课时作业(59) 最值和范围问题（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(五十九)　最值和范围问题 [技能提分练] 1．已知A，B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧)，且|AB|＝a(a>0)，过A，B分别作x轴的垂线，与抛物线y2＝2px(p>0)在第一象限分别交于D，C两点． (1)若a＝p，点A与抛物线y2＝2px的焦点重合，求直线CD的斜率； (2)若O为坐标原点，记△OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求的取值范围． 解：(1)由题意知A(，0)，则B(＋a，0)，D(，p)，则C(＋a，)， 又a＝p，所以kCD＝＝－1. (2)设直线CD的方程为y＝kx＋b(k＞0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，且x1－x2＝a， 由得ky2－2py＋2pb＝0，所以Δ＝4p2－8pkb>0，得kb<， 又y1＋y2＝>0，y1y2＝>0，可知k>0，b>0， 因为＝＝a， 点O到直线CD的距离d＝， 所以S1＝·a·＝ab. 又S2＝·＝··a＝. 所以＝，因为0<kb<，所以0<<. 即的取值范围为. 2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点1，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点M(2，0)的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足＋＝t，其中t∈，2，求|AB|的取值范围． 解：(1)依题意得解得 ∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k(x－2). 由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0， Δ＝8(1－2k2)>0，解得k2<. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝－. 由＋＝t，得P，代入椭圆C的方程得t2＝. 由<t<2，得<k2<，∴|AB|＝·＝2. 令u＝，则u∈， |AB|＝2∈， |AB|的取值范围为. 3．(2024·湖北监利模拟)已知曲线C上任意一点P(x，y)满足方程|－|＝2. (1)求曲线C的方程； (2)若直线l与曲线C在y轴左、右两侧的交点分别是Q，P，且·＝0，求||2＋||2的最小值． 解：(1)设F1(－，0)，F2(，0)， 则＝2，等价于||PF1|－|PF2||＝2<|F1F2|， 曲线C是以F1，F2为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为2， 故曲线C的方程为x2－＝1. (2)由题意可得直线OP的斜率存在且不为0，可设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)， 则直线OQ的方程为y＝－x， 由得 所以|OP|2＝x2＋y2＝， 同理可得，|OQ|2＝＝， 所以＋＝＝＝，|OP|2＋|OQ|2＝2(|OP|2＋|OQ|2)＝ 2≥2(2＋2)＝8， 当且仅当|OP|＝|OQ|＝2时取等号， 所以当|OP|＝|OQ|＝2时，|OP|2＋|OQ|2取得最小值8. 4.如图，已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD.求四边形ABCD面积的最小值． 解：当直线BD斜率k存在且不为0时，设BD的方程为y＝k， 联立⇒x2＋6k2x＋3k2－6＝0， 设B，D， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， 由弦长公式可得＝ ＝ ＝， 因为AC⊥BD，故kAC＝－，可得＝＝， 所以四边形ABCD的面积为 S四边形ABCD＝·＝××＝， 因为≤ 2＝，S四边形ABCD＝≥＝，当且仅当2k2＋3＝3k2＋2，即k2＝1时，等号成立， 当直线BD斜率不存在或者为0时，此时四边形ABCD的面积为S＝·＝×2a×＝2b2＝4>.故四边形ABCD面积的最小值为. [素养拉分练] 5．(2023·福建厦门模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的四个顶点组成的四边形的面积为2，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若椭圆C的下顶点为P，如图所示，点M为直线x＝2上的一个动点，过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM，且与椭圆C交于A，B两点，与OM交于点N，设四边形AMBO和△ONP的面积分别为S1，S2，求S1S2的最大值． 解：(1)∵在椭圆C上，∴＋＝1， 又∵椭圆四个顶点组成的四边形的面积为2， ∴×2a×2b＝2，∴ab＝，解得a2＝2，b2＝1， ∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)由(1)可知F(1，0)，设M(2，t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则当t≠0时，OM：y＝x，所以kAB＝－， 直线AB的方程为y＝－(x－1)(t≠0)， 由得(8＋t2)x2－16x＋8－2t2＝0， 则Δ＝(－16)2－4(8＋t2)(8－2t2)＝8(t4＋4t2)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝， |AB|＝·＝×＝， 又|OM|＝，∴S1＝|OM|×|AB|＝×＝， 由得xN＝， ∴S2＝×1×＝， S1S2＝×＝＝<， 当t＝0时，|AB|＝，S1＝××2＝，S2＝×1×1＝，S1S2＝， 6．(2024·北京东城三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－2，0)，长轴长为2.过右焦点F2的直线l交椭圆C于A，B两点，直线F1A，F1B分别交直线x＝3于点M，N. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设线段AB中点为T，当点M，N位于x轴异侧时，求T到直线x＝3的距离的取值范围． 解：(1)由题可知解得a2＝6，b2＝2. 故椭圆C的方程为＋＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，点T到直线x＝3的距离为1. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2). 联立消y，得(3k2＋1)x2－12k2x＋12k2－6＝0. Δ＝(－12k2)2－4(3k2＋1)(12k2－6)>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝， x1x2＝. 直线F1A的方程为y＝(x＋2)， 令x＝3，得y＝，则M. 同理，N. 因为点M，N位于x轴异侧，所以·<0. 即·＝ ＝＝<0， 解得k2>. 设线段AB中点T的横坐标为t，则t＝＝. T到直线x＝3的距离为|3－t|＝＝1＋. 由k2>，得3k2＋1>，故1<1＋<. 综上，T到直线x＝3的距离的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$