课时作业(56) 直线与椭圆（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(五十六)　直线与椭圆 [基础保分练] 1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　) A．至多为1 B．2 C．1 D．0 答案：B 2．(2023·河南模拟)已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别是A，B，O是坐标原点，P在椭圆C上，且|OP|＝，则△PAB的面积是(　　) A．2 B．4 C．4 D．8 答案：A 3．已知直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m满足(　　) A．m≥1 B．m≥1或0<m<1 C．m≥1且m≠5 D．0<m<5且m≠1 答案：C 4．椭圆＋＝1上的点P到直线l：x＋y＋3＝0的距离的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案：C 5．(2023·江西南昌模拟)椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 6．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为k的直线与椭圆交于P，Q两点，若∠PF2Q为钝角，则k的取值范围为(　　) A．－，　　　　 B．∪ C．　　　　 D．∪ 答案：D 7．(多选)椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，则以下说法正确的是(　　) A．过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8 B．椭圆C上不存在点P，使得＝0 C．直线2mx－2y－2m＋1＝0与椭圆C恒有公共点 D．P为椭圆C上一点，Q为圆x2＋y2＝1上一点，则点P，Q的最大距离为3 答案：ACD 8．椭圆＋y2＝1，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为________________． 答案：y＝－(－＜x＜)　解析：设斜率为的直线方程为y＝x＋b，与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设中点坐标为(x，y)，则＝，＝x，＝y， 所以两式相减可得＝(y2－y1)(y2＋y1)， ＝(y2＋y1)，即y＝－， 由于弦中点在椭圆内部，由得＋bx＋b2－1＝0， 所以当Δ＝b2－2(b2－1)＝0，即b＝±时，直线与椭圆相切， 此时由±x＋1＝0，解得x＝或x＝－， 所以－<x<，所求得轨迹方程为y＝－(－<x<). 9．(2023·山东青岛模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(2，1)，且离心率e＝. (1)求椭圆C的方程； (2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．若|AB|＝，求直线l的方程． 解：(1)∵e2＝＝＝，∴a2＝4b2. 又椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(2，1)， ∴＋＝1，∴a2＝8，b2＝2. 故所求椭圆C的方程为＋＝1. (2)设l的方程为y＝x＋m， 点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0. ∴Δ＝4m2－8m2＋16＞0，解得|m|＜2. ∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4. 则|AB|＝×＝＝，解得m＝±.所求直线l的方程为y＝x±.即x－2y±2＝0. 10．(2024·福建模拟)已知动点M到两定点F1(－m，0)，F2(m，0)的距离之和为4(0<m<2)，且动点M的轨迹曲线C过点N. (1)求m的值； (2)若直线l：y＝kx＋与曲线C有两个不同的交点A，B，求k的取值范围． 解：(1)由0<m<2，得2m<4，可知曲线C是以两定点F1(－m，0)，F2(m，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a＝2，设曲线C的方程为＋＝1， 把点N代入，得＋＝1， 解得b2＝1，由c2＝a2－b2＝3，所以m＝. (2)由(1)知曲线C的方程为＋y2＝1， 联立方程得消去y得x2＋2kx＋1＝0， 则有Δ＝4k2－1>0，得k2>.所以k>或k<－， 所以k的取值范围为∪. [技能提分练] 11．(2023·山东青岛模拟)过坐标原点O且斜率为k(k<0)的直线l与椭圆＋y2＝1交于M，N两点．若点A，则△MAN面积的最大值为(　　) A． B．2 C． D．1 答案：A 12．(2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2，3)的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． (1)解：由题意，解得 ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：如图，要使过点(－2，3)的直线交C于点P，Q两点，则PQ的斜率存在且小于0， 设PQ：y－3＝k(x＋2)，即y＝kx＋2k＋3，k<0，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16k(k＋3)＝0. Δ＝[8k(2k＋3)]2－4(4k2＋9)·16k(k＋3)＝－1 728k>0. x1＋x2＝，x1x2＝， 直线AP：y＝(x＋2)，取x＝0，得M(0，)； 直线AQ：y＝(x＋2)，取x＝0，得N(0，). ∴＋＝＝ 2×＝ 2×＝ 2× ＝2× ＝2×＝6. ∴线段MN的中点为(0，3)，为定点． 13．设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点1，，且离心率为.点F为椭圆E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，圆F的半径为PF. (1)求椭圆E和圆F的方程； (2)若直线l：y＝k(x－)(k>0)与⊙F交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)， 由题设知＋＝1，＝. 解得a＝2，b＝1，故椭圆E的方程为＋y2＝1. 因此F(，0)，|PF|＝，即⊙F的半径为. 所以⊙F的方程为(x－)2＋y2＝. (2)由题设可知，A在椭圆E外，B在椭圆E内，C在⊙F内，D在⊙F外，在直线l上的四点A，B，C，D满足|AC|＝|AB|－|BC|，|BD|＝|CD|－|BC|. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆E的方程得(1＋4k2)x2－8k2x＋12k2－4＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， |CD|＝＝＝1＋＞1， 又⊙F的直径|AB|＝1，所以|BD|－|AC|＝|CD|－|AB|＝|CD|－1>0，故不存在正数k使|AC|＝|BD|. 学科网（北京）股份有限公司 $$