课时作业(58) 抛物线（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(五十八)　抛物线 [基础保分练] 1．若抛物线y2＝8x上的点P的横坐标为3，则点P到焦点的距离是(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 答案：C 2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为(　　) A．(8，8) B．(8，－8) C．(8，±8) D．(－8，±8) 答案：C 3．(2023·山东菏泽一模)过抛物线C：y＝4x2焦点F作倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B，则|AB|＝(　　) A． B． C．1 D．16 答案：A 4．(2023·成都模拟)已知点F(0，4)是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，点P(2，3)，且点M为抛物线C上任意一点，则|MF|＋|MP|的最小值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：C 5．(2023·山西吕梁模拟)已知抛物线C：y＝x2的焦点为F，抛物线C的准线与对称轴交于点D，过D的直线l与抛物线C交于A，B两点，且＝m(m>0)，若FB为∠DFA的角平分线，则|BF|＝(　　) A．m B． C． D． 答案：B 6．(多选)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l1从点P射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线l2射出，经过点Q.则下列说法正确的是(　　) A．若p＝4，则|AB|＝8　　　 B．若p＝2，则|AB|＝8 C．若p＝2，则PB平分∠ABQ D．若p＝4，延长AO交直线x＝－2于点M，则M，B，Q三点共线 答案：ACD 7．(多选)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－，则下列结论正确的是(　　) A．准线方程为x＝－3 B．焦点坐标F C．点P的坐标为 D．PF的长为3 答案：BC 8．(多选)已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　) A．点F的坐标为 B．若直线MN过点F，则x1x2＝－ C．若＝λ，则|MN|的最小值为 D．若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为 答案：BCD 9.如图，一座拱形桥的桥形可近似地看成抛物线的一部分．该桥的高度为h m，跨径为l m，求桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离． 解：如图所示，以桥顶为坐标原点，拱形桥的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy， 结合题意可知，该抛物线x2＝－2py(p>0)经过点，则＝2ph，解得p＝，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p＝. 10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在第一象限且为抛物线C上一点，点N(5，0)在点F右侧，且△MNF恰为等边三角形． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l：x＝ky＋m与抛物线C交于A，B两点，∠AOB＝120°(其中O为坐标原点)，求实数m的取值范围． 解：(1)由题意知xM＝＝＋，|NF|＝5－， 由抛物线的定义知|MF|＝xM＋，由|NF|＝|MF|， 得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得y2－4ky－4m＝0，Δ＝16k2＋16m>0， ∴，而x1＋x2＝k(y1＋y2)＋2m＝4k2＋2m，x1x2＝·＝m2， 又∠AOB＝120°，即cos ∠AOB＝ ＝ ＝ ＝＝－， ∴m2－4m<0且4(m－4)2＝m2＋16k2＋8m＋16， ∴解得0<m≤，即实数m的取值范围为. [技能提分练] 11.(多选)如图所示，抛物线y＝x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则下列结论正确的有(　　) A．若AB的斜率为1，则|AB|＝8 B．|AB|min＝4 C．若AB的斜率为1，则xM＝4 D．xA·xB＝－4 答案：ABD 12．(多选)过抛物线C：y＝x2的焦点F且斜率为1的直线与C交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点N，下列结论中正确的是(　　) A．两切线互相垂直 B．NF⊥AB C．|AB|＝8 D．抛物线准线方程为x＝－ 答案：ABC 13．(2023·广东深圳外国语学校模拟)设F为拋物线C：y2＝4x的焦点，其准线l与x轴的交点为M，过点F且倾斜角为60°的直线交拋物线C于A，B两点，则△AMB的面积为________． 答案：　解析：拋物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)，准线x＝－1，所以M(－1，0)， 过点F且倾斜角为60°的直线方程为y＝(x－1)， 即x－y－＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2) 联立得3x2－10x＋3＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝1， 所以|AB|＝ ＝2＝， 点M(－1，0)到直线x－y－＝0的距离d＝＝， 所以S△AMB＝·|AB|·d＝××＝. 14．(2023·河北模拟)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C(4，0)，AF与BC相交于点D.若|CF|＝|AF|，则△ACD的面积为__________． 答案：3　解析：如图所示，设点A在第一象限，由已知F(，0)，C(4，0). 得|CF|＝3. 因为AB∥x轴，|CF|＝|AF|，|AB|＝|AF|， 所以四边形ABFC为平行四边形，且|CF|＝|AB|＝3， 所以xA＋＝3，解得xA＝2， 代入y2＝4x得yA＝4， 所以S△ACD＝S△ABC＝××3×4＝3. 15．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，抛物线上一点A(m<0)到F点的距离为. (1)求抛物线的方程及点A的坐标； (2)设斜率为k的直线l过点B(2，0)且与抛物线交于不同的两点M，N，若＝λ且λ∈，求斜率k的取值范围． 解：(1)由抛物线定义可知|AF|＝＋＝，得p＝2，所以抛物线方程为x2＝4y， 将点A(m<0)的坐标代入抛物线方程得m＝－，所以点A的坐标为. (2)直线l的方程为y＝k(x－2)，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立整理得x2－4kx＋8k＝0，Δ＝16k2－32k>0，可得k<0或k>2， 由根与系数的关系可得x1＋x2＝4k，x1x2＝8k， 又＝λ，即(x1－2，y1)＝λ(x2－2，y2)， 所以y1＝λy2⇒λ＝， 因为x＝4y1，x＝4y2，则λ＝∈， 即∈∪， 又＝2k＝＋2＋⇒k＝＝＋1， 令＝t∈∪，所以k＝＋1， 由对勾函数的单调性可知，函数f(t)＝＋1在上为减函数，在(1，2)上为增函数， 当t∈时，k＝＋1∈， 同理可知，当t∈时，k＝＋1∈， 又因为k<0或k>2，所以斜率k的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$