课时作业(60) 定点与定值问题（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(六十)　定点与定值问题 [技能提分练] 1．(2024·河北保定一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问kMN·kOP(O为坐标原点)是否为定值？请说明理由． 解：(1)抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，∴椭圆C的半焦距为c＝1， 又椭圆的离心率e＝＝，∴a＝2，则b＝＝.∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝kx＋m， 联立，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，Δ＞0即只需m2＜4k2＋3. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝， ∴P， ∴kOP＝＝－.∴kMN·kOP＝－. ∴kMN·kOP为定值，定值为－. 2．(2024·陕西西安三模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点G(4，t)(t>0)到其准线的距离为5.不过原点的动直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影为N. (1)求抛物线C的方程； (2)当·＝1时，求证：直线AB过定点，并求出此定点． 解：(1)由抛物线C的方程可得其准线方程x＝－， 依抛物线的性质得＋4＝5，解得p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x. (2)当直线AB的斜率为0时，显然不符合题意； 当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝my＋n(n≠0)，A，B，M(x0，y0)，由化简得y2－4my－4n＝0，Δ＝16(m2＋n)>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， y0＝＝2m，所以N(－1，2m)，所以＝，＝， 所以·＝＋(y2－2m)·(y1－2m) ＝＋＋1＋y1y2－2m(y1＋y2)＋4m2 ＝n2＋＋1－4n－8m2＋4m2＝n2－2n＋1＝(n－1)2， 若·＝1，即(n－1)2＝1，解得n＝2或n＝0(舍去)，所以直线AB：x＝my＋2过定点(2，0). 3．(2023·西安模拟)设F1，F2为椭圆C：＋＝1(b>0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足MF1⊥MF2，已知△MF1F2的面积为1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设C的上顶点为H，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R，S两点(异于H)，求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值． 解：(1)由椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝4，① 由MF1⊥MF2得|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4(4－b2)，② 由题意得S△MF1F2＝|MF1|·|MF2|＝1，③ 由①②③，可得b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)依题意，H(0，1)，显然直线RS的斜率存在且不为0， 设直线RS的方程为y＝kx＋m(k≠0)， 代入椭圆方程并化简得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 由题意知，Δ＝16(4k2－m2＋1)>0， 设R(x1，y1)，S(x2，y2)，x1x2≠0，故x1＋x2＝，x1x2＝. kHR＋kHS＝＋＝＋ ＝2k＋(m－1)＝2k＋(m－1)＝2k－＝. ∵直线RS过点(2，－1)，∴2k＋m＝－1， ∴kHR＋kHS＝－1. 故直线HR和HS的斜率之和为定值－1. 4．已知P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点，F2(1，0)，线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H(4，0). (1)解：由线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q， 得|QF1|＋|QF2|＝|QF1|＋|QP|＝|PF1|＝4＞|F1F2|＝2， 所以点Q的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆， 故2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3， 所以曲线C的方程为＋＝1. (2)证明：由(1)可得A(－2，0)，B(2，0)，设点M的坐标为(1，m)，直线MA的方程为y＝(x＋2)， 将y＝(x＋2)与＋＝1联立消去y整理得(4m2＋27)x2＋16m2x＋16m2－108＝0， 设点D的坐标为(xD，yD)，则－2xD＝，故xD＝， 则yD＝(xD＋2)＝，直线MB的方程为y＝－m(x－2)， 将y＝－m(x－2)与＋＝1联立，消去y整理得(4m2＋3)x2－16m2x＋16m2－12＝0. 设点E的坐标为(xE，yE)，则2xE＝，故xE＝，则yE＝－m(xE－2)＝. HD的斜率为k1＝＝＝－. HE的斜率为k2＝＝＝－. 因为k1＝k2，所以直线DE经过定点H(4，0). [素养拉分练] 5．(2023·安徽合肥第八中学模拟)生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从下焦点F1射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点F2，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为，已知椭圆的离心率e<. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若从椭圆C中心O出发的两束光线OM，ON，分别穿过椭圆上的A，B点后射到直线y＝4上的M，N两点，若AB连线过椭圆的上焦点F2，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由． 解：(1)由已知可设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 则2a＝4，×2c×b＝，a2＝b2＋c2， 又e<，所以a＝2，b＝，c＝1， 故椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)设AB方程为y＝kx＋1，由 得(3k2＋4)x2＋6kx－9＝0， Δ＝(6k)2＋36(3k2＋4)＝144k2＋144>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝， x1x2＝. 由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN交于y轴上的定点， 联立得M，则直线BM方程为y－4＝， 令x＝0，则y＝4＋ ＝4 ＝4(1＋)＝， 又(x1＋x2)＝kx1x2， 则y＝＝＝， 所以直线BM过定点，同理，直线AN也过定点，则点即为所求点． 6．(2023·辽宁高三月考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为2，O为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，证明：△OMN的面积为定值，并求出该定值． (1)解：由双曲线C的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为2， 得解得则双曲线C的方程为x2－＝1. (2)证明：由于直线l与双曲线C的右支相切(切点不为右顶点)，则直线l的斜率不为0.设直线l的方程为y＝kx＋m， 因为双曲线两条渐近线倾斜角的正切值分别为2，－2，所以k≠±2， 直线l与x轴正半轴相交于一点D，所以m≠0， 联立消去y得(8－k2)x2－2kmx－m2－8＝0. 由直线与双曲线右支相切得，Δ＝4k2m2－4(8－k2)·(－m2－8)＝0，即8－k2＝－m2， 由于直线l与x轴正半轴交于一点D，令y＝0，代入直线方程得x＝－，即|OD|＝. 所以S△MON＝|OD|×|yM－yN|＝×·|xM－xN|， 双曲线两条渐近线方程为y＝±2x， 联立所以M， 联立所以N， 所以S△MON＝×·|k|·＝·|k|·＝＝2， 故△OMN的面积为定值2. 学科网（北京）股份有限公司 $$