创优作业(8-12)平行四边形-【金牌题库】2024年八年级数学暑假作业（人教版）

创优作业(8) 　 平行四边形(1) 一、选择题。 1. 在▱ABCD 中,若∠BAD 与∠CDA 的平分线 交与点 E,则△AED 的形状是 (　 　 ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 2. 在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,AE⊥BD 于 E,CF⊥BD 于 F,则图中的全 等三角形共有 (　 　 ) A. 5 对 B. 6 对 C. 7 对 D. 8 对 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. 如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,BD= 2AD,点 E,点 G 分别是 OC, AB 的中点,连接 BE,GE,若∠ABE = 42°,则 ∠AEG 的度数为 (　 　 ) A. 42° B. 45° C. 46° D. 48° 4. 在平面直角坐标系中,已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别是 A(m,n),B( - 2, 1),C( -m,-n),则点 D 的坐标是 (　 　 ) A. (2,-1) B. ( -2,-1) C. ( -1,2) D. ( -1,-2) 5. (泸州最新中考题)如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,∠ADC 的平分线与边 AB 相交于点 P,E 是 PD 中点,若 AD = 4,CD = 6, 则 EO 的长为 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题。 1. 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,点 E 是边 CD 上的一点,且 BC=EC,CF⊥BE 交 AB 于点 F,P 是 EB 延长线上一点,有下列结论:①BE 平分∠CBF; ②CF 平分∠DCB; ③BC = FB; ④PF=PC.其中正确的有　 　 　 . (填序号) 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. (兰州最新中考题)如图,在▱ABCD 中,BD = CD,AE⊥BD 于点 E,若∠C = 70°,则∠BAE = 　 　 　 　 °. 3. (遂宁最新中考题)如图,▱ABCD 中,BD 为 对角线,分别以点 A,B 为圆心,以大于 1 2 AB 的长为半径画弧,两弧相交于点 M,N,作直线 MN 交 AD 于点 E,交 AB 于点 F,若 AD⊥BD, BD= 4,BC= 8,则 AE 的长为　 　 　 　 . 第 3 题图 　 第 4 题图 4. 如图,在▱ABCD 中,AB= 10,AD= 6,AC⊥BC, 则 BD= 　 　 　 　 　 . 三、解答题。 1. 如图,在▱ABCD 中,AC 是对角线,BE⊥AC, DF⊥AC,垂足分别为点 E,F,求证:AE=CF. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 51 2. 如图,在平行四边形 ABCD 中,∠BAD 的平分 线 AE 交 CD 于点 F,交 BC 的延长线于点 E. (1)求证:BE=CD; (2)连接 BF,若 BF⊥AE,∠BEA= 60°,AB= 4, 求平行四边形 ABCD 的面积. 3. 如图,在平行四边形 ABCD 中,点 O 是对角线 AC 的中点,点 E 是 BC 上的一点,且 AB=AE, 连接 EO 并延长交 AD 于点 F. 过点 B 作 AE 的垂线,垂足为 H,交 AC 于点 G. (1)若 AH= 3,HE= 1,求△ABE 的面积; (2)若∠ACB= 45°,求证:DF= 2CG. (重庆最新中考题)学习了平行四边形后,小虹 进行了拓展性研究. 她发现,如果作平行四边形 一条对角线的垂直平分线,那么这个平行四边 形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足 平分. 她的解决思路是通过证明对应线段所在 的两个三角形全等得出结论. 请根据她的思路 完成以下作图与填空: 用直尺和圆规,作 AC 的垂直平分线交 DC 于点 E,交 AB 于点 F,垂足为点 O. ( 只保留作图 痕迹) 已知:如图,四边形 ABCD 是平行四边形,AC 是 对角线,EF 垂直平分 AC,垂足为点 O. 求证:OE=OF. 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ DC∥AB. ∴ ∠ECO= 　 　 　 ①　 　 　 . ∵ EF 垂直平分 AC, ∴ 　 　 　 ②　 　 　 . 又∠EOC= 　 　 　 ③　 　 　 . ∴ △COE≌△AOF(ASA) . ∴ OE=OF. 小虹再进一步研究发现,过平行四边形对角线 AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形 成的线段均有此特征. 请你依照题意完成下面 命题: 过平行四边形对角线中点的直线 　 　 　 ④　 　 　 . 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 61 创优作业(9) 　 平行四边形(2) 一、选择题。 1. 如图,在四边形 ABCD 中,E 是 BC 边的中点, 连接 DE 并延长,交 AB 的延长线于点 F,AB= BF. 添加一个条件使四边形 ABCD 是平行四 边形,你认为下面四个条件中可选择的是 (　 　 ) A. AD=BC B. CD=BF C. ∠A= ∠C D. ∠F= ∠CDF C D F B A E 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,王老师用四根木棒搭成了平行四边形 的框架,量得 AB= 10 cm,AD= 8 cm,固定 AB, 逆时针转动 AD,在转动过程中,关于平行四 边形 ABCD 的面积变化情况:甲认为:先变 大,后变小;乙认为:在转动过程中,平行四边 形 ABCD 的面积有最大值,最大值是 80 cm2, 则 (　 　 ) A. 甲说的对 B. 乙说的对 C. 甲、乙说的都对 D. 甲、乙说的都不对 3. 在四边形 ABCD 中,①AB∥CD;②AD∥BC;③ AB=CD;④AD = BC,从以上选择两个条件使 四边形 ABCD 是平行四边形的选法共有 (　 　 ) A. 3 种 B. 4 种 C. 5 种 D. 6 种 4. 如图,在平行四边形 ABCD 中,EF∥AD,HN∥ AB,则图中的平行四边形 ( 不包括四边形 ABCD)的个数共有 (　 　 ) A. 9 个 B. 8 个 C. 6 个 D. 4 个 第 4 题图 　 　 B D E C M N A 第 5 题图 5. 如图,△ABC 的周长为 19,点 D,E 在边 BC 上,∠ABC 的平分线垂直于 AE,垂足为 N, ∠ACB 的平分线垂直于 AD,垂足为 M. 若 BC = 7,则 MN 的长度为 (　 　 ) A. 3 2 B. 2 C. 5 2 D. 3 6. ▱ABCD 中,E,F 是对角线 BD 上不同的两 点,下列条件中,不能 ∙∙ 得出四边形 AECF 一定 为平行四边形是 (　 　 ) A. BE=DF B. AE=CF C. AF∥CE D. ∠BAE= ∠DCF 二、填空题。 1. 如图,已知在△ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 的 中点,BC= 6 cm,则 DE 的长度是　 　 　 　 cm. 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,已知▱ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,且 AC= 8,BD= 10,AB= 5,则△OCD 的周长 是　 　 　 　 . 3. 如图,在四边形 ABCD 中,AE⊥BD,CF⊥BD, 垂足分别为点 E,F. 请你只添加一个条件(不 另加辅助线),使得四边形 AECF 为平行四边 形,你添加的条件是　 　 　 　 . 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 71 4. 如图,在▱ABCD 中,AD = 2AB,F 是 AD 的中 点,作 CE⊥AB 于点 E,连接 EF,CF,则下列 结论中一定成立的是　 　 　 　 . (把所有正确 结论的序号都填在横线上) ①∠DFC+∠FEC = 90°;②∠DFE = 3∠AEF; ③CF=EF;④S△BEC = 2S△EFC 三、解答题。 1. 如图,在▱ABCD 中,分别过 A,C 两点作对角 线 BD 的 垂 线, 垂 足 分 别 为 M, N, 连 接 AN,CM. 求证:(1)BM=DN; (2)四边形 AMCN 为平行四边形. D A M C B N 2. 如图,已知点 E,F 在四边形 ABCD 的对角线 BD 所在的直线上,且 BE =DF,AE∥CF,请再 添加一个条件(不要在图中再增加其它线段 和字母),能证明四边形 ABCD 是平行四边 形,并证明你的想法. 你所添加的条件: 　 . 证明: (无锡最新中考题)如图△ABC, 中,点 D,E 分 别为 AB,AC 的中点,延长 DE 到点 F,使得 EF= DE,连接 CF. 求证: (1)△CEF ≌△AED; (2)四边形 DBCF 是平行四边形. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 81 创优作业(10) 　 平行四边形(3) 一、选择题。 1. 如图,矩形 ABCD 为一个正在倒水的水杯的 截面图,杯中水面与 CD 的交点为 E,当水杯 底面 BC 与水平面的夹角为 27°时,∠AED 的 大小为 (　 　 ) A. 27° B. 53° C. 57° D. 63° 2. (上海最新中考题)在四边形 ABCD 中,AD∥ BC,AB=CD. 下列说法能使四边形 ABCD 为 矩形的是 (　 　 ) A. AB∥CD B. AD=BC C. ∠A= ∠B D. ∠A= ∠D 3. 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 2,BC= 3,若点 E 是边 CD 的 中点,连接 AE,过点 B 作 BF ⊥AE 交 AE 于点 F,则 BF 的长为 (　 　 ) A. 3 10 2 B. 3 10 5 C. 10 5 D. 3 5 5 4. 如果平行四边形的四个内角的平分线能够围 成一个四边形,那么这个四边形一定是 (　 　 ) A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 5. (苏州最新中考题)如图,在平面直角坐标系 中,点 A 的坐标为(9,0),点 C 的坐标为(0, 3),以 OA,OC 为边作矩形 OABC. 动点 E,F 分别从点 O,B 同时出发,以每秒 1 个单位长 度的速度沿 OA,BC 向终点 A,C 移动. 当移动 时间为 4 秒时,AC·EF 的值为 (　 　 ) A. 10 B. 9 10 C. 15 D. 30 二、填空题。 1. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AB = 6,D 是 AB 的中点,则 CD= 　 　 　 　 . A D B C 第 1 题图 　 　 　 　 A Q D B C P O 第 2 题图 2. 如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 点 O,AC= 10,P,Q 分别为 AO,AD 的中点,则 PQ 的长度为　 　 　 　 . 3. 如图,在平行四边形 ABCD 中,添加一个条件 　 　 　 　 ,使平行四边形 ABCD 是矩形. A D B C O 第 3 题图 　 D M F C A E B C’ B’ 第 4 题图 4. 如图,将矩形 ABCD 折叠,折痕为 EF,BC 的 对应边 B′C′与 CD 交于点 M. 若∠B′MD = 50°,则∠BEF 的度数为　 　 　 . 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 91 5. (滨州最新中考题)如图,矩形 ABCD 的对角 线 AC,BD 相交于 O,点 E,F 分别是线段 OB, OA 上的点. 若 AE = BF,AB = 5,AF = 1,BE = 3 则 BF 的长为　 　 　 　 . 三、解答题。 1. (内江最新中考题)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E 是 AD 的中点,过点 A 作 AF∥ BC 交 CE 的延长线于点 F. (1)求证:AE=BD; (2)连接 BF,若 AB = AC,求证:四边形 ADBF 是矩形. 2. 如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 BD = 12 cm,AC= 16 cm,AC,BD 相交于点 O. 若 E, F 是 AC 上两动点,分别从 A,C 两点以相同的 速度向 C,A 运动,其速度为 0. 5 cm / s. (1)当 E 与 F 不重合时,四边形 DEBF 是平 行四边形吗? 说明理由. (2)设运动的时间为 t s,点 E,F 在 AC 上运动 的过程中,以 D,E,B,F 为顶点的四边形 是否可能为矩形? 若能,求出此时 t 的 值;若不能,请说明理由. D C A E O F B (新疆最新中考题)如图,AD 和 BC 相交于点 O, ∠ABO= ∠DCO = 90°,OB = OC. 点 E,F 分别是 AO,DO 的中点. (1)求证:OE=OF; (2)当∠A= 30°时,求证:四边形 BECF 是矩形. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 02 创优作业(11) 　 平行四边形(4) 一、选择题。 1. 菱形不具备的性质是 (　 　 ) A. 四条边都相等 B. 对角线一定相等 C. 是轴对称图形 D. 是中心对称图形 2. 如图,四边形 ABCD 的四边相等,且面积为 120 cm2,对角线 AC = 24 cm,则四边形 ABCD 的周长为 (　 　 ) A. 52 cm B. 40 cm C. 39 cm D. 26 cm 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,在四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BD,CD,AC 的中点,要使四边形 EFGH 是 菱形,四边形 ABCD 还应满足的一个条件是 (　 　 ) A. AC=BD B. AC⊥BD C. AD=BC D. AB=DC 4. 如图,在菱形 ABCD 中,AB = 4 cm,∠ADC = 120°,点 E,F 同时由 A,C 两点出发,分别沿 AB,CB 方向向点 B 匀速移动(到点 B 时停 止),点 E 的速度为 1 cm / s,点 F 的速度为 2 cm / s,经过 t s△DEF 为等边三角形,则 t 的 值为 (　 　 ) A. 1 B. 1 3 C. 1 2 D. 4 3 A D B F C E 第 4 题图 　 第 5 题图 5. 如图,菱形 ABCD 的对角线长分别为 2 和 5,P 是对角线 AC 上任意一点(点 P 不与点 A,C 重合),且 PE∥BC 交 AB 于点 E,PF∥CD 交 AD 于点 F,则阴影部分的面积是 (　 　 ) A. 2 B. 2. 5 C. 3 D. 3. 5 二、填空题。 1. 如图,在菱形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为(8,2),点 D 的坐标为(0,2),则点 C 的坐标为　 　 　 　 . 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. 如图,在菱形 ABCD 中,M,N 分别在 AB,CD 上,且 AM = CN,MN 与 AC 交于点 O,连接 BO. 若 ∠DAC = 28°, 则 ∠OBC 的 度 数 为 　 　 　 　 度. 3. (甘肃最新中考题) 如图, 菱形 ABCD 中, ∠DAB= 60°,BE⊥AB,DF⊥CD,垂足分别为 B,D,若 AB= 6 cm,则 EF= 　 　 　 　 cm. 4. 菱形 ABCD 中,∠A = 60°,其周长为 24 cm,则 菱形的面积为　 　 　 cm2 . 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 12 5. 已知在平面直角坐标系中,点 A,B,C,D 的坐 标依次为( - 1,0),(m,n),( - 1,10),( - 7, p),且 p≤n. 若以 A,B,C,D 四个点为顶点的 四边形是菱形,则 n 的值是　 　 　 　 　 　 　 . 三、解答题。 1. 如图,在△ABC 中, AB = AC,AD,CD 分别是 △ABC 的两个外角的平分线. (1)求证:∠ACD= ∠ADC; (2)若∠B= 60°,求证:四边形 ABCD 是菱形. 2. 如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB = 6,BC = 8. 将 矩形纸片折叠,使点 B 与点 D 重合,求折痕 GH 的长. 3. 如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 BC 边上, AE 平分∠BAD,点 F 在 AD 边上,EF∥AB. (1)求证:四边形 ABEF 是菱形; (2)若 AB= 6,BC= 9,点 P 在线段 AE 上运动, 请直接写出当点 P 在什么位置时 PC+PF 取得最小值,最小值是多少. (云南最新中考题)如图,平行四边形 ABCD 中, AE,CF 分别是∠BAD,∠BCD 的平分线,且 E,F 分别在边 BC,AD 上,AE=AF. (1)求证:四边形 AECF 是菱形; (2)若∠ABC = 60°,△ABE 的面积等于 4 3 ,求 平行线 AB 与 DC 间的距离. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 22 创优作业(12) 　 平行四边形(5) 一、选择题。 1. 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 E,F 是对 角线 AC 上的两点,EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥ AB,FJ⊥AD,垂足分别为 G,I,H,J,则图中阴 影部分的面积等于 (　 　 ) A. 1 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 A I J D G H B E C F 第 1 题图 　 　 　 G F EN C M BA O D 第 2 题图 2. 如图,四边形 ABCD 与四边形 OEFG 都是正 方形,O 是正方形 ABCD 的中心,OE 交 BC 于 点 M, OG 交 CD 于 点 N, 有 下 列 结 论: ①△ODG≌ △OCE;②DG = CE;③OG⊥CE; ④若正方形 ABCD 的边长为 2,则四边形 OM- CN 的面积等于 1. 其中正确的结论有 (　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3. 如图,正方形 ABCD 的面积为 1,则以相邻两 边中点连线 EF 为边的正方形 EFGH 的周长 为 (　 　 ) A. 2 B. 2 2 C. 2 +1 D. 2 2 +1 A B E GC F D H 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 4. (重庆最新中考题)如图,在正方形 ABCD 中, O 为对角线 AC 的中点,E 为正方形内一点, 连接 BE,BE = BA,连接 CE 并延长,与∠ABE 的平分线交于点 F,连接 OF,若 AB= 2,则 OF 的长度为 (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 1 D. 2 二、填空题。 1. 如图,在正方形 ABCD 中,点 E 为对角线 BD 上一动点. 若 AB= 3 +1,当∠EAC= 15°时,线 段 BE 的长度为　 　 　 　 . A D B C E 2. 矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,请 你添加一个适当的条件:　 　 　 　 　 　 ,使其 成为正方形(只填一个即可) . 3. (枣庄最新中考题)如图,在正方形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 相交于点 O,E 为 BC 上一 点 CE = 7,F 为 DE 的中点,若△CEF 的周长 为 32,则 OF 的长为　 　 　 　 . 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. (广西最新中考题)如图,在边长为 2 的正方 形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 上的动点, M,N 分别是 EF,AF 的中点,则 MN 的最大值 为　 　 　 　 . 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 32 三、解答题。 1. 如图,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,BE = 2, AE = 3BE, P 是 AC 上 一 动 点, 连 接 PE,PB. (1)在 AC 上找一点 P,使△BPE 的周长最小; (2)求出△BPE 周长的最小值. A D B C E P 2. 如图,正方形 ABCD 中,E 是 BC 上的一点,连 接 AE,过点 B 作 BH⊥AE,垂足为点 H,延长 BH 交 CD 于点 F,连接 AF. (1)求证:AE=BF; (2)若正方形的边长是 5,BE= 2,求 AF 的长. 3. (十堰最新中考题)如图,▱ ABCD 的对角线 AC,BD 交于O 点 ,分别以点B,C 为圆心, 1 2 AC, 1 2 BD 长为半径画弧,两弧交于点 P,连接 BP,CP. (1) 试判断四边形 BPCO 的形状, 并说明 理由; (2)请说明当▱ABCD 的对角线满足什么条 件时,四边形 BPCO 是正方形? (绍兴最新中考题)如图,在正方形 ABCD 中,G 是对角线 BD 上的一点(与点 B,D 不重合), GE⊥CD,GF⊥BC,E,F 分别为垂足. 连接 EF, AG,并延长 AG 交 EF 于 H 点 . (1)求证:∠DAG= ∠EGH. (2)判断 AH 与 EF 是否垂直,并说明理由. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 42 P15-16 一、1. B　 2. C　 3. D　 4. A　 5. A 二、1. ①②③④　 2. 50　 3. 5　 4. 4 13 三、1. 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB=CD,AB∥CD, ∴ ∠BAE= ∠DCF. 又∵ BE⊥AC,DF⊥AC,∴ ∠AEB= ∠CFD= 90°. ∴ △ABE≌△CDF(AAS),∴ AE=CF. 2. (1) 证明:∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AD∥ BC,∴ ∠DAE = ∠E. ∵ ∠BAD 的平分线 AE 交 CD 于点 F,交 BC 的延长线于点 E, ∵ ∠BAE= ∠DAE,∴ ∠E= ∠BAE,∴ AB= BE,又在平行四边形 ABCD 中,AB=CD,∴ BE=CD. (2)S▱ABCD = 4 3 . 3. (1)2 7 　 (2)证明略 中考连接 解:如图,EF 即为所求; ①∠FAO　 ②AO=CO　 ③∠FOA ④被平行四边形一组对边所截,截得的线段被对角线中点平分. P17-18 一、1. D　 2. C　 3. B　 4. B　 5. C　 6. B 二、1. 3　 2. 14　 3. AE=CF(答案不唯一) 　 4. ①②③ 三、1. 证明: ( 1) 在▱ABCD 中,AB = CD,AB∥CD, ∴ ∠ABM = ∠CDN. ∵ AM⊥BD,CN⊥BD, ∴ ∠AMB = ∠DNC = 90°. 在△ABM 和△DCN 中, ∠AMB= ∠DNC, ∠ABM= ∠CDN, AB=CD, { ∴ △ABM≌△CDN(AAS) . ∴ BM=DN. (2)连接 AC 交 BD 于点 O,在▱ABCD 中,OA = OC,OB = OD. ∵ BM = DN,∴ BM-OB=DN-OD,∴ OM=ON,∴ 四边形 AMCN 为平行四边形. 2. 解:答案不唯一,例如:添加 AE=CF. 证明如下:∵ AE∥CF,∴ ∠E = ∠F,又 BE = DF, AE = CF, ∴ △ABE ≌ △CDF ( SAS ), ∴ AB = CD, ∠ABE= ∠CDF,∴ ∠ABD= ∠CDB,∴ AB∥CD,∴ 四边形 ABCD 是平 行四边形. 中考连接 证明:(1)∵ 点 D,E 分别为 AB,AC 的中点,∴ AE =CE,DE∥BC,在 △CEF 与△AED 中 , EF=DE ∠CEF=∠AED CE=AE { ,∴ △CEF≌AED(SAS); (2)由(1)得△CEF≌△AED,∴ ∠FCE = ∠A,∴ BD∥CF,∴ DE∥BC,∴ 四 边形 DBCF 是平行四边形. P19-20 一、1. D　 2. C　 3. B　 4. B　 5. D 二、1. 3　 2. 5 2 　 3. AC=BD(答案不唯一) 　 4. 70° 　 5. 22 三、1. 证明:(1)∵ AF∥BC,∴ ∠AFE= ∠DCE,∵ 点 E 为 AD 的中点,∴ AE = DE, 在 △AEF 和 EDC 中, ∠AFE= ∠DCE ∠AEF= ∠DEC, AE=DE, { ∴ △EAF ≌ △EDC (AAS),∴ AF = CD,∵ CD = BD,∴ AF = BD;( 2) ∵ AF∥BD,AF = BD, ∴ 四边形 AFBD 是平行四边形,∵ AB = AC,BD = CD,∴ ∠ADB = 90°, ∴ 平行四边形 AFBD 是矩形. 2. 解:(1)当 E 与 F 不重合时,四边形 DEBF 是平行四边形. 理由:由 题意知 AE = CF. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ OD = OB,OA = OC,∴ OA-AE=OC-CF,即 OE=OF,∴ 四边形 DEBF 是平行四边形. (2)能,当 t= 4 或 28 时,以 D,E,B,F 为顶点的四边形是矩形. 理由: 分为两种情况:①当点 E 在 AO 上时,则 BD=EF= 12 cm 又 AE=CF= 0. 5t cm,则 16-0. 5t-0. 5t= 12,解得 t= 4. ②当点 E 在 OC 上时,AE+CF-AC=BD,即 0. 5t+0. 5t-16 = 12,解得 t = 28. 经检验,当 t= 4 或 t= 28 时,均符合题意,即当 t = 4 或 28 时,以 D,E,B,F 为顶点的四边形是矩形. 中考连接 证明: ( 1 ) 在 ∠AOB 与 △DOC 中, ∠ABO= ∠DCO= 90°, OB=OC, ∠AOB= ∠DOC, { ∴ △AOB ≌ △DOC(ASA),∴ OA=OD,又∵ E,F 分别是 AO,DO 的中点,∴ OE =OF; (2)∵ OB=OC,OF=OE,∴ 四边形 BECF 是平行四边形,BC = 2OB,EF = 2OE,∵ E 为 AO 的中点, ∠ABO = 90°, ∴ EB = EO = EA, ∵ ∠A = 30°, ∴ ∠BOE= 60°,∴ △BOE 是等边三角形,∴ OB = OE,∴ BC = EF,∴ 四边 形 BECF 是矩形. P21-22 一、1. B　 2. A　 3. C　 4. D　 5. B 二、1. (4,4)　 2. 62　 3. 2 3 　 4. 18 3 　 5. 2 或 5 或 18 三、1. 证明: (1)∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠ACB. 在△ABC 中,∠FAC = ∠B+ ∠ACB= 2∠B. ∵ AD 平分∠FAC,∴ ∠FAC= 2∠FAD= 2∠CAD, ∴ ∠FAD= ∠B,∴ AD∥BC,∴ ∠ADC= ∠DCE. ∵ CD 平分∠ACE, ∴ ∠ACD= ∠DCE. ∴ ∠ACD = ∠ADC. 　 ( 2) ∵ AB = AC,∠B = 60°, ∴ ∠ACB= ∠CAD= 60°. ∵ ∠ACD = ∠ADC,∴ △ABC 和△ACD 都是 等边三角形. ∴ AB=BC=AC=CD=AD,∴ 四边形 ABCD 是菱形. 2. 15 2 3. (1) 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AD∥BC, ∴ ∠AEB= ∠DAE. ∵ EF∥AB,∴ 四边形 ABEF 是平行四边形. ∵ AE 平分∠BAD,∴ ∠BAE= ∠DAE,∴ ∠BAE = ∠AEB,∴ AB =BE,∴ 四边 形 ABEF 是菱形. (2)解:由( 1) 可知,四边形 ABEF 是菱形,∴ AB = AF,BE=EF,∴ B,F 关于 AE 对称,∴ 当点 P 在点 E 的位置时,PC+ PF 取得最小值,最小值 BC= 9. 中考连接 (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,∠BAD = ∠BCD, ∴ ∠BEA= ∠DAE,∵ AE,CF 分别是∠BAD,∠BCD 的平分线,∴ ∠BAE = ∠DAE= 1 2 ∠BAD,∠BCF= 1 2 ∠BCD,∴ ∠DAE = ∠BCF = ∠BEF,∴ AE ∥CF,∴ 四边形 AECF 是平行四边形,∵ AE = AF,∴ 四边形 AECF 是菱 形;(2)平行线 AB 与 DC 间的距离为 4 3 . P23-24 一、1. B　 2. C　 3. B　 4. D 二、1. 2或 6 　 2. AB=BC(答案不唯一) 　 3. 17 2 　 4. 2 三、1. 解: ( 1) 如图,连接 DE,交 AC 于点 P′,连接 BP′,则此时 P′B+P′E 的值最小,即△BPE 的周 长最小. (2)∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ B,D 关于 AC 对 称. ∴ P′B = P′D,∴ P′B +P′E = P′D+P′E = DE. ∵ BE= 2,AE= 3BE,∴ AE = 6,AD = AB = 8,∴ DE = 62 +82 = 10, ∴ PB + PE 的 最 小 值 是 10, ∴ △BPE 周长的最小值=PB+PE+BE= 10+2 = 12. 2. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = BC,∠ABE = ∠BCF = 90°,∴ ∠BAE+∠AEB = 90°. ∵ BH⊥AE,∴ ∠BHE = 90°,∴ ∠AEB+ ∠EBH = 90°, ∴ ∠BAE = ∠EBH. 在 △ABE 和 △BCF 中, ∠BAE= ∠CBF, AB=BC, ∠ABE= ∠BCF, { ∴ △ABE≌△BCF(ASA),∴ AE=BF. 　 (2) 34 . 3. 解:四边形 BPCO 是平行四边形. 理由如下:∵ ▱ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O, ∴ AO = OC,BO = OD. ∵ 以点 B,C 圆心, 1 2 AC, 1 2 BD 长为半径画弧,两弧交于点 P,∴ BP = 1 2 AC = OC,CP = 1 2 BD 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 85 =OB,∴ 四边形 BPCO 是平行四边形. (2)当 AC =BD 且 AC⊥BD 时, 四边形 BPCO 是正方形. 中考连接 (1)证明:在正方形 ABCD 中,AD⊥CD. ∵ GE⊥CD,∴ AD∥GE,∴ ∠DAG = ∠EGH. (2)解:AH 与 EF 垂直,理由如下. 连接 GC 交 EF 于 O 点. ∵ BD 为正方形 ABCD 的对角线,∴ ∠ADG = ∠CDG = 45°, 又 ∵ DG = DG, AD = CD, ∴ △ADG ≌ △CDG, ∴ ∠DAG = ∠DCG. 在 正 方 形 ABCD 中, ∠ECF= 90°,又∵ GE⊥CD,GF⊥BC,∴ 四边形 FCEG 为矩形,∴ OE = OC,∴ ∠OEC = ∠OCE,∴ ∠DAG = ∠OEC. ∴ ∠EGH = ∠OEC, ∴ ∠EGH + ∠GEH = ∠OEC+∠GEH=∠GEC= 90°,∴ ∠GHE= 90°,∴ AH⊥EF. P25-26 一、1. B　 2. A　 3. A　 4. B　 5. C　 6. D 二、1. x≥-2 且 x≠1　 2. Q= 30-0. 5t　 Q 和 t　 30 和-0. 5　 3. 3　 y= 1 4 x- 1 2 　 4. 4 或- 6 三、1. (1)( -2,2)　 (2)2 或 4　 (3)不存在. 　 2. (1)y 增加 3 (2)y= 50+3(x-1) = 3x+47(x 为正整数) . 　 (3)某一排不可能有 90 个座位. 　 3. (1)y= 25x+15　 (2)22. 5 中考连接 解:(1)900 元　 (2)y= 0. 9x-0. 27; (3)优惠后油的单价比原价便宜 1 元. P27-28 一、1. B　 2. B　 3. C 二、1. 78　 2. 8:28 三、1. (1)任意实数　 ①m 的值是 3. 　 (2) 当 x> 1 时,y 随 x 的增大而 增大. 2. (1)∵ 对于每一个摆动时间 t,都有唯一一个确定的 h 值与其对 应,∴ 变量 h 是关于 t 的函数. (2)①h= 0. 5 m,它的实际意义是秋千摆动 0. 7 s 时,距离地面的高 度为 0. 5 m. 　 ②2. 8 s. 中考连接 解:(1)2 　 1. 5; (2)①根据表格数据,描点、连线得到函数 y= 12 x+2 (x⩾0)的图象如图: ②函数值 y 逐渐减小; (3)x≥2 或 x= 0. P29-30 一、1. D　 2. B　 3. B　 4. D　 5. B 二、1. >　 2. -1　 3. (1,2)　 -6　 4. y= 3x(答案不唯一) 三、1. (1)y= x+1　 (2) -2　 (3)4 2. (1)y= - 2 3 x　 (2)存在,(5,0)或( -5,0) 3. (1) 2 3 　 (2)k 的值不会发生变化. 中考连接　 (22 023 ,22 022 ) P31-32 一、1. B　 2. D　 3. D　 4. B　 5. D 二、1. y= x+2　 2. -2a　 3. >　 4. -6　 5. ( 1 2 , 1 2 ) 三、1. (1)若选 A,B,y= x+5　 (2)A,B,C 三点不在同一条直线上. 2. (1)m= 5　 　 (2)3<m<5 3. (1)(3,0) 　 (2)3 秒或 13 秒或 11 1 8 秒或 16 秒 4. (1)a<-3　 (2)a≠-3 且 b>2　 (3)a>-3 且 b<2 (4)a≠-3 且 b= 2　 (5)a= -6 且 b≠2 中考连接 解:(1)把点 A( 0,1),B( 1,2) 代入 y = kx+ b( k≠0) 得 b = 1 k+b= 2{ ,解得 k= 1 b= 1{ ,∴ 该函数的解析式为 y= x+1,由题意知点 C 的纵坐标为 4,当 y = x+1 = 4 时,解得 x= 3,∴ C(3,4);(2)n= 2. P33-34 一、1. B　 2. B　 3. D　 4. A 二、1. y= 80x-10(0. 5≤x≤2)　 2. ②③④ 三、1. (1)30　 (2)y= 3x+120(30<x≤60)　 (3)10 天 2. (1)y= - 3 2 x+4　 (2)16 中考连接 解:(1)y= t(0<t≤4)12-2t(4<t≤6){ ; (2)函数图象如图: 当 0<t≤4 时,y 随 x 的增大而增大(答案不唯一) . (3) t 的值为 3 或 4. 5. P35-36 一、1. D　 2. B 二、1. 169 网　 2. (21 012 ,-21 012 ) 三、1. (1)A 种商品单价 20 元,B 种商品单价 15 元　 (2)购买 A 种商品 8 件,B 种商品 4 件最省钱. 2. 解:(1)A 种饰品每件进价为 10 元,B 种饰品每件进价为 9 元. (2)①根据题意得 600 -x≥390 600-x≤4x{ ,解得 120≤x≤210,x 的取值范围为 120≤x≤210,且 x 为整数;②设采购 A 种饰品 x 件时的总利润为 w 元. 当 120≤x≤150 时,w= 15×600-10x-9(600-x)= -x+3 600,∴ -1<0, ∴ w 随 x 的增大而减小. ∴ 当 x= 120 时,w 有最大值 3480. 当 150<x≤210 时,w= 15×600-[10×150+10×60%( x-150)] -9(600 -x)= 3x+3 000,∴ 3>0,∴ w 随 x 的增大而增大. ∴ 当 x= 210 时,w 有 最大值 3 630. ∴ 3 630> 3 480,∴ w 的最大值为 3 630,此时 600-x = 390. 即当采购 A 种饰品 210 件,B 种饰品 390 件时,商铺获利最大, 最大利润为 3 630 元. 3. (1)共有三种方案:方案一:生产 A 产品 18 件,B 产品 12 件;方案 二:生产 A 产品 19 件,B 产品 11 件;方案三:生产 A 产品 20 件,B 产 品 10 件. (2)根据题意,得 y= 700x+900( 30-x)= -200x+27 000. ∵ -200<0, ∴ y 随 x 的增大而减小,又∵ 18≤x≤20,∴ 当 x = 18 时. y 有最大值, y最大值 = -200×18+27 000 = 23 400. ∴ 利润最大的方案是方案一:生产 A 产品 18 件,B 产品 12 件,最大利润为 23 400 元. 中考连接　 解: ( 1) l = 5a; ( 2) 101l - 5a = 250; ( 3) 由 ( 1) ( 2) 可得 l= 5a 101l-5a= 250{ ,解得 l= 2. 5 a= 0. 5{ ;(4)由任务一可知:l = 2. 5,a = 0. 5,∴ 2. 5 (10+m)= 50(0. 5+y),∴ y= 1 20 m;(5)相邻刻线间的距离为 5 厘米. P37-38 一、1. B　 2. B　 3. C　 4. D　 5. C 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 95