一定是一元二次 方程,因为当 a= 0 时,它不是一元二次方程,只 有当 a≠0 时,它是一元二次方程;⑥x2 +2x= x2 - 1 整理为 2x+1 = 0,它是一元一次方程,不是一 元二次方程; ⑦ ( a2 + a + 1) x2 = 0 可整理为 a+ 1 2( ) 2 + 3 4( ) x 2 = 0,因为 a+ 1 2( ) 2 + 3 4 不可能等于 0,所以 ( a2 + a + 1) x2 = 0 是一元二次方程; ⑧ x+1 = x-1 不是整式方程。 答案:③④⑦ 知识点二:一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 ax2 + bx+ c = 0(a≠0) . 其中 ax2 是二次项,a 是二次项系数; bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项。 例 2:将下列方程化成一元二次方程的一般 形式, 并写出二次项系数、 一次项系数和常 数项。 (1)3x2 -1 = 2x;(2)x(x-2)= 4x2 -3x; (3)关于 x 的方程 mx2 -nx+mx+nx2 = q-p(m +n≠0) . 解:(1)移项,得 3x2 -2x-1 = 0. 二次项系数 为 3,一次项系数为-2,常数项为-1. (2)去括号,得 x2 -2x= 4x2 -3x; 移项、合并同类项,得-3x2 +x = 0,整理,得 3x2 -x= 0. 二次项系数为 3,一次项系数为-1,常 数项为 0. (3)移项、合并同类项,得(m+n)x2 +(m-n) x+p-q= 0. 二次项系数为(m+n),一次项系数为 (m-n),常数项为(p-q) . 知识点三:一元二次方程的解(根) 1. 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的 值,就是这个一元二次方程的解,一元二次方程 的解也叫做一元二次方程的根. 2. 判断一个数是不是一元二次方程的解的 方法 将此数代入一元二次方程,若能使方程左 右两边相等,则这个数是一元二次方程的解,反 之,它不是一元二次方程的解. 例 3:下列哪些数是一元二次方程 x2 -4x = -3 的根? -2,0,1,2,3. 解:(1)当 x= -2 时,左边= ( -2) 2 -4×( -2) = 12. ∵ 左边≠右边,∴ - 2 不是一元二次方程 x2 -4x= -3 的根. (2)当 x = 0 时,左边 = 02 -4×0 = 0∵ 左边≠右边,∴ 0 不是一元二次方程 x2 - 4x= -3 的根. (3)当 x= 1 时,左边= 12 -4×1 = -3. ∵ 左边=右边,∴ 1 是一元二次方程 x2 -4x = -3 的根. (4)当 x= 2 时,左边= 22 -4×2 = -4. ∵ 左边≠右边,∴ 2 不是一元二次方程 x2 - 4x= -3 的根. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 94 (5)当 x= 3 时,左边= 32 -4×3 = -3. ∵ 左边=右边,∴ 3 是一元二次方程 x2 -4x = -3 的根. 综上可知,1 和 3 是一元二次方程 x2 -4x= -3 的根. 一、选择题。 1. 一元二次方程 x2 -2x-3 = 0 的二次项系数、一 次项系数、常数项分别是 (　 　 ) A. 1,-2,-3 B. 1,-2,3 C. 1,2,3 D. 1,2,-3 2. 若关于 x 的一元二次方程为 ax2+bx+5 = 0(a≠ 0)的解是 x= 1,则 2 024-a-b 的值是 (　 　 ) A. 2 029 B. 2 019 C. 2 025 D. 2 023 3. 有 x 支球队参加篮球比赛,共比赛了 45 场, 每两队之间都比赛一场. 则下列方程中符合 题意的是 (　 　 ) A. 1 2 x(x-1)= 45 B. 1 2 x(x+1)= 45 C. x(x-1)= 45 D. x(x+1)= 45 4. (衢州最新中考题)某人患了流感,经过两轮 传染后共有 36 人患了流感. 设每一轮传染中 平均每人传染了 x 人,则可得到方程 (　 　 ) A. x+(1+x)= 36 B. 2(1+x)= 36 C. 1+x+x(1+x)= 36 D. 1+x+x2 = 36 5. 若关于 x 的方程 x2 +(m+1)x+ 1 2 = 0 的一个实 数根的倒数恰好是它本身,则 m 的值是 (　 　 ) A. - 5 2 B. 1 2 C. - 5 2 或 1 2 　 D. 1 二、填空题。 1. 若 x= 1 是关于 x 的一元二次方程 x2 +3mx+n = 0 的解,则 6m+2n= 　 　 　 　 　 . 2. 把一元二次方程(x+1) (1-x) = 2x 化成二次 项系数大于零的一般式是　 　 　 　 　 　 　 . 3. 已知 m 是关于 x 的方程 x2 -2x-3 = 0 的一个 根. 则 2m2 -4m= 　 　 　 　 　 　 　 　 . 4. 一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 的一个根是 1,且 a,b,c 满足 b= a-2 + 2-a -3,则 a = 　 　 　 　 　 　 ,b= 　 　 　 　 　 ,c= 　 　 　 　 　 . 5. 有一个矩形铁片,长是 30 cm,宽是 20 cm,中 间挖出 144 cm2 的矩形,剩下的铁框四周一 样宽. 若设宽度为 x cm,根据题意可列方程 　 　 　 　 　 　 　 　 . 三、解答题。 1. 把下列方程化为一元二次方程的一般形式, 并指出它的二次项系数,一次项系数和常 数项. (1)2x2 = 1-3x; (2)5x(x-2)= 4x2 -3x. 2. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a ≠0) . (1)若 a+c = -b,求证:x = 1 必是该方程的一 个根; (2)当 a,b,c 之间的关系是　 　 　 　 　 　 　 　 　 时,方程必有一个根是 x= -1? 3. 用适当的方法解下列方程: (1)(3x-1) 2 = (x+1) 2; (2)2x2 +x- 1 2 = 0. (杭州最新中考题)设一元二次方程 x2 +bx+c = 0. 在下面的四组条件中选择其中一组 ∙∙ b,c 的 值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这 个方程. ①b= 2,c= 1;②b = 3,c = 1;③b = 3,c = -1;④b = 2,c= 2. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 05 二、1. 29℃ 　 2. 89　 3. 88　 4. 130　 5. 1 三、1. (1)332 千克. 　 (2)49 800 元. 　 2. (1)乙被录用　 (2)甲被录用 中考连接 解:(1)x= 15. 9+16. 9+19. 2+21. 8+23. 0+23. 5 6 = 20. 05(万辆),∵ 20. 05 >20,∴ 该车企 2022 年下半年的月均销量超过 20 万辆. (2)2022 年下半 年月销量的特点:月销量呈递增趋势;12 月的销量最大;有三个月的销 量超过了 20 万辆;中位数为 20. 5 万辆;月均销量超过 20 万辆等. 建议: 充分了解客户需求,及时处理客户反馈,提供优质的售后服务. P39-40 一、1. A　 2. B　 3. C　 4. C　 5. B 二、1. 4. 6　 2. 5. 5　 3. 8　 4. 众数　 5. 3 球 三、解:(1)由条形统计图可知,客户所评分数按从小到大排列后,第 10 个数据是 3 分,第 11 个数据是 4 分,∴ 客户所评分数的中位数为: 3+4 2 = 3. 5 ( 分 ) . 由 统 计 图 可 知, 客 户 所 评 分 数 的 平 均 数 为: 1×1+2×3+3×6+4×5+5×5 20 = 3. 5(分) . ∴ 客户所评分数的平均数或中 位数都不低于 3. 5 分,∴ 该部门不需要整改. (2)设监督人员抽取的 问卷所评分数为 x 分,则有 3. 5×20+x 20+1 >3. 55,解得 x>4. 55. ∵ 调意度 从低到高为 1 分,2 分,3 分,4 分,5 分,共 5 档,∴ 监督人员抽取的问 卷所评分数为 5 分,∵ 4<5,∴ 加入这个数据,客户所评分数按从小到 大排列之后,第 11 个数据不变依然是 4 分,即加入这个数据之后,中 位数是 4 分. ∴ 与(1)相比,中位数发生了变化,由 3. 5 分变成 4 分. 中考连接　 (1)m= 166,n= 165　 (2)甲组 　 (3)170　 172 P41-42 一、1. D　 2. D　 3. D　 4. A　 5. B 二、1. 甲　 2. a2 s2 　 3. 2. 8　 4. ①②③ 三、1. (1)x-甲 = 100,x - 乙 = 100;s 2 甲 = 5 3 ,s2乙 = 10 3 . (2)由 x-甲 = x - 乙,s 2 甲 <s 2 乙 可知,二人加工零件的直径平均数相同,但甲 的方差小于乙的方差,故甲加工的零件质量更稳定. 2. 解:(1)甲:众数 8,方差 1,乙:中位数 9,平均数 8;(2)因为他们的 平均数相等,而甲的方差小,发挥比较稳定,所以选择甲参加射击比 赛;(3)变小. 中考连接　 解:(1)75　 75　 6　 (2)服装店应选择 A 供应商供应服装. 理由如下:由于 A,B 平均值一样,B 的方差比 A 的大,故 A 更稳定,所以 选 A 供应商供应服装. P43-45 一、1. D　 2. C　 3. C　 4. C　 5. D　 6. D 二、1. 5　 2. m=n　 3. 19 2 　 4. 105° 　 5. 8　 6. ( 3 2 ) 2 022 三、1. (1)3　 (2)3 2. (1)矩形的周长为 6 2 ;(2)正方形的面积为 4. 5. 3. (1)89 分　 八(1) 　 (2)八(1)班　 4. (1)略　 (2)8 5. 解:(1)是. 理由:∵ AM2 +BN2 = 1. 52 +22 = 6. 25,MN2 = 2. 52 = 6. 25, ∴ AM2 +NB2 =MN2 ,∴ AM,MN,NB 为边的三角形是一个直角三角形, ∴ 点 M,N 是线段 AB 的勾股分割点. (2)BN= 8 或 10. 6. (1)m= 2　 y= 2x　 (2)15　 (3) - 1 2 或 2 或 3 2 7. 解:(1)设购进 A 种 T 恤衫 x 件,购进 B 种 T 恤衫 y 件,根据题意列 出方程组为: x +y= 120 45x+60y= 6 000{ ,解得 x= 80 y= 40{ ,∴ 全部售完获利 = (66- 45) ×80+(90-60) ×40 = 1 680+1 200 = 2 880(元) . (2) ①设第二次购 进 A 种 T 恤衫 m 件,则购进 B 种 T 恤衫(150-m)件,根据题意 150- m≤2m,即 m≥50,∴ W= (66-45-5)m+(90-60-10) (150-m) = -4m +3 000(150≥m≥50),②服装店第二次获利不能超过第一次获利, 理由如下:由①可知,W= -4m+3 000(150≥m≥50),∵ -4<0,一次函 数 W 随 m 的增大而减小,∴ 当 m= 50 时,W 取最大值,W大 = -4×50+ 3 000 = 2 800(元),∵ 2 800<2 880,∴ 服装店第二次获利不能超过第 一次获利. P46-48 一、1. D　 2. B　 3. B　 4. B　 5. C　 6. C 二、1. 2 2 　 2. y= -3x+2　 3. 12 cm2 　 4. 23　 5. 14. 4　 6. 6 或 7 三、1. (1)2 5 　 (2)14-4 6 　 2. 8　 3. 50 3海里 4. 解:(1)∵ O(0,0),A( 5,1 000),∴ OA 所在直线的表达式为 y = 200x. (2)设 BC 所在直线的表达式为 y= kx+b,∵ B(0,1 000),C(10, 0),∴ 1 000 = 0+b, 0 = 10k+b,{ 解得 k= -100, b= 1 000.{ ,∴ y = - 100x+ 1 000. 甲、乙机器 人相遇时,即 200x= -100x+1 000,解得 x= 10 3 ,∴ 出发后甲机器人行 走 10 3 分钟,与乙机器人相遇. (3)设甲机器人行走 t 分钟时到 P 地,P 地与 M 地距离 y= 200t,则乙机器人( t+ 1)分钟后到 P 地,P 地与 M 地距离 y= -100( t+1) + 1 000,由 200t = - 100( t+ 1) + 1 000,得 t = 3. ∴ y= 600. 答:P,M 两地间的距离为 600 米. 5. (1)略. (2) 15 2 　 6. (1)45° 　 (2) ①全等　 22. 5° 　 ②周长为 2. 　 在正方形旋转过程中,△MBN 的周长不发生变化. 　 7. 解:(1) 85　 87　 七;(2) 5 10 ×200+ 6 10 × 200 = 220(人),答:该校这两个年级测试 成绩达到“优秀”的学生总人数大约为 220 人;(3)我认为八年级的 学生掌握国家安全知识的总体水平较好,理由:因为七、八年级测试 成绩的平均数相等,八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的 方差,所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好. P50 一、1. A　 2. A　 3. A　 4. C　 5. C 二、1. -2　 2. x2 +2x-1 = 0　 3. 6　 4. 2　 -3　 1 5. (30-2x)(20-2x)= 144 三、1. (1)2x2 +3x-1=0　 2　 3　 -1　 (2)x2 -7x=0　 1　 -7　 0 2. (1)证明:∵ a+c= -b,∴ a+b+c= 0. 当 x = 1 时,ax2 +bx+c= a×12 +b× 1+c=a+b+c= 0. ∴ x= 1 必是方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的一个根. (2)当 x= -1 时,有 ax2 +bx+c=a×( -1) 2 +b×( -1) +c=a-b+c= 0. ∴ 当 a-b+c= 0 时,方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)必有一个根是 x= -1. 3. (1)x1 = 0,x2 = 1　 (2)x1 = -1+ 5 4 ,x2 = -1- 5 4 中考连接　 解:可选择②或③. 选择②时,x1 = -3+ 5 2 ,x2 = -3- 5 2 ;选择 ③时,x1 = -3+ 13 2 ,x2 = -3- 13 2 . P53 一、1. C　 2. C　 3. C　 4. A 二、1. -4　 2. k≤4 且 k≠0　 3. x-4 = -(5-2x) 　 4. 二 三、1. (1)m= 2　 (2)x1 = x2 = -1　 2. x1 = 1,x2 = 2 中考连接　 (1)k>- 2 5 且 k≠0　 (2)x1 = 3+ 14 ,x2 = 3- 14 P55-56 一、1. C　 2. A　 3. A　 4. A　 5. B　 6. A 二、1. x1 = 3,x2 = 9　 2. 1 2 　 3. x= 4　 5. 13 4 　 4. - 2 3 　 5. 3 6. (1)6　 (2)6+4 2 三、1. (1)x1 = 3,x2 = -1　 (2)x1 = -1,x2 = 1　 (3)y1 = 0,y2 = 2 2 (4)y1 = 2+2 3 ,y2 = 2-2 3 　 2. 20% 3. (1)切去的小正方形的边长为 40 cm. (2)16 000×40 = 640 000(cm3 ) . 640 000÷1 000 = 640(升) . 中考连接　 解:(1)设矩形 ABCD 边 AB= x m,则边 BC = 70-2x+2 = (72 -2x) m. 根据题意,得 x(72-2x)= 640. 化简,得 x2 -36x+320 = 0. 解得 x1 = 16,x2 = 20. 当 x= 16 时,72- 2x = 72- 32 = 40;当 x = 20 时,72- 2x = 72- 432. 答:当羊圈的长为 40 m,宽为 16 m 或长为 32 m,宽为 20 m 时,能围 成一个面积为 640 m2 的羊圈. (2)不能,理由如下:由题意,得 x(72-2x) = 650. 化简,得 x2 -36x+325 = 0. ∵ Δ= ( -36) 2 -4×325 = -4<0,∴ 一元二 次方程没有实数根. ∴ 羊圈的面积不能达到 650 m2 . 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 06