课时作业(57) 双曲线（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(五十七)　双曲线 [基础保分练] 1．(2024·辽宁铁岭六校协作体高三模拟)“0<k<1”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 2．设点A(－，0)，B(，0)，M为动点，已知直线AM与直线BM的斜率之积为定值，点M的轨迹是(　　) A．－y2＝1(y≠0) B．－x2＝1(y≠0) C．－y2＝1(y≠0) D．－x2＝1(y≠0) 答案：C 3．(2023·山东枣庄模拟)已知双曲线x2－my2＝1(m∈R)的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0 C．3x±5y＝0 D．5x±3y＝0 答案：A 4．(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 5．已知F是双曲线C：－＝1(a>0)的右焦点，点A(4，3)在双曲线C上，直线AF与y轴交于点B，点P为双曲线左支上的动点，则·的最小值为(　　) A．－33 B．－40 C．－49 D．－56 答案：B 6．(多选)双曲C1：－y2＝1与C2：－y2＝λ(λ>0且λ≠1)的(　　) A．顶点相同 B．焦点相同 C．离心率相同 D．渐近线相同 答案：CD 7．(多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与直线y＝kx交于A，B两点，点P为双曲线C上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2.若kPA·kPB＝，且双曲线C的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是(　　) A．a＝2 B．双曲线C的离心率为 C．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为1 D．若△PF1F2的面积为2，则△PF1F2为钝角三角形 答案：ACD 8．已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的渐近线方程为__________. 答案：y＝±2x　解析：如图所示， 因为|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，所以AB⊥BF2， 设|AB|＝3x，则|BF2|＝4x，|AF2|＝5x，由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋4x， 故|AF1|＝2a＋4x－3x＝2a＋x，因为|AF2|－|AF1|＝2a，所以5x－2a－x＝2a， 解得x＝a，所以|BF1|＝6a，|BF2|＝4a， 由勾股定理得|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，即36a2＋16a2＝4c2，解得c2＝13a2， 又因为c2＝a2＋b2，所以12a2＝b2，故渐近线方程为y＝±x＝±2x. 9．解答下列两个小题： (1)双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且点(2，)在双曲线E上，求双曲线E的标准方程； (2)双曲线C的实轴长为2，且双曲线C与椭圆＋＝1的焦点相同，求双曲线C的标准方程． 解：(1)由e＝，得＝，即c＝a， 又b2＝c2－a2＝(a)2－a2＝a2，即a＝b， 双曲线E的方程即为－＝1，点(2，)坐标代入得－＝1，解得a2＝2. 所以双曲线E的标准方程为－＝1. (2)椭圆＋＝1的焦点为(±2，0)， 设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)， 所以2a＝2，且a2＋b2＝4，所以a＝1，b2＝3， 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1. [技能提分练] 10．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且1·MF2＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点，若∠F1PF2＝，则(　　) A．＝2 B．e1·e2＝ C．e＋e＝ D．e－e＝2 答案：B 11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为4，点M在双曲线C的左支上，过点M作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为N，则当|MF2|＋|MN|取最小值12时，该双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±4x 答案：D 12．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足∠BAD＝90°，tan ∠ABC＝－，则该双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：C 13．(2024·山东潍坊一模)对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件： ①离心率为2；②一条渐近线的倾斜角为30°；③实轴长为4，且焦点在x轴上． 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程____________________． 答案：－y2＝λ(λ>0)[或y2－＝λ(λ>0)或－＝1或－＝1]　解析：若选①②：若双曲线的焦点在x轴上，则设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，所以所以所以双曲线方程为－y2＝λ(λ>0).若双曲线的焦点在y轴上，则设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，所以所以所以双曲线方程为y2－＝λ(λ>0)； 若选①③：因为所以所以所以双曲线方程为－＝1； 若选②③：因为所以所以双曲线方程为－＝1. 14．(2024·江苏南京模拟)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)过点D(3，1)，且该双曲线的虚轴端点与两顶点A1，A2的张角为120°. (1)求双曲线E的标准方程； (2)过点B(0，4)的直线l与双曲线E左支相交于点M，N，直线DM，DN与y轴相交于P，Q两点，求|BP|＋|BQ|的取值范围． 解：(1)由已知得 所以双曲线E的标准方程为－＝1. (2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 直线DM的方程为y－1＝(x－3)，令x＝0，可得P，直线DN的方程为y－1＝·(x－3)， 令x＝0，可得Q， 联立消去y， 整理得(1－3k2)x2－24kx－54＝0. Δ＝242k2＋4×(1－3k2)×54＞0， 可得＜k＜， |BP|＋|BQ|＝4－yP＋4－yQ＝6＋＋ ＝6＋3× ＝6＋3× ＝6＋3× ＝6＋3× ＝＝＝8－， 又＜k＜，所以|BP|＋|BQ|的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$